モジュラー曲線

楕円曲線 $\mathbb{C}/\Lambda'\to\mathbb{C}/\Lambda$ の同型（原点を保つ解析的な同型）は、$\alpha\Lambda'=\Lambda$ をみたす $\alpha\in\mathbb{C}^\times$ による $z\mapsto\alpha z$ にほかならない（Sil09 Theorem VI.4.1、p. 171）。また $\gamma=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ について $\Lambda_\tau=(c\tau+d)\Lambda_{\gamma\tau}$ である（上半平面 の命題「格子の相似類とモジュラー群の軌道」の証明）。
写像が $\Gamma_0(N)$ 軌道の上で定まること：$\gamma\in\Gamma_0(N)$ とし、$\alpha:=c\tau+d$ とおく。$z\mapsto\alpha z$ は同型 $E_{\gamma\tau}\to E_\tau$ で、$1/N$ を $(c\tau+d)/N=(c/N)\tau+d/N$ に移す。$N\mid c$ なので $(c/N)\tau\in\Lambda_\tau$ であり、像は $d/N$ を法 $\Lambda_\tau$ で表した点である。$ad-bc=1$ と $N\mid c$ から $d$ は $N$ と互いに素なので、$d/N$ は $C_\tau$ の生成元である。よって同型は $C_{\gamma\tau}$ を $C_\tau$ に移す。
単射：$(E_{\tau'},C_{\tau'})\cong(E_\tau,C_\tau)$ とする。同型は $z\mapsto\alpha z$（$\alpha\Lambda_{\tau'}=\Lambda_\tau$）で、上半平面 の命題の証明により $\alpha=c\tau+d$、$\alpha\tau'=a\tau+b$ となる $\gamma=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ があって $\tau'=\gamma\tau$ である。$\alpha/N=(c/N)\tau+d/N$ が $C_\tau=\{k/N+\Lambda_\tau\}$ に入るので、ある整数 $k$ について $(c/N)\tau+(d-k)/N\in\mathbb{Z}\tau+\mathbb{Z}$、とくに $N\mid c$ である。よって $\gamma\in\Gamma_0(N)$ である。
全射：$(E,C)$ をとる。一意化定理により $E\cong\mathbb{C}/\Lambda$ となる格子 $\Lambda=\mathbb{Z}\omega_1+\mathbb{Z}\omega_2$ があり、$C$ は $\frac1N\Lambda/\Lambda\cong(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^2$ の位数 $N$ の元 $(u\omega_1+v\omega_2)/N$ で生成される。位数が $N$ なので $\gcd(u,v,N)=1$ である。$\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$ はこのような行ベクトル全体に推移的に作用し（モジュラー群 の系「合同部分群の指数」の証明）、還元 $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})\to\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$ は全射なので（同じ記事の定理「法 $N$ への還元の全射性」）、$(0,1)\gamma\equiv(u,v)\pmod N$ となる $\gamma\in\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ がある。$\binom{\omega_1'}{\omega_2'}:=\gamma\binom{\omega_1}{\omega_2}$ は $\Lambda$ の基底で、$\omega_2'\equiv u\omega_1+v\omega_2$ を法 $N\Lambda$ でみたすので、$C$ は $\omega_2'/N$ で生成される。必要なら $\omega_1'$ を $-\omega_1'$ に替えて $\tau:=\omega_1'/\omega_2'\in\mathfrak{H}$ とすると、$z\mapsto z/\omega_2'$ が $(\mathbb{C}/\Lambda,C)$ を $(E_\tau,C_\tau)$ に移す。$\square$

要点：ファイバーの点は両側剰余類 $\bar\Gamma\gamma G$ に対応し、分岐指数は局所座標の比 $w^{e'}\mapsto w^{e}$ から $e/e'$（尖点では幅 $h$）で、それが $G$ 軌道の長さに等しい。

$\phi\colon X(\Gamma)\to X(1)$ は次数 $\mu$ の正則写像である（一般の点の上には剰余類と同じ $\mu$ 個の点がある。prop-modular-curve-fiber の 1 で $G$ が自明な場合）。分岐しうるのは $i$、$\rho$、$\infty$ の上だけである（ほかの点では $G$ が自明）。prop-modular-curve-fiber により：

• $i$ の上（$G=\langle S\rangle$、位数 $2$）：$\mu$ 個の剰余類が、$\nu_2$ 個の固定点と $(\mu-\nu_2)/2$ 個の長さ $2$ の軌道に分かれ、分岐指数から $1$ を引いた和は $(\mu-\nu_2)/2$ である。
• $\rho$ の上（$G=\langle ST\rangle$、位数 $3$）：同様に $\nu_3$ 個の固定点と $(\mu-\nu_3)/3$ 個の長さ $3$ の軌道で、和は $2(\mu-\nu_3)/3$ である。
• $\infty$ の上：$\nu_\infty$ 個の軌道（尖点）の長さの和が $\mu$ なので、和は $\mu-\nu_\infty$ である。
  $X(1)$ の種数は $0$ なので、Riemann–Hurwitzの公式 の定理により
  $$ 2g-2=\mu(0-2)+\frac{\mu-\nu_2}2+\frac{2(\mu-\nu_3)}3+(\mu-\nu_\infty)=\frac{\mu}6-\frac{\nu_2}2-\frac{2\nu_3}3-\nu_\infty $$
  であり、2 で割って $1$ を足せば主張を得る。$\square$

モジュラー群 の系「合同部分群の指数」の証明により、剰余類 $\Gamma_0(p)\gamma$ は $\gamma$ の下の行 $(c,d)$ の定める $\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_p)$ の点 $[c:d]$ と一対一に対応し、右からの作用は行ベクトルへの右からの積である。$\mu=p+1$ である。
$S$ の作用は $(c,d)S=(d,-c)$ である。$[d:-c]=[c:d]$ なら $d=\lambda c$、$-c=\lambda d$ となる $\lambda\in\mathbb{F}_p^\times$ があり（$c=0$ なら $d=0$ となり不可）、$\lambda^2=-1$ である。逆にそのような $\lambda$ ごとに固定点 $[1:\lambda]$ が 1 つあるので、$\nu_2$ は $\lambda^2=-1$ の $\mathbb{F}_p$ での解の個数 $1+(\frac{-1}{p})$ である。
$ST=\begin{pmatrix}0&-1\\1&1\end{pmatrix}$ の作用は $(c,d)ST=(d,d-c)$ である。固定点は同様に $d=\lambda c$、$d-c=\lambda d$ から $\lambda^2-\lambda+1=0$ をみたす $\lambda$ に対応する。この 2 次式の判別式は $-3$ で、$p\ge5$ では解の個数は $1+(\frac{-3}{p})$ である。
尖点は $T$ の軌道で、$(c,d)T=(c,c+d)$ である。$[0:1]$ は動かず、$c\ne0$ の点 $[1:d]$ は $d\mapsto d+1$ で 1 つの長さ $p$ の軌道になる。よって $\nu_\infty=2$ である。
種数は thm-modular-curve-genus から $g=\frac{p+1}{12}-\frac{\nu_2}4-\frac{\nu_3}3$ である。$(\frac{-1}{p})=1\iff p\equiv1\pmod4$、$(\frac{-3}{p})=1\iff p\equiv1\pmod3$（平方剰余の相互法則）を使うと、$p=12n+1,5,7,11$ に応じて $(\nu_2,\nu_3)=(2,2),(2,0),(0,2),(0,0)$ で、$g=n-1,n,n,n+1$ を得る。$\square$