圏同値(豊穣圏)
概要
圏同値(豊穣圏)（enriched equivalence）とは、豊穣関手が豊穣自然同型を通じて準逆を持つことである。適切な選択の下で、Hom対象ごとの同型と、台圏における対象の本質的全射性によって判定できる。Hom対象の弱同値を用いるDK同値とは区別される。
定義
$\mathcal V$ を局所小なモノイダル圏とする。$\mathcal V$-豊穣圏 $\mathcal A$ はHom対象 $\mathcal A(x,y)$、結合的・単位的な合成を持つ。台圏 $\mathcal A_0$ の射 $x\to y$ は $I\to\mathcal A(x,y)$ である。豊穣関手（関手(豊穣圏)）はHom対象の射を備え、合成・単位を保つ。
二つの豊穣関手 $F,G:\mathcal A\to\mathcal B$ の間の豊穣自然変換（自然変換(豊穣圏)）$\alpha$ は、成分 $\alpha_x:I\to\mathcal B(Fx,Gx)$ であって、各Hom対象 $\mathcal A(x,y)$ 上で
$$G_{x,y}(-)\circ\alpha_x=\alpha_y\circ F_{x,y}(-)$$
を満たすものである。この式は個々の元だけでなく、$\mathcal V$ の射としての等式を意味する。
豊穣関手 $F:\mathcal A\to\mathcal B$ が 圏同値(豊穣圏)（enriched equivalence）であるとは、豊穣関手 $G:\mathcal B\to\mathcal A$ と豊穣自然同型
$$1_{\mathcal A}\cong GF,\qquad FG\cong1_{\mathcal B}$$
が存在することをいう。$G$ を準逆という。豊穣自然同型とは、垂直合成に関する逆変換を持つ豊穣自然変換である。
これは豊穣圏・豊穣関手・豊穣自然変換を持つ2圏での同値である。Hom対象の同型を要求する厳密な豊穣理論であり、Homの弱同値で定めるDK同値とは区別する。Kel82 §§1.2–1.3, 1.11。
成分と同値の判定
豊穣自然変換 $\alpha:F\to G$ が同型であることと、すべての成分が $\mathcal B_0$ の同型であることは同値である。
この命題は 自然変換(豊穣圏) の記事の命題「豊穣自然同型」（成分が台圏の同型なら逆成分も豊穣自然であること）そのものである。証明はそちらを参照する。要点は、Hom対象全体に対する自然性の等式の前後に $\alpha_y^{-1},\alpha_x^{-1}$ を合成して逆成分の自然性を得ることである。
選択公理を用いると、$F:\mathcal A\to\mathcal B$ が豊穣圏同値であることは、次の二条件と同値である。
- すべての $x,y$ で $F_{x,y}:\mathcal A(x,y)\to\mathcal B(Fx,Fy)$ が $\mathcal V$ の同型である。
- すべての $b\in\mathcal B$ が、ある $Fx$ と台圏 $\mathcal B_0$ で同型である。
前者を豊穣充満忠実（充満忠実関手(豊穣圏)）、後者を本質的全射という。対象の集まりを扱う宇宙を固定し、必要な対象・同型の族をその範囲で選ぶ。Kel82 §1.11。
$GF\cong1$、$FG\cong1$ があるとする。自然同型の成分による前後の合成はHom対象の同型であり、全Hom対象に対する自然性から、$GF$ と $FG$ の各Hom写像は同型になる。
固定した $x,y$ に対し、Hom対象の射を
$$a=F_{x,y},\quad b=G_{Fx,Fy},\quad a'=F_{GFx,GFy}$$
とする。$ba=(GF)_{x,y}$ と $a'b=(FG)_{Fx,Fy}$ は同型である。従って $b$ は左逆 $(a'b)^{-1}a'$ と右逆 $a(ba)^{-1}$ を持つ。左逆と右逆は一致するので $b$ は同型であり、$a=b^{-1}(ba)$ も同型となる。$FG\cong1_{\mathcal B}$ の成分は各 $b$ と $F(Gb)$ の同型を与え、本質的全射性も従う。
各 $b$ に対し $Gb\in\mathcal A$ と同型 $\varepsilon_b:F(Gb)\to b$ を選ぶ。$G$ のHom写像を
$$
\mathcal B(b,b')\xrightarrow{\ \varepsilon_{b'}^{-1}(-)\varepsilon_b\ }
\mathcal B(FGb,FGb')
\xrightarrow{\ F_{Gb,Gb'}^{-1}\ }\mathcal A(Gb,Gb')
$$
と定める。連続する二射を合成すると中間の $\varepsilon\varepsilon^{-1}$ が打ち消し合う。$F$ が合成を保ち、各Hom写像が同型であることから、$G$ も合成・単位を保つ。この式そのものが $\varepsilon:FG\to1$ の豊穣自然性を与える。
$F$ のHom同型に $I$ からの射を適用し、一意の $\eta_x:x\to GFx$ を $F\eta_x=\varepsilon_{Fx}^{-1}$ で定める。逆成分も同様に持ち上がるので $\eta_x$ は可逆である。全Hom対象上の $\eta$ の自然性に $F$ を適用すると、
$$
(FGF)_{x,y}(-)\,\varepsilon_{Fx}^{-1}
=\varepsilon_{Fy}^{-1}\,F_{x,y}(-)
$$
となり、$G$ の定義から成立する。$F$ のHom写像は同型なので、適用前の自然性も成立する。よって $\eta:1\cong GF$ を得る。
この証明では、対象の代表を選ぶ操作と、Hom対象の構造を運ぶ操作を分けている。後者を単に台圏の射集合の操作へ置き換えないことが要点である。
例と反例
$\mathcal V=\mathbf{Set}$ のとき、Hom対象の同型はHom集合の全単射であり、豊穣自然変換は通常の自然変換である。定義と判定定理は、通常の圏同値および「充満忠実かつ本質的全射」の判定にそのまま戻る。
豊穣圏 $\mathcal A$ から、対象を $(x,i)$（$i=0,1$）、Hom対象を
$\widetilde{\mathcal A}((x,i),(y,j))=\mathcal A(x,y)$
とする豊穣圏を作る。合成・単位は $\mathcal A$ と同じにする。射影 $\widetilde{\mathcal A}\to\mathcal A$ はHom対象上で恒等であり、準逆 $x\mapsto(x,0)$ を持つ。$j_x$ が二つの表示 $(x,0),(x,1)$ 間の逆向きの同型を与えるので豊穣圏同値である。対象集合の全単射は要求されない。
$\mathcal V=\mathbf{Cat}$ とする。一対象・一つの1射を持ち、2射が整数で縦横の合成が加算である厳密2圏 $\mathcal B$ を考える。交換則は整数の加法の可換性から成立する。台圏 $\mathcal B_0$ は一点圏だが、唯一のHom圏は一対象亜群 $B\mathbb Z$ である。
終2圏から $\mathcal B$ への関手は台圏上では同値だが、Hom圏の写像 $*\to B\mathbb Z$ は同型でない。判定定理により豊穣圏同値ではない。
∞圏への接続
局所Kanな単体的豊穣圏とは、各Hom単体的集合がKan複体であるものをいう。そのホモトピー整合的脈体は準圏を与える。準圏は、すべての内角 $\Lambda_i^n\subset\Delta^n$（$0< i< n$）を埋められる単体的集合で、$(\infty,1)$-圏のモデルである。
この表示での DK同値 は、Homごとの弱ホモトピー同値と、Homの連結成分を射集合とするホモトピー圏上の本質的全射性によって定まる。厳密な豊穣圏同値はこれを満たすが、DK同値はHom対象の同型を要求しない。一般の単体的圏やモデル圏から比較する際には、局所Kan表示やcofibrant・fibrant置換を適切に選ぶ。HTT09 Proposition 1.1.5.10、§§1.2.10, 2.2.5。
このモデル比較は引用した基礎であり、本記事の厳密な豊穣圏同値の証明だけから、あらゆる∞圏同値の性質を証明したわけではない。
関連項目
参考文献
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