Menelausの定理

段 1（平面と射影平面）。$D,E,F$ が $k^2$ の直線 $\ell$ の上にあれば、射影平面では $\bar\ell$ の上にある。逆に射影平面の直線 $L$ の上にあれば、$L$ は $\ell_\infty$ の外の点 $D$ を含むので $L\ne\ell_\infty$ で、Cevaの定理 の命題「平面と射影平面の対応」の 2 により、$L$ から 1 点を除いたものは $k^2$ のある直線の像である。$D,E,F$ はその直線の上にある。
段 2（行列式）。Cevaの定理 の補題「共線と共点の行列式による判定」により、射影平面で $D,E,F$ が 1 本の直線の上にあることは
$$ \det\begin{pmatrix}0&1&r_1\\r_2&0&1\\1&r_3&0\end{pmatrix}=0 $$
と同値である。第 1 行で展開すると、値は $-1\cdot(r_2\cdot0-1\cdot1)+r_1(r_2r_3-0)=1+r_1r_2r_3$ である。$\square$

$\delta(X)$ は $y+sz=0$ である。$A=[1:0:0]$ はこれをみたす。$X^*=[0:1:-1/s]$ は $x=0$ と $1+s\cdot(-1/s)=0$ をみたす。残りの 2 つは $\delta(Y)$ が $sx+z=0$、$\delta(Z)$ が $x+sy=0$ であることから同じく確かめられる。$\square$

1 ⇔ 2：$D=[d]$、$E=[e]$、$F=[f]$ とすると、$AD^*=L(d)$、$BE^*=L(e)$、$CF^*=L(f)$ である（prop-men-dual-cevian）。Cevaの定理 の補題「共線と共点の行列式による判定」により、1 も 2 も $\det(d,e,f)=0$ と同値である（3 直線が相異なることは、$D,E,F$ が相異なる点であることから出る）。
2 ⇔ 3：Cevaの定理 の主定理の証明の段 1・段 2 は射影平面の中だけの計算で、比が $k^\times$ のどの値でも通る。比 $-1/r_1$、$-1/r_2$、$-1/r_3$ について使うと、2 は
$$ \Bigl(-\frac1{r_1}\Bigr)\Bigl(-\frac1{r_2}\Bigr)\Bigl(-\frac1{r_3}\Bigr)=1,\quad\text{つまり}\quad r_1r_2r_3=-1 $$
と同値である。$D^*$ は $r_1=1$ のとき無限遠直線の上にあるが、射影平面で考えているので差し支えない。$\square$

$Y$ 以外の直線 $XY$ の点は $Z_t=\dfrac{X+tY}{1+t}$（$t\ne-1$）とただ 1 通りに書け、$\dfrac{XZ_t}{Z_tY}=t$ である。$f$ は 1 次関数なので $f(Z_t)=\dfrac{f(X)+t\,f(Y)}{1+t}$ であり、$f(Z_t)=0$ は $t=-f(X)/f(Y)$ と同値である。この値は $f(X)\ne f(Y)$ より $-1$ でない。$f(Y)\ne0$ なので $Y$ は零点でない。$\square$

$H$ が直線 $A_iA_{i+1}$ とちょうど 1 点で交わり、$A_i\notin H$ なので、$f$ はこの直線の上で定数でなく、$f(A_i)\ne f(A_{i+1})$ である。lem-men-affine により $\dfrac{A_iX_i}{X_iA_{i+1}}=-\dfrac{f(A_i)}{f(A_{i+1})}$ なので、積は $(-1)^m\dfrac{f(A_1)f(A_2)\cdots f(A_m)}{f(A_2)\cdots f(A_m)f(A_1)}=(-1)^m$ である。$\square$

段 1（$X_1,X_2,X_3$ は一直線上にない）。$X_1\ne X_2$ である（等しければ直線 $A_1A_2$ と $A_2A_3$ の共有点 $A_2$ になる）。直線 $X_1X_2$ は平面 $A_1A_2A_3$ に含まれる。一方 $X_3=\dfrac{A_3+tA_4}{1+t}$（$t=r_3\ne0$）が平面 $A_1A_2A_3$ の上にあれば、$A_4=\dfrac{(1+t)X_3-A_3}{t}$（係数の和は $1$）もその平面の上にあることになり、仮定に反する。よって 3 点は 1 つの平面 $\pi$ を定める。
段 2（$\pi$ はどの頂点も通らない）。$A_1\in\pi$ とすると、$\pi$ は $A_1$ と $X_1\ne A_1$ を含むので直線 $A_1A_2$ を含み、$A_2\in\pi$ である。続けて $A_2,X_2$ から $A_3\in\pi$、$A_3,X_3$ から $A_4\in\pi$ となり、4 頂点が同じ平面の上にのって矛盾する。$A_2$、$A_3$、$A_4$ が $\pi$ の上にある場合も、$X_1,X_2,X_3$ だけを使って辺 $A_1A_2$、$A_2A_3$、$A_3A_4$ を両方の向きにたどれば（たとえば $A_2$ からは $X_2$ で $A_3$、$X_3$ で $A_4$、$X_1$ で $A_1$ へ）、4 頂点が $\pi$ の上にのって矛盾する。$X_4$ はここでは使わない。
段 3（4 つ目の点）。$\pi=\{f=0\}$ とする。段 2 より $f(A_i)\ne0$ で、$\pi$ は直線 $A_iA_{i+1}$（$i=1,2,3$）と $X_i$ で交わるので、lem-men-affine から $r_i=-f(A_i)/f(A_{i+1})$ である。よって
$$ r_4=\frac1{r_1r_2r_3}=-\frac{f(A_4)}{f(A_1)} $$
である。$r_4$ は実際の点 $X_4$ の比なので $-1$ でなく、$f(A_4)\ne f(A_1)$ である。lem-men-affine により、$\pi$ は直線 $A_4A_1$ と比が $-f(A_4)/f(A_1)=r_4$ の点で交わる。比は点を決めるので、その点は $X_4$ であり、$X_4\in\pi$ である。$\square$

$A,B,C$ を $e_1,e_2,e_3$ に写す線形同型で座標をとると、$D=[0:1:\sigma(D)]$、$E=[\sigma(E):0:1]$、$F=[1:\sigma(F):0]$ である。3 点が 1 つの大円（原点を通る平面と $S^2$ の交わり）の上にあることは、$\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ で 1 本の直線の上にあることと同じである。prf-men-projective の段 2 の計算により、これは $1+\sigma(D)\sigma(E)\sigma(F)=0$ と同値である。後半は絶対値をとって $\lvert\sigma(D)\rvert$ などの式を代入すればよい。$\square$