シェイプ理論

$\mathrm{Sh}(f)$ に逆射 $F'$ があれば、$F'_P$ が各 $f^*$ の逆写像である。逆に各 $f^*$ が全単射なら、$F'_P:=(f^*)^{-1}$ とおく。$u\colon P\to Q$ と $[k]\in[X,P]$ について $[k]=f^*([g])$ と書くと、$f^*$ の自然性から $f^*([u\circ g])=[u]\circ[k]$ なので $F'_Q([u]\circ[k])=[u\circ g]=[u]\circ F'_P([k])$ であり、$F'$ は自然である。$F'$ は $\mathrm{Sh}(f)$ の逆射である。$\square$

1：$[f]:=F_Y([\mathrm{id}_Y])$ とおく。ANR $P$ と $g\colon Y\to P$ について、自然性を $u=g\colon Y\to P$ と $[\mathrm{id}_Y]$ に使うと
$$ F_P([g])=F_P([g\circ\mathrm{id}_Y])=[g]\circ F_Y([\mathrm{id}_Y])=[g\circ f]=\mathrm{Sh}(f)_P([g]) $$
なので $F=\mathrm{Sh}(f)$ である。逆に $\mathrm{Sh}(f)_Y([\mathrm{id}_Y])=[f]$ である。よって 2 つの対応は互いに逆である。
2：ホモトピー同値なら同じシェイプをもつことは上で見た。逆に $F\colon X\to Y$、$F'\colon Y\to X$ を互いに逆なシェイプ同値とすると、1 により $F=\mathrm{Sh}(f)$、$F'=\mathrm{Sh}(g)$ となる連続写像がある。$\mathrm{Sh}(g\circ f)=F'\circ F=\mathrm{id}=\mathrm{Sh}(\mathrm{id}_X)$ であり、$X$ は ANR なので 1 の単射性から $[g\circ f]=[\mathrm{id}_X]$ である。同様に $[f\circ g]=[\mathrm{id}_Y]$ であり、$f$ はホモトピー同値である。$\square$

コンパクト集合は距離空間で閉なので、$K_k\setminus O=K_k\cap(Z\setminus O)$ はコンパクト集合 $K_1$ の閉集合からなる減少列で、共通部分は $K\setminus O=\emptyset$ である。有限交叉性により、ある $K_k\setminus O$ が空である。$\square$

ANR は、距離化可能空間に対する絶対近傍拡張子である（絶対近傍レトラクトの記事の命題「レトラクトと拡張子の一致」）。すなわち、距離化可能空間 $Y$ の閉集合 $A$ から $P$ への連続写像は、$A$ を含む $Y$ のある開集合の上の連続写像に拡張できる。
1：$X$ はコンパクトなので $Z$ の閉集合である。$f$ の拡張 $F\colon O\to P$（$O\supset X$ は開集合）をとる。lem-sh-decreasing によりある $k$ で $X_k\subset O$ なので、$g:=F|_{X_k}$ とすればよい。
2：$H\colon X\times[0,1]\to P$ を $g|_X$ から $g'|_X$ へのホモトピーとする。距離化可能空間 $Z\times[0,1]$ の閉集合
$$ A:=(X_k\times\{0\})\cup(X\times[0,1])\cup(X_k\times\{1\}) $$
の上で、$X_k\times\{0\}$ では $g$、$X\times[0,1]$ では $H$、$X_k\times\{1\}$ では $g'$ をとる写像 $\Phi$ を考える。3 つの閉集合の共通部分 $X\times\{0\}$、$X\times\{1\}$ の上で値は一致するので、$\Phi$ は連続である。$\Phi$ を $A$ を含む開集合 $O\subset Z\times[0,1]$ 上の連続写像 $\Psi$ に拡張する。$X_m\times[0,1]$（$m\ge k$）はコンパクト集合の減少列で、共通部分 $X\times[0,1]$ は $O$ に含まれるので、lem-sh-decreasing によりある $m\ge k$ で $X_m\times[0,1]\subset O$ である。$\Psi|_{X_m\times[0,1]}$ が $g|_{X_m}$ から $g'|_{X_m}$ へのホモトピーである。
最後の主張：1 は写像が全射であること、2 は単射であることを述べている。自然性は、制限と合成 $u\circ-$ が交換することによる。$\square$

prop-sh-criterion により、ANR $P$ について $\varphi^*\colon[T,P]\to[X,P]$ が全単射であることを示せばよい。$\psi_k\colon T\to X_k$ を $\varphi_k$ のホモトピー逆写像とする。全射性：$f\colon X\to P$ に対し、thm-sh-continuity の 1 により拡張 $g\colon X_k\to P$ がある。$g\simeq g\circ\psi_k\circ\varphi_k$ なので、$X$ に制限して $f\simeq(g\circ\psi_k)\circ\varphi$ である（$\varphi_k|_X=\varphi$）。単射性：$a,b\colon T\to P$ が $a\circ\varphi\simeq b\circ\varphi$ を満たすとする。$a\circ\varphi_1$ と $b\circ\varphi_1$ の $X$ への制限はホモトピックなので、thm-sh-continuity の 2 によりある $m$ で $a\circ\varphi_m\simeq b\circ\varphi_m$ である。右から $\psi_m$ を合成すると $a\simeq b$ である。$\square$

段 1（近似する列）．$a_k:=1/(\pi/2+2\pi k)$（$k\ge1$）とおくと $\sin(1/a_k)=1$、$a_1=2/(5\pi)<1$ で、$a_k$ は $0$ に減少する。$R_k:=[0,a_k]\times[-1,1]$、$G_k:=\{(x,\sin(1/x))\mid a_k\le x\le1\}$、$p_k:=(a_k,1)$ とし、
$$ Y_k:=R_k\cup G_k,\qquad X_k:=Y_k\cup L $$
とおく。これらはコンパクトである。$0< x\le a_k$ の部分のグラフは $R_k$ に含まれるので $G\cup I\subset Y_k$ であり、$R_{k+1}\subset R_k$ と合わせて $Y_{k+1}\subset Y_k$、$X_{k+1}\subset X_k$ である。$(x,y)\in\bigcap_kY_k$ とすると、$x=0$ なら $(x,y)\in R_k$ から $(x,y)\in I$ であり、$x>0$ なら $a_k< x$ となる $k$ について $(x,y)\notin R_k$ なので $(x,y)\in G_k\subset G$ である。よって $\bigcap_kY_k=S$、$\bigcap_kX_k=W$ である。また $G_k\cap R_k=\{p_k\}$、$L\cap R_k=\{(0,-1)\}$、$L\cap G_k=\{(1,\sin1)\}$ である。
段 2（正弦曲線）．$Y_k$ は可縮である。実際、$\gamma(x):=(x,\sin(1/x))$ とおき、$G_k$ の上で $H_t(\gamma(x)):=\gamma((1-t)x+ta_k)$、$R_k$ の上で $H_t(z):=(1-t)z+tp_k$ と定める。$R_k$ は凸なので $H_t(R_k)\subset R_k$ で、共通点 $p_k=\gamma(a_k)$ では両式とも $p_k$ を与えるので、閉集合での貼り合わせにより $H$ は連続であり、$H_0=\mathrm{id}$、$H_1$ は定値写像である。したがって 1 点への写像 $Y_k\to\{\ast\}$ はホモトピー同値であり、lem-sh-tower を $T=\{\ast\}$ に適用して 2 の前半を得る。
段 3（ワルシャワ円の近似の形）．$A_k:=G_k\cup L$ は $p_k$ から $(1,\sin1)$ を経て $(0,-1)$ に至る弧（$[0,1]$ と同相な集合）で、$A_k\cap R_k=\{p_k,(0,-1)\}$ である。$D_k$ を $(0,-1)$ と $p_k$ を結ぶ線分（$R_k$ の対角線）とし、$C_k:=A_k\cup D_k$ とおく。$\pi_k\colon R_k\to D_k$ を、$D_k$ を含む直線への直交射影とする。$v:=(a_k,2)$ とおくと $\pi_k(z)=(0,-1)+\tau(z)v$、$\tau(z):=\langle z-(0,-1),v\rangle/\lvert v\rvert^2$ であり、$\tau$ は $R_k$ の 4 頂点で $0$、$1$、$4/(a_k^2+4)$、$a_k^2/(a_k^2+4)$ をとる。$\tau$ は 1 次式なので $R_k$ の上で $[0,1]$ に値をとり、$\pi_k(R_k)\subset D_k$ である。$R_k$ の上の $(1-t)z+t\pi_k(z)$ と $A_k$ の上の恒等写像は、共通点（$D_k$ の端点で $\pi_k$ が動かさない点）で一致するので、貼り合わせて $X_k$ から $X_k$ へのホモトピーを得る。これは $\mathrm{id}_{X_k}$ から、$C_k$ へのレトラクション $\rho_k\colon X_k\to C_k$ へのホモトピーである。よって包含写像 $C_k\hookrightarrow X_k$ はホモトピー同値で、$\rho_k$ がそのホモトピー逆写像である。
段 4（円周への写像）．$A_1$ は弧なので、同相写像 $\alpha\colon[0,1]\to A_1$ で $\alpha(0)=p_1$、$\alpha(1)=(0,-1)$ となるものがある。$Q\colon X_1\to S^1\subset\mathbb{C}$ を、$R_1$ の上で $Q:=1$、$A_1$ の上で $Q(\alpha(\sigma)):=e^{2\pi i\sigma}$ と定める。$R_1\cap A_1=\{\alpha(0),\alpha(1)\}$ で両式は $1$ を与えるので $Q$ は連続である。$q_k:=Q|_{X_k}$、$q:=Q|_W$ とおくと $q_{k+1}=q_k|_{X_{k+1}}$ であり、$q$ は $I\subset R_1$ を $1$ に送る。
段 5（$q_k$ はホモトピー同値）．$0< x\le a_1$ の部分のグラフは $R_1$ に含まれるので、$B_k:=\{(x,\sin(1/x))\mid a_k\le x\le a_1\}\subset R_1$ であり、$E_k:=D_k\cup B_k$ は $(0,-1)$ から $p_k$ を経て $p_1$ に至る $R_1$ の中の弧で、$C_k=A_1\cup E_k$、$A_1\cap E_k=\{p_1,(0,-1)\}$ である。$Q$ は $E_k$ の上で $1$ である。$\beta\colon[\frac12,1]\to E_k$ を $\beta(\frac12)=(0,-1)$、$\beta(1)=p_1$ となる同相写像とし、$\lambda\colon[0,1]\to C_k$ を $[0,\frac12]$ では $\alpha(2\sigma)$、$[\frac12,1]$ では $\beta(\sigma)$ と定める。$\lambda$ は $\lambda(0)=\lambda(1)$ 以外では単射なので、$e^{2\pi i\sigma}\mapsto\lambda(\sigma)$ は連続な全単射 $\bar\lambda\colon S^1\to C_k$ を与え、$S^1$ はコンパクト、$C_k$ は Hausdorff なので同相写像である。$\phi(\sigma):=\min\{2\sigma,1\}$ とおくと $q_k(\bar\lambda(e^{2\pi i\sigma}))=e^{2\pi i\phi(\sigma)}$ である。$K_t(e^{2\pi i\sigma}):=e^{2\pi i((1-t)\phi(\sigma)+t\sigma)}$ は、$\sigma=0,1$ で $(1-t)\phi+t\sigma$ がそれぞれ $0,1$ なので $S^1\times[0,1]$ 上で矛盾なく定まって連続であり、$q_k|_{C_k}\circ\bar\lambda$ と $\mathrm{id}_{S^1}$ を結ぶ。よって $q_k|_{C_k}=(q_k|_{C_k}\circ\bar\lambda)\circ\bar\lambda^{-1}$ はホモトピー同値である。段 3 により $q_k\simeq q_k\circ\rho_k=(q_k|_{C_k})\circ\rho_k$ はホモトピー同値の合成なので、$q_k$ はホモトピー同値である。
段 6（まとめ）．lem-sh-tower を $T=S^1$、$\varphi_k=q_k$ に適用して、$q$ はシェイプ同値である。$W$ はどの CW 複体ともホモトピー同値でない（位相幾何学者の正弦曲線の記事の命題「ワルシャワ円のホモトピー群と可縮性」の 3）ので、CW 複体 $S^1$ ともホモトピー同値でない。$S$ が弧状連結でないことは同記事の定理「弧状連結でない」であり、弧状連結性はホモトピー同値で保たれるので、$S$ は 1 点とホモトピー同値でない。$\square$

1：シェイプ同値 $F$ の成分 $F_P$ が全単射である。$S^1$ は多様体なので ANR である（絶対近傍レトラクトの記事の例「多様体と局所有限CW複体」）。$F=\mathrm{Sh}(f)$ のとき $f^*([a][b])=[(a\circ f)(b\circ f)]=f^*([a])f^*([b])$ なので $f^*$ は準同型である。
2：1 と主定理 3 による。$S\to\{\ast\}$ がシェイプ同値なので $[S,S^1]$ は $[\{\ast\},S^1]$ と全単射で対応し、後者は $S^1$ が弧状連結なので 1 元である。$\square$