マイクロ台

前提知識: 層, 導来圏, 層コホモロジー, 局所系, 余接束

マイクロ台（micro-support）は、多様体 $X$ 上の層（あるいは層の複体）$F$ に対して、余接束 $T^*X$ の閉円錐集合 $\mathrm{SS}(F)$ を対応させる不変量である。柏原正樹と P. Schapira が導入した。点 $x$ と余接ベクトル $\xi\in T^*_xX$ の組 $(x;\xi)$ がマイクロ台に入らないとは、「$x$ の近くで、微分が $\xi$ に近い関数 $\varphi$ を選んで $\{\varphi<0\}$ から $\{\varphi\ge0\}$ へ境界を越えるとき、$F$ のコホモロジーが変わらない」ことをいう。マイクロ台と零切断の共通部分は台であり、零切断の外にある部分は、$F$ がどの余方向へ「伝播しないか」を記録する。
この不変量は、構成可能層の理論を余接束の幾何に移す。実解析多様体の上の複体が（劣解析的な層別について）弱構成可能であることは、マイクロ台が劣解析的な Lagrange 集合であることと同値である（柏原–Schapira）。複素多様体の上の $\mathcal D$ 加群の解の複体のマイクロ台は、特性多様体に一致する。代数多様体のエタール層に対する類似が 特異台(エタール層)であり、その成分に重複度をつけたものが 特性サイクルである。
この記事では、マイクロ台を定義し、基本性質（閉円錐性、台との関係、三角不等式）を証明する。さらに、局所定数層のマイクロ台が零切断であること、直線上の半直線の定数層のマイクロ台、閉部分多様体の定数層のマイクロ台が余法束であることを、定義から計算する。包合性の定理と構成可能性の特徴づけは引用とする。

設定と記号

$X$ を $n$ 次元の $C^\infty$ 級多様体、$A$ を可換環とし、$X$ 上の $A$ 加群の層の複体の下に有界な導来圏を $D^+(X)$ と書く（導来圏）。有界な複体のなす部分圏を $D^b(X)$ と書く。$F\in D^+(X)$ の台を
$$ \operatorname{supp}F:=\overline{\{x\in X\mid \text{ある }j\text{ で }H^j(F)_x\neq0\}} $$
（閉包）と定める。
$\pi\colon T^*X\to X$ を余接束、$T^*_XX$ をその零切断とする。部分集合 $C\subset T^*X$ が円錐的（conic）であるとは、$(x;\xi)\in C$ と実数 $c>0$ について $(x;c\xi)\in C$ となることをいう。$X$ の部分多様体 $Y$ に対して、
$$ T^*_YX:=\{(x;\xi)\in T^*X\mid x\in Y,\ \xi|_{T_xY}=0\} $$
を $Y$ の余法束（conormal bundle）という。$Y$ が閉部分多様体なら $T^*_YX$ は $T^*X$ の閉円錐集合であり、$Y=X$ なら零切断である。
$Z\subset X$ を閉集合、$j\colon X\setminus Z\to X$ を包含とする。$F\in D^+(X)$ について、単位射 $F\to Rj_*j^{-1}F$ を含む完全三角形
$$ R\Gamma_Z(F)\longrightarrow F\longrightarrow Rj_*j^{-1}F\xrightarrow{+1} $$
で $R\Gamma_Z(F)$ を定める（$Z$ に台をもつ切断の導来関手）。点 $x$ での茎をとると長完全列
$$ \cdots\to H^k(R\Gamma_Z(F))_x\to H^k(F)_x\to\varinjlim_{V\ni x}H^k(V\setminus Z;F)\to H^{k+1}(R\Gamma_Z(F))_x\to\cdots $$
が得られる。帰納極限は $x$ の開近傍 $V$ についてとる（高次順像の茎の計算）。したがって
(★) $R\Gamma_Z(F)_x=0$ であることと、すべての $k$ で $H^k(F)_x\to\varinjlim_{V\ni x}H^k(V\setminus Z;F)$ が同型であることは同値である。
茎 $R\Gamma_Z(F)_x$ は、$x$ の近くでの $Z$ と $F$ だけで決まる。関数 $\varphi$ が $x$ の近傍 $W$ でだけ定義されているときも、$W$ の閉集合 $\{\varphi\ge0\}$ について $R\Gamma_{\{\varphi\ge0\}}(F|_W)_x$ を考え、これを $R\Gamma_{\{\varphi\ge0\}}(F)_x$ と書く。

定義

これは KS85 Definition 3.1.2（p. 53）の定義であり、同書は序の Definition 0.1（p. 5）でも同じ形で述べる。同書 Theorem 3.1.1（p. 49）は、この条件が、$\varphi$ を $C^\alpha$ 級（$1\le\alpha\le\infty$）に限っても実解析的に限っても変わらないこと、また凸な錐 $G$ を使った大域的な条件（「$G$ 位相」の条件）と同値であることを示す（この記事では証明しない）。函手的な性質の証明には、この大域的な言い換えが使われる。
直感的には、$\{\varphi<0\}$ の上の $F$ の切断（とそのコホモロジー類）が、境界 $\{\varphi=0\}$ を越えて $x_1$ のまわりに一意に延びることが、$(R\Gamma_{\{\varphi\ge0\}}F)_{x_1}=0$ の意味である（(★)）。マイクロ台に入らない余方向とは、この延長がいつもできる向きのことである。
用語の注意。 代数多様体のエタール層について Beilinson が定めた $\mathrm{SS}(F)$ も、英語で singular support または micro-support と呼ばれる（Bei16 §1.3）。この記事の $\mathrm{SS}(F)$ は多様体の上の層に対する柏原–Schapira の不変量を指し、エタール層の不変量は 特異台(エタール層)の記事で扱う。

基本性質

(1)・(3)・(4) は KS85 3.1.2（p. 53）にある。同じ箇所は (4) と並べて、$(\mathrm{SS}(F')\setminus\mathrm{SS}(F''))\cup(\mathrm{SS}(F'')\setminus\mathrm{SS}(F'))\subset\mathrm{SS}(F)$ も述べる。

局所定数層のマイクロ台

マイクロ台が零切断に収まることは、局所定数性の言い換えである。まず局所定数な層について、零切断の外の点がマイクロ台に入らないことを定義から示す。

逆も成り立つ：$F\in D^+(X)$ について $\mathrm{SS}(F)\subset T^*_XX$ なら、すべての $H^j(F)$ は局所定数である（KS85 Proposition 4.1.2 の ii)、p. 62 を、$Y=X$ から 1 点への滑らかな写像に当てはめたもの。この記事では証明しない）。逆向きの証明では、零切断の外で「境界を越えても変わらない」ことを、凸な錐の方向に切断を押し広げる議論（同書 Proposition 3.2.2、p. 58）で大域的な定数性につなぐ。こうしてマイクロ台は、「局所定数でない度合い」を余接束の中で測る量になる。

半直線の定数層

直線 $X=\mathbb R$ の余接束を $T^*\mathbb R=\mathbb R\times\mathbb R$ と同一視し、点を $(x;\xi)$（$\xi$ は $dx$ の係数）で表す。閉集合 $Z\subset X$ への包含 $i$ について、$A_Z:=i_*i^{-1}A_X$ と書く。開集合 $\Omega$ への包含 $j$ については $A_\Omega:=j_!j^{-1}A_X$（零拡張）と書く。どちらも茎は集合の点で $A$、外で $0$ である。

$\mathbb R^n$ の閉半空間・開半空間についての同じ計算が KS85 3.1.3 の例 2)・4)（p. 54）にある。閉半直線では、切断が消えている側 $\{x< 0\}$ から $0$ を越えると茎が $A$ に跳ぶので、$x$ が増える余方向 $\xi>0$ がマイクロ台に入る。開半直線では、切断のある側 $\{x>0\}$ から $0$ を越えると茎が $0$ に落ちるので、逆向きの $\xi< 0$ が入る。この 2 つの層は $0$ の茎だけが違い、茎の違いがマイクロ台の向きの違いとして現れている。

閉部分多様体と余法束

$Y=X$ なら $T^*_XX$ は零切断であり、thm-ms-locally-constant の特別な場合になる。$Y$ が 1 点 $\{x_0\}$ なら $T^*_{x_0}X$ はファイバー全体であり、摩天楼層 $A_{\{x_0\}}$ はすべての余方向に「伝播しない」。段 2 の包含は、固有な順像の評価（節「関手との関係」）を閉埋め込み $i$ に当てはめたものでもある。
余法束 $T^*_YX$ は $T^*X$ の Lagrange 部分多様体の典型である（Lagrange部分多様体）。上の座標で $T^*X$ の座標を $(y;\eta)$ とすると $T^*_YX=\{y_{k+1}=\dots=y_n=0,\ \eta_1=\dots=\eta_k=0\}$ であり、次元は $n$、正準シンプレクティック形式 $\sum_id\eta_i\wedge dy_i$ の制限は $0$ である。次の節の定理は、これがマイクロ台の一般的な性質の現れであることを示す。

包合性と構成可能性

$T^*X$ の座標を $(x;\xi)$ とし、$T^*X$ の開集合 $U$ 上の $C^\infty$ 関数 $f$ に対して、Hamilton ベクトル場を
$$ H_f:=\sum_{i=1}^n\Bigl(\frac{\partial f}{\partial\xi_i}\frac{\partial}{\partial x_i}-\frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{\partial}{\partial\xi_i}\Bigr) $$
と書く（符号の規約は文献により異なるが、積分曲線の集合は変わらない）。

実解析多様体 $X$ の上の、劣解析的な集合（劣解析的集合）からなる Whitney 層別（Whitney層別）について各コホモロジー層が局所定数となる複体を、弱 $\mathbb R$-構成可能という（KS85 Definition 8.2.5、p. 145。茎の有限性を加えたものが $\mathbb R$-構成可能、構成可能層）。$T^*X$ の円錐的な劣解析的集合 $\Lambda$ が等方的であるとは、稠密な開部分多様体の上で正準 1 形式 $\sum_i\xi_i\,dx_i$ の制限が $0$ となることをいい、等方的かつ包合的なものを Lagrange 的という（同 Definition 8.2.1、p. 144）。

複素多様体では、複素解析的な層別について構成可能であること（弱 $\mathbb C$-構成可能）は、$\mathrm{SS}(F)$ が閉円錐的な複素解析的 Lagrange 集合であることと同値である（KS85 Theorem 8.5.2、p. 151）。複素代数多様体の構成可能複体と Whitney 層別についての包含は MS21 の式 (20)（p. 26）にもある。
$\mathcal D$ 加群との関係。 複素多様体 $X$ の上の連接 $\mathcal D_X$ 加群 $\mathcal M$（D加群）について、正則解の複体 $R\mathcal{H}om_{\mathcal D_X}(\mathcal M,\mathcal O_X)$ のマイクロ台は $\mathcal M$ の特性多様体 $\operatorname{char}(\mathcal M)$ に等しい（KS85 Theorem 10.1.1、p. 174）。マイクロ台は、微分方程式の特性多様体を、方程式を忘れて解の層だけから復元したものといえる（同書の序、pp. 5–6）。

関手との関係

マイクロ台は、層の演算と余接束の間の対応で評価できる。$f\colon Y\to X$ を $C^\infty$ 写像とし、
$$ T^*Y\xleftarrow{\ {}^tf'\ }Y\times_XT^*X\xrightarrow{\ f_\pi\ }T^*X $$
を微分の転置と射影とする。

• 固有な順像。 $G\in D^+(Y)$ の台の上で $f$ が固有なら、$\mathrm{SS}(Rf_*G)\subset f_\pi({}^tf'^{-1}(\mathrm{SS}(G)))$ であり、$f$ が閉埋め込みなら等号が成り立つ（KS85 Proposition 4.1.1、p. 61）。
• 滑らかな写像による逆像。 $f$ が沈め込みなら、$F\in D^+(X)$ について $\mathrm{SS}(f^{-1}F)={}^tf'(f_\pi^{-1}(\mathrm{SS}(F)))$ である（同 Proposition 4.1.2 の i)、p. 62）。
  どちらもこの記事では証明しない。固有性と等号の条件は外せない。

反例の表

1 行目の $A_{[0,\infty)}$ は $\{[0,\infty),(-\infty,0)\}$ に分けた層別について構成可能であり、マイクロ台は層 $\{0\}$ の余法束の半分 $\{(0;\xi)\mid\xi\ge0\}$ と開いた層の零切断の和になる。構成可能層のマイクロ台は一般に余法束の和の全体ではなく、その一部の閉円錐集合である。

関連する枠組み

• 特異台と特性サイクル。 代数多様体のエタール層では、局所非輪状性を使ってマイクロ台の類似を定める（特異台(エタール層)）。複素代数多様体の構成可能複体のマイクロ台の各成分には、層別 Morse 理論によって重複度が定まり、Lagrange サイクル（特性サイクル）になる。
• 偏屈層。 偏屈層については、特性サイクルの台がマイクロ台に一致する（MS21 の式 (43)、p. 39。偏屈層）。
• 超局所解析。 マイクロ台は、佐藤の超関数とその超局所化の理論から生まれた（KS85 の序、pp. 5–6）。KS85 は、Fourier–Sato 変換と超局所化（第 2 章）を層の言葉で整え、接触変換（第 6 章）によってマイクロ台を局所的に標準形へ移す。

関連項目

• 前提: 層, 導来圏, 層コホモロジー, 局所系, 余接束
• 比較: 構成可能層, Whitney層別, Lagrange部分多様体, D加群
• 直後に読む: 特異台(エタール層), 特性サイクル
• 発展: Verdier双対, 偏屈層, Thom–Matherの同位定理, 劣解析的集合