奇数の完全数

同義語：odd perfect number

概要

前提知識: 完全数, 約数総和関数, 素因数分解, 合同式

問題の状態

正の整数 $N$ の正の約数の総和を $\sigma(N)$ と書く。$N$ が完全数であるとは
$$ \sigma(N)=2N $$
が成り立つことをいう。奇数の完全数は、この等式を満たす奇数 $N$ である。

奇数の完全数

奇数の正整数 $N$ が
$$ \sigma(N)=2N $$
を満たすとき、$N$ を奇数の完全数（odd perfect number）という。

2026年9月現在、奇数の完全数は一つも知られていない。一方で、奇数の完全数が存在しないという証明も知られていない。したがって以下の結果は、すべて

奇数の完全数 $N$ が存在すると仮定すれば、$N$ はこの条件を満たす
という必要条件である。必要条件を多数並べても、それだけで非存在が証明されたことにはならない。

Euler形

最も基本的な必要条件は、素因数分解に現れる奇数指数がちょうど一つであることを述べる。

Euler形

$N$ が奇数の完全数ならば、奇素数 $p$、正の整数 $\alpha$、奇数 $M$ が存在して
$$ N=p^\alpha M^2,\qquad \gcd(p,M)=1,\qquad p\equiv\alpha\equiv1\pmod4 $$
と書ける。素因数分解では
$$ N=p^\alpha q_1^{2b_1}\cdots q_s^{2b_s} $$
となり、$p$ だけが奇数指数で現れる。$p$ を特殊素数、$p^\alpha$ をEuler因子という。

素因数分解を
$$ N=\prod_{i=1}^r p_i^{e_i} $$
とする。$N$ は奇数なので、各 $p_i$ は奇素数である。約数総和関数の乗法性から
$$ \sigma(N)=\prod_{i=1}^r\sigma(p_i^{e_i}), \qquad \sigma(p_i^{e_i})=1+p_i+\cdots+p_i^{e_i} $$
である。各 $p_i$ は奇数だから
$$ \sigma(p_i^{e_i})\equiv e_i+1\pmod2. $$
したがって $e_i$ が奇数なら $\sigma(p_i^{e_i})$ は偶数、$e_i$ が偶数なら奇数である。
$\sigma(N)=2N$ で $N$ は奇数なので、$\sigma(N)$ は $2$ では割れるが $4$ では割れない。ゆえに奇数指数 $e_i$ はちょうど一つでなければならない。すべて偶数なら $\sigma(N)$ が奇数になり、二つ以上が奇数なら $4\mid\sigma(N)$ になるからである。その唯一の素数を $p$、指数を $\alpha$ と書けば
$$ N=p^\alpha M^2,\qquad\gcd(p,M)=1 $$
となる。
さらに $\sigma(p^\alpha)$ は $2$ で割れるが $4$ では割れない。もし $p\equiv3\pmod4$ なら、$\alpha$ は奇数なので
$$ \sigma(p^\alpha) =(1+p)+(p^2+p^3)+\cdots+(p^{\alpha-1}+p^\alpha) \equiv0\pmod4, $$
となって矛盾する。よって $p\equiv1\pmod4$ である。このとき
$$ \sigma(p^\alpha)\equiv\alpha+1\pmod4. $$
左辺は $2\pmod4$ だから $\alpha\equiv1\pmod4$ である。

4を法とする剰余

奇数の完全数 $N$ が存在すれば
$$ N\equiv1\pmod4 $$
である。

Euler形で $M^2\equiv1\pmod4$ かつ $p^\alpha\equiv1\pmod4$ だから、その積 $N$ も $1\pmod4$ である。

Euler形は必要条件であって十分条件ではない。

Euler形を満たすが完全でない数

$45=5\cdot3^2$ は
$$ p=5,\qquad\alpha=1,\qquad M=3 $$
としてEuler形を満たす。しかし
$$ \sigma(45)=\sigma(5)\sigma(3^2)=6\cdot13=78\ne90=2\cdot45. $$
したがって「Euler形を満たせば奇数の完全数である」という逆向きの含意は偽であり、$45$ が反例になる。

約数比から分かること

正整数 $n$ に対して
$$ I(n):=\frac{\sigma(n)}{n} $$
を約数比という。素数べきについて
$$ I(p^a)=1+\frac1p+\cdots+\frac1{p^a} <\frac{p}{p-1} $$
である。

二つ以下の素因数では不可能

奇数の完全数は、少なくとも三つの相異なる素因数をもつ。

$N$ の相異なる素因数を $p_1<\cdots< p_r$ とする。約数総和関数の乗法性から
$$ 2=I(N)=\prod_{i=1}^r I(p_i^{e_i}) <\prod_{i=1}^r\frac{p_i}{p_i-1}. $$
$N$ は奇数なので、$r\leq2$ なら右辺は、最小の二つの奇素数 $3,5$ を用いた場合でも
$$ \prod_{i=1}^r\frac{p_i}{p_i-1} \leq\frac32\cdot\frac54 =\frac{15}{8}<2 $$
である。これは上の不等式に矛盾する。よって $r\geq3$ である。

この初等的評価は現在知られている下界よりはるかに弱い。しかし、素因数が増える必要性を約数比から直接説明する。

真の約数は不足数である

$N$ が完全数で $d\mid N$ かつ $d< N$ ならば
$$ \sigma(d)<2d $$
である。

$N=\prod p_i^{e_i}$、$d=\prod p_i^{f_i}$ とし、$0\leq f_i\leq e_i$ とする。$d< N$ なので、少なくとも一つの $i$ で $f_i< e_i$ である。各素数 $p$ について
$$ I(p^f)=1+\frac1p+\cdots+\frac1{p^f} $$
は $f$ とともに狭義単調増加する。よって
$$ I(d)=\prod_i I(p_i^{f_i}) <\prod_i I(p_i^{e_i}) =I(N)=2. $$
両辺に $d$ を掛ければ結論を得る。

公刊されている強い必要条件

$\omega(N)$ を相異なる素因数の個数、$\Omega(N)$ を重複を込めた素因数の個数とする。すなわち
$$ N=\prod_{i=1}^r p_i^{e_i} $$
なら
$$ \omega(N)=r,\qquad\Omega(N)=e_1+\cdots+e_r $$
である。
奇数の完全数 $N$ が存在すると仮定すると、査読済みの公刊文献から少なくとも次が分かっている。

相異なる素因数: $\omega(N)\geq10$ である Nie15。さらに $3\nmid N$ なら $\omega(N)\geq12$ である Nie07。
重複を込めた素因数: $\Omega(N)\geq101$ である OR12。
二つの個数の関係:
$$ \Omega(N)\geq\frac{99\omega(N)-187}{37} $$
であり、$3\nmid N$ なら
$$ \Omega(N)\geq\frac{51\omega(N)-46}{19} $$
である CH23。
全体の大きさ: $N>10^{1500}$ である OR12。
素数べき成分: $p^a\mid N$ となる素数べきのうち、少なくとも一つは $10^{62}$ より大きい OR12。
最大素因数: $N$ は $10^8$ より大きい素因数をもつ GO08。
合同条件:
$$ N\equiv1\pmod{12} \quad\text{または}\quad N\equiv9\pmod{36} $$
である Hol02。
これらは互いに役割が異なる。例えば $N>10^{1500}$ は全体の大きさの条件であって、素因数が101種類あるという意味ではない。$\Omega(N)\geq101$ は重複込みであり、相異なる素因数についての主張は $\omega(N)\geq10$ である。また「最大素数べき成分が $10^{62}$ より大きい」と「最大素因数が $10^8$ より大きい」も同じ主張ではない。

計算結果の扱い

$10^{1500}$、$101$、$10^{62}$ という三つの下界は、因子連鎖と大規模計算を用いた OR12 の公刊結果である。研究者のWebページにはその後の計算更新も掲示されているが、本記事では査読済み論文に記載された値と未公刊の更新を混ぜていない。将来、より強い値が公刊された場合は出典とともに更新する必要がある。

有限性について分かること

奇数の完全数全体が有限か無限かは分かっていない。ただし、相異なる素因数の個数を固定すれば有限性が成り立つ。

固定した素因数個数での有限性

各正整数 $r$ に対し
$$ \omega(N)\leq r $$
を満たす奇数の完全数 $N$ は有限個しか存在しない。

これはDicksonの有限性定理の完全数への適用である。ここで原始的非不足数とは、自身は $\sigma(N)\geq2N$ を満たし、すべての真の約数 $d$ は $\sigma(d)<2d$ を満たす数をいう。Dicksonの定理は、相異なる素因数の個数が高々 $r$ である奇数の原始的非不足数が有限個しかないことを述べる。前命題により奇数の完全数はこの条件を満たすので、該当する奇数の完全数も有限個である。Dicksonの有限性定理自体の証明は Dic13 を参照されたい。

この命題は「奇数の完全数は有限個である」とは述べていない。$r$ を固定するごとに有限であっても、$r$ が無制限に増えることで全体が無限になる可能性は論理的には残る。

証明済み・未解決・予想の区別

証明済み

偶数の完全数はEuclid--Eulerの定理によって完全に分類されている。
奇数の完全数が存在するなら、Euler形と本記事に挙げた必要条件を満たす。
相異なる素因数の個数を固定すれば、候補となる奇数の完全数は有限個である。

未解決

奇数の完全数が一つでも存在するか。
存在するとして有限個か無限個か。
Euler形 $N=p^\alpha M^2$ の特殊指数が常に $\alpha=1$ か。
最後の主張はしばしば予想として研究されるが、Eulerの定理からは $\alpha\equiv1\pmod4$ までしか従わない。$\alpha=1$ を既知の定理として扱ってはならない。

非存在証明にならないもの

非常に大きな範囲まで候補を排除すること。
必要条件を満たす具体的な合成数を見つけること。
Euler形を満たす数が完全でない例を多数調べること。
有限の計算範囲を越えた候補は残り、必要条件は十分条件ではない。奇数の完全数の問題を解決したと主張するには、すべての奇数を覆う一般証明、または実際に $\sigma(N)=2N$ を満たす具体的な奇数 $N$ が必要である。