変分法の直接法

前提知識: 変分法, 反射的Banach空間, 半連続性, 弱収束(Banach空間)

変分法の直接法（direct method in the calculus of variations）は、汎関数の最小点が存在することを、Euler–Lagrange 方程式を解くことによらずに直接示す方法である。値が下限に近づく点列（最小化列）をとり、そこから収束する部分列を取り出し、その極限が最小点になることを確かめる。Tonelli の直接法とも呼ばれる。
この方法がうまくいくには、相反する 2 つの性質が同時に要る。部分列が収束するには、弱い位相（収束しやすい位相）が都合がよい。一方、極限で値が上に跳ねないこと（下半連続性）は、強い位相ほど成り立ちやすい。反射的な Banach 空間の弱位相と、凸な汎関数の組み合わせは、この 2 つを両立させる典型である。
この記事では、まず位相空間での抽象的な形を述べて証明し、次に反射的な Banach 空間での形（主定理）を証明する。応用として、凸でない汎関数でも直接法が使える 1 次元の例と、端で発散するポテンシャルをもつ制約付きの例、最小点がちょうど 2 つある凸でない 4 次の汎関数の例を扱う。最後に、主定理の仮定を 1 つずつ外した反例を挙げる。その中には、凸性を外すと下限がとられない Bolza の例が含まれる。

抽象的な形

$X$ を位相空間、$\Phi\colon X\to(-\infty,+\infty]$ を関数とする。$m:=\inf_X\Phi\in[-\infty,+\infty]$ について、$\Phi(x_k)\to m$ となる点列 $(x_k)$ を 最小化列 という。$X$ の点列 $x_k\to x$ について $\Phi(x)\le\liminf_{k\to\infty}\Phi(x_k)$ がつねに成り立つとき、$\Phi$ は 点列下半連続 であるという。下半連続な関数は点列下半連続である（半連続性 の命題「ネットによる特徴づけ」）。

仮定のうち「$S_c$ の点列が収束部分列をもつ」は、$\Phi$ の値が小さい点が「遠くへ逃げない」ことと、その範囲で位相がコンパクト性を与えることを合わせたものである。位相を弱くすると収束部分列はとりやすくなるが、点列下半連続性は成り立ちにくくなる。

反射的な Banach 空間での直接法

以下、$E$ を実数体上の Banach 空間とする。$A\subset E$ と $\Phi\colon A\to(-\infty,+\infty]$ について、$x\in A$、$\|x\|\to\infty$ のとき $\Phi(x)\to+\infty$ となることを 強圧性 という（$A$ が有界なら条件はないものとする）。双線形形式の強圧性（強圧的双線形形式）とは別の条件だが、強圧的な形式 $a$ について $v\mapsto a(v,v)$ はこの意味で強圧的である。

この証明では、最小化列の極限が $A$ に入ることを別に示す必要がない。$\tilde\Phi$ を使ったので、極限で $\tilde\Phi$ が有限であることから自動的に $A$ に入る。ここで $A$ の閉性と凸性が、$\tilde\Phi$ の下半連続性と凸性として効いている（ノルムで閉じた凸集合は弱閉である：Mazurの補題 の定理「凸集合の強閉と弱閉」）。

凸でない汎関数への応用

直接法の要は弱下半連続性であり、汎関数全体が凸である必要はない。微分の最高階の部分が凸で、低階の部分がコンパクト性で制御できれば十分である。1 次元で、その典型を示す。
$H:=H^1_0(0,1)$（1次元Sobolev空間 の定義「零境界の空間」）に内積 $\langle u,v\rangle_H:=\int_0^1u'v'\,dx$ を入れる。各 $v\in H$ は連続な代表をもち、$v(0)=0$ なので $v(x)=\int_0^xv'(t)\,dt$ である（同記事の定理「連続な代表」「零境界の空間の特徴づけ」）。Cauchy–Schwarz の不等式から
$$ |v(x)|\le\|v\|_H\quad(0\le x\le1),\qquad\|v\|_{L^2}\le\|v\|_H $$
である。とくに $\|v\|_H$ は $H^1$ ノルムと同値なので、$H$ はこの内積で Hilbert 空間であり、反射的である。

$G$ が凸でなければ $J$ は凸とは限らず、最小点は一意とは限らない。たとえば $G(t)=5(t^2-1)^2$、$f=0$ とし、$\varphi(x):=\sin\pi x$ とおくと、$\dfrac{d^2}{dt^2}J(t\varphi)\Big|_{t=0}=\int_0^1\varphi'^2\,dx-20\int_0^1\varphi^2\,dx=\dfrac{\pi^2}2-10<0$ なので、$0$ は最小点でなく、$J$ は凸でない。$J(-v)=J(v)$ なので、最小点 $u\ne0$ があれば $-u$ も別の最小点である。一方 $G(t)=(t^2-1)^2$ では、$J(v)=\bigl(\frac12\|v\|_H^2-2\|v\|_{L^2}^2\bigr)+\int_0^1(v^4+1)\,dx-\int_0^1fv\,dx$ と書け、区間での Poincaré の不等式 $\|v\|_{L^2}^2\le\pi^{-2}\|v\|_H^2$ により第 1 項が凸なので、$J$ は凸である。$\frac12\int v'^2$ の項が凸であることは 3 で、低階の項 $G(v)$ が凸でなくてよいのは 1 で、$v_k(x)\to v(x)$ という各点の収束（1 次元の Sobolev 空間のコンパクト性の現れ）を使ったからである。

制約と端で発散するポテンシャル

値が $[-1,1]$ に制限され、端に近づくと強い力で押し戻される場合を考える。以下 $H^2(0,1):=\{v\in H^1(0,1)\mid v'\in H^1(0,1)\}$ とする。

$f$ が $L^2$ に属するだけのときも、端で $j'$ が十分速く発散すれば最小点は端に触れない。

指数 $1/3$ は、接触点の近くの $1-u$ の次数 $3/2$ と $j'(u)\in L^2$ の条件から、$2\cdot\frac32\cdot\frac13=1$ として現れる。

凸でない 4 次の汎関数

次の例では、2 次の部分が負の方向をもつので汎関数は凸でなく、偶関数で最小値が負なので最小点は一つではない。それでも 4 次の項が下限を保証し、最小点の形は完全に決まる。

要となるのは、$(0,1)$ で正の解 $U$ について、すべての $v\in H$ で
$$ E(v)-E(U)\ge\frac14\int_0^1(v^2-U^2)^2\,dx $$
が成り立つことである。これを $U'/U$ を使った平方完成で示す。

例の $q\equiv-2\pi^2$ では、2 次の部分 $\frac12\int(v'^2-2\pi^2v^2)$ は $\sin\pi x$ の方向で負になる。この汎関数は thm-dm-nonconvex の形（$G\ge0$）ではないが、4 次の項の下からの評価で同じ論法が使える。符号を変える解がほかにあるかどうかについて、この例は何も述べない。

仮定を外すと成り立たなくなること

thm-dm-reflexive の仮定を 1 つずつ外した反例を挙げる。どの行でも、外した条件以外の仮定は満たされ、下限が有限なのに最小値がとられない。

$C^1([a,b])$ の中で汎関数を最小にしようとすると、強圧性が成り立つノルムで空間が反射的にならないことが多い。変分法 の例「Weierstrass の例：下限がとられない」はその典型で、最小化列の $C^1$ ノルムが有界にならない。直接法では、汎関数が強圧的になるノルムで完備かつ反射的な空間（Sobolev 空間など）を選んで最小点を求め、そのあとで最小点の滑らかさを調べる（rem-dm-euler）。

補足

関連項目

• 前提: 変分法, 反射的Banach空間, 半連続性, 弱収束(Banach空間)
• 直後に読む: 強圧的双線形形式, 変分法の基本補題, Mazurの補題
• 比較: Stampacchiaの定理, Lax–Milgramの定理, Eberlein–Šmulianの定理
• 応用: 1次元Sobolev空間, Dirichlet問題, 単調作用素