De Giorgi–Nash–Moserの定理

Sobolev空間の連鎖律 の定理「正部分と絶対値の弱勾配」により $w\in H^1(B)$、$\nabla w=\mathbf 1_{\{u>k\}}\nabla u$ である。$\varphi:=\eta^2w$ はコンパクトな台をもつ $H^1(B)$ の非負の元なので $H^1_0(B)$ に属し、$\nabla\varphi=\eta^2\nabla w+2\eta w\nabla\eta$ である。$\{u\le k\}$ の上では $w=0$、$\nabla w=0$ であり、$\{u>k\}$ の上では $\nabla u=\nabla w$ なので、ほとんど至る所 $A\nabla u\cdot\nabla\varphi=\eta^2A\nabla w\cdot\nabla w+2\eta wA\nabla w\cdot\nabla\eta$ となる。劣解の定義から
$$ \lambda\int\eta^2|\nabla w|^2\le\int\eta^2A\nabla w\cdot\nabla w\le-2\int\eta w\,A\nabla w\cdot\nabla\eta\le2\Lambda\int|\eta||\nabla w|\,w|\nabla\eta|. $$
右辺を $ab\le\frac\lambda{4\Lambda}a^2+\frac\Lambda\lambda b^2$（$a=|\eta||\nabla w|$、$b=w|\nabla\eta|$）で抑えると $\frac\lambda2\int\eta^2|\nabla w|^2\le\frac{2\Lambda^2}\lambda\int w^2|\nabla\eta|^2$ となる。$|\nabla(\eta w)|^2\le2\eta^2|\nabla w|^2+2w^2|\nabla\eta|^2$ と合わせて主張を得る。$\square$

$k$ についての帰納法による。$Y_k\le b^{-k/\varepsilon}Y_0$ なら
$$ Y_{k+1}\le Cb^k\bigl(b^{-k/\varepsilon}Y_0\bigr)^{1+\varepsilon}=b^{-k/\varepsilon}\cdot CY_0^\varepsilon\cdot Y_0\le b^{-k/\varepsilon}b^{-1/\varepsilon}Y_0 $$
である。最後に $CY_0^\varepsilon\le b^{-1/\varepsilon}$ を使った。$\square$

要点：水準 $1-2^{-k}$ と半径 $\frac12+2^{-k-1}$ を同時に $1$ と $\frac12$ に近づけ、切り落とした関数の $L^2$ ノルム $V_k$ が、Caccioppoli・Sobolev・Hölder・Chebyshev の不等式で $V_{k+1}\le C_2\,16^kV_k^{1+2/n}$ を満たすことを示して、lem-dgnm-iteration を当てる。

$v(y):=u(x_0+Ry)$ は $B_1$ の上の劣解で、$\|v^+\|_{L^2(B_1)}=R^{-n/2}\|u^+\|_{L^2(B_R(x_0))}$ である。$t:=\delta_0^{-1/2}\|v^+\|_{L^2(B_1)}>0$ なら $\int_{B_1}((v/t)^+)^2=\delta_0$ なので、$v/t$ に prop-dgnm-l2-linfty を当てて $B_{1/2}$ の上で $v\le t$ を得る（$t=0$ なら、任意の $t'>0$ について $v/t'$ に当てて $v\le t'$）。$u$ に戻せば最初の主張である。弱解なら $-u$ にも当て、$\|u^\pm\|_{L^2}\le\|u\|_{L^2}$ を使う。$\square$

要点：$w$ を $0$ と $\frac12$ で切り落とした関数は $Z$ で $0$、$T$ で $\frac12$ をとるので、$L^1$ の Poincaré–Wirtinger の不等式で $|Z||T|$ を勾配の積分で抑え、その勾配は $E$ の上にしかないので Cauchy–Schwarz の不等式で $|E|^{1/2}$ が出る。

要点：$w_k:=2^k(u-(1-2^{-k}))^+$ は $0\le w_k\le1$ を満たし、$\{0< w_k<\frac12\}$ は $k$ ごとに交わらない。$\int_{B_1}w_{k+1}^2$ が大きいあいだは lem-dgnm-isoperimetric によりこれらの集合が一定以上の測度をもつので、そうなる $k$ は有限個しかなく、小さくなった所で prop-dgnm-l2-linfty を当てる。

$\gamma$ を lem-dgnm-measure-to-sup で $\mu=\frac12$ としたものとし、$\theta:=1-\gamma/2$ とおく。$M:=\operatorname{ess\,sup}_{B_2}u$、$m:=\operatorname{ess\,inf}_{B_2}u$ とし、$M>m$ としてよい。$w:=(2u-M-m)/(M-m)$ は弱解で、$B_2$ の上で $-1\le w\le1$ である。$\{w\le0\}$ と $\{-w\le0\}$ の和は全体なので、どちらかは $B_1$ の測度の半分以上を占める。前者なら lem-dgnm-measure-to-sup を $w$ に当てて $B_{1/2}$ の上で $w\le1-\gamma$、後者なら $-w$ に当てて $w\ge-1+\gamma$ を得る。どちらでも $\operatorname{osc}_{B_{1/2}}w\le2-\gamma$ であり、$u$ に戻すと $\operatorname{osc}_{B_{1/2}}u\le(1-\gamma/2)(M-m)$ である。$\square$

段 1（$n\ge3$、単位球の場合）． $B_1$ の閉包が $\Omega$ に含まれるとし、$\|u\|:=\|u\|_{L^2(B_1)}$ とおく。$z\in B_{3/4}$ について $B_{1/4}(z)\subset B_1$ なので、cor-dgnm-local-bound から $B_{1/8}(z)$ の上でほとんど至る所 $|u|\le M_0:=2C_3\,4^{n/2}\|u\|$ である。中心が有理点の可算個の球 $B_{1/8}(z)$ で $B_{3/4}$ をおおえるので、$B_{3/4}$ の上でほとんど至る所 $|u|\le M_0$ である。
次に $z\in B_{1/2}$、$0<\rho\le\frac14$ とし、$\omega(\rho):=\operatorname{osc}_{B_\rho(z)}u$ とおく。$B_\rho(z)\subset B_{3/4}$ であり、$u$ はそこで有界な弱解なので、prop-dgnm-oscillation を拡大縮小して $\omega(\rho/4)\le\theta\,\omega(\rho)$ を得る。$\omega(1/4)\le2M_0$ から $\omega(4^{-j-1})\le2M_0\theta^j$ である。$\alpha:=\log_4(1/\theta)\in(0,1)$ とおく。$4^{-j-2}<\rho\le4^{-j-1}$ のとき $\theta^j=(4^{-j})^\alpha<(16\rho)^\alpha$ なので
$$ \omega(\rho)\le2M_0(16\rho)^\alpha\le32M_0\rho^\alpha\qquad(z\in B_{1/2},\ 0<\rho\le\tfrac14) $$
となる。
段 2（連続な代表元）． 中心と半径が有理数の球 $B\subset B_{3/4}$ は可算個なので、零集合 $N$ をとって、$x\notin N$ なら、$x$ を含むそれらの球 $B$ のすべてで $\operatorname{ess\,inf}_Bu\le u(x)\le\operatorname{ess\,sup}_Bu$ となり、$|u(x)|\le M_0$ となるようにできる。$x,y\in B_{1/2}\setminus N$、$0<|x-y|<\frac1{12}$ なら、$|z-x|<|x-y|$ となる有理点 $z\in B_{1/2}$ と、$2|x-y|<\rho\le3|x-y|$ となる有理数 $\rho$ をとると、$x,y\in B_\rho(z)$、$\rho\le\frac14$ なので $|u(x)-u(y)|\le\omega(\rho)\le32M_0(3|x-y|)^\alpha\le96M_0|x-y|^\alpha$ である。$|x-y|\ge\frac1{12}$ なら $|u(x)-u(y)|\le2M_0\le24M_0|x-y|^\alpha$ である。よって $u$ は $B_{1/2}\setminus N$ の上で一様に Hölder 連続であり、$B_{1/2}\setminus N$ は $B_{1/2}$ で稠密なので、$B_{1/2}$ の上の連続関数 $\bar u$ にただ 1 つに延び、$\bar u=u$ ほとんど至る所で、同じ評価を満たす。
段 3（一般の球と全体）． 拡大縮小 $v(y)=u(x_0+Ry)$ により、閉包が $\Omega$ に含まれる球 $B_R(x_0)$ について主張の評価を $C:=192C_3\,4^{n/2}$ で得る。球ごとの連続な代表元は、重なりの上でほとんど至る所等しく連続なので一致し、$\Omega$ の上の連続な代表元に貼り合わさる。
段 4（$n\le2$）． $d:=3-n$ とし、$\Omega':=\Omega\times\mathbb R^d$ の上で $\tilde u(x,y):=u(x)$、$\tilde A(x,y):=\begin{pmatrix}A(x)&0\\0&I_d\end{pmatrix}$ とおく。$\tilde A$ は楕円性の定数 $\min\{\lambda,1\}$、$\max\{\Lambda,1\}$ をもち、$\tilde u\in H^1_{\mathrm{loc}}(\Omega')$、$\nabla\tilde u=(\nabla u,0)$ である。$\varphi\in C_c^\infty(\Omega')$ について Fubini の定理から
$$ \int_{\Omega'}\tilde A\nabla\tilde u\cdot\nabla\varphi=\int_{\mathbb R^d}\Bigl(\int_\Omega A\nabla u\cdot\nabla_x\varphi(x,y)\,dx\Bigr)dy=0 $$
なので、$\tilde u$ は 3 次元の弱解である。段 1〜3 を $\tilde u$ に当てる。連続な代表元 $\bar u(x,y)$ は、ほとんどすべての $y$ で $x\mapsto\bar u(x,y)$ が $u$ のほとんど至る所等しい連続関数なので、$y$ によらず、$x\mapsto\bar u(x,0)$ が $u$ の連続な代表元になる。球 $B_R((x_0,0))$ は $B_R(x_0)\times(-R,R)^d$ に含まれるので $R^{-3/2}\|\tilde u\|_{L^2(B_R((x_0,0)))}\le2^{d/2}R^{-n/2}\|u\|_{L^2(B_R(x_0))}$ であり、主張の評価が定数を取り替えて成り立つ。$\square$