リーマン沈め込み

前提知識: リーマン多様体, 沈め込み, Levi-Civita接続, 断面曲率

概要

リーマン沈め込みは、全空間の接空間をファイバーに沿う垂直方向とそれに直交する水平方向に分け、水平方向の長さと角度を底空間へそのまま移す写像である。単なる沈め込みに計量条件を加えた概念であり、積多様体の射影、等長群作用による商、Hopfファイブレーションなどを統一して扱う。
全空間の曲率と底空間・ファイバーの曲率の差は、O'Neill のテンソル $A,T$ によって測られる。$A$ は主に水平分布の非可積分性を、$T$ はファイバーが全空間の中でどれだけ曲がっているかを表す。本記事では正定値のリーマン計量に限定し、曲率テンソルの符号規約を固定して、水平平面と垂直平面に対する曲率公式を述べる。

定義

$(M,g_M)$ と $(B,g_B)$ をリーマン多様体とし、$\pi\colon M\to B$ を全射な滑らかな沈め込みとする。各 $p\in M$ において
$$ \mathcal V_p:=\ker(d\pi_p),\qquad \mathcal H_p:=\mathcal V_p^{\perp} $$
とおき、それぞれ垂直空間、水平空間という。正定値性により
$$ T_pM=\mathcal V_p\oplus\mathcal H_p $$
である。対応する直交射影を $\mathcal V,\mathcal H$ と書く。垂直分布 $\mathcal V$ は $\pi$ のファイバーの接分布なので常に可積分であるが、水平分布 $\mathcal H$ は一般には可積分でない。

水平ベクトル場 $X$ が $B$ 上のベクトル場 $\bar X$ と $\pi$-関連、すなわち
$$ d\pi_p(X_p)=\bar X_{\pi(p)} $$
を満たすとき、$X$ を基本水平ベクトル場という。基本水平ベクトル場どうしの内積は底空間の関数の引き戻しである。

O'Neillのテンソル

$\nabla$ を $(M,g_M)$ の Levi-Civita 接続とする。任意のベクトル場 $E,F$ に対して
$$ \begin{aligned} T_EF&:=\mathcal H\nabla_{\mathcal VE}(\mathcal VF) +\mathcal V\nabla_{\mathcal VE}(\mathcal HF),\\ A_EF&:=\mathcal V\nabla_{\mathcal HE}(\mathcal HF) +\mathcal H\nabla_{\mathcal HE}(\mathcal VF) \end{aligned} $$
と定める。これらを O'Neill のテンソルという。この定義では、第1引数について
$$ T_E=T_{\mathcal VE},\qquad A_E=A_{\mathcal HE} $$
である。また、垂直場 $U,V$ と水平場 $X,Y$ に対して
$$ T_UV=\mathcal H\nabla_UV,\qquad T_UX=\mathcal V\nabla_UX,\qquad A_XY=\mathcal V\nabla_XY,\qquad A_XU=\mathcal H\nabla_XU $$
となる。特に $T_UV$ はファイバー $\pi^{-1}(b)$ の第二基本形式そのものである。
文献によっては $A,T$ の符号、曲率テンソルの符号、あるいは文字の役割が異なる。本記事では上の定義と後述の曲率規約を一貫して用いる。

例と反例

基本性質

曲率公式

符号を明確にするため、本記事では
$$ R^M(E,F)G =\nabla_E\nabla_FG-\nabla_F\nabla_EG-\nabla_{[E,F]}G $$
とし、線形独立な $E,F$ が張る平面の断面曲率を
$$ K_M(E,F) =\frac{g_M(R^M(E,F)F,E)}{\lVert E\rVert^2\lVert F\rVert^2-g_M(E,F)^2} $$
と定める。$\lVert E\wedge F\rVert^2:=\lVert E\rVert^2\lVert F\rVert^2-g_M(E,F)^2$ と略記する。$B$ とファイバーにも同じ規約を用いる。

水平公式の右辺の補正項は非負である。特に $X,Y$ が正規直交なら
$$ K_B(\bar X,\bar Y)=K_M(X,Y)+3\lVert A_XY\rVert^2 =K_M(X,Y)+\frac34\lVert\mathcal V[X,Y]\rVert^2. $$
したがって、底空間の曲率が全空間の水平断面曲率より大きくなる差は、水平分布の非可積分性によって正確に測られる。
一方、垂直公式はファイバーに対する Gauss 方程式である。$T=0$、すなわちファイバーが全測地的なら補正項は消え、垂直平面について $K_M(U,V)=K_F(U,V)$ となる。一般には $\lVert T_UV\rVert^2$ と $g_M(T_UU,T_VV)$ の差の符号は一定でない。

注意

• リーマン沈め込みの条件は水平ベクトルについてだけ課される。垂直ベクトルは $d\pi$ で $0$ に送られるので、$d\pi$ が接空間全体の等長写像である必要はない。
• $T=0$ はファイバーが全測地的であることを表し、$A=0$ は水平分布が可積分であることを表す。両者は独立の条件である。
• 旧来の解説には $\mathcal H$ と $\mathcal V$ を入れ替えた $A,T$ の定義が混在する。曲率公式を用いる前に、採用している定義を必ず確認する必要がある。
• 混合平面の曲率、Ricci 曲率、スカラー曲率の分解には $A,T$ の共変微分や平均曲率が現れる。本記事では符号規約の違いによる誤用を避けるため、O'Neill の基本的な水平・垂直公式までを扱う。

関連項目

• リーマン多様体
• 沈め込み
• ファイバー束
• 水平分布
• Levi-Civita接続
• 断面曲率
• 第二基本形式
• 全測地的部分多様体
• Hopfファイブレーション