旗多様体
概要
旗多様体（flag variety）とは、$n$ 次元ベクトル空間 $V$ の完全旗 $0\subset V_1\subset\cdots\subset V_{n-1}\subset V$ の全体に代数多様体の構造を入れたものである。等質空間 $GL_n/B$（$B$ は上三角行列群）として書け、次元 $n(n-1)/2$ の非特異射影多様体で、射影束を $n-1$ 回重ねた塔として構成できる。この塔から Euler 標数 $n!$ とコホモロジー環 $\mathbb{Z}[x_1,\dots,x_n]/(e_1,\dots,e_n)$ が計算され、Bruhat 分解は $n!$ 個の Schubert 胞体を与え、Borel–Weil の定理は直線束の切断として既約表現を実現する。ベクトル束を旗多様体束へ引き戻すと直線束の列に分裂することが Chern 類の分裂原理の根拠である。
前提知識: ベクトル空間, 射影空間, Grassmann多様体, 代数多様体, ベクトル束, 射影束, 特異コホモロジー
定義
以下、$k$ を代数閉体（位相的な主張では $k=\mathbb{C}$）、$V$ を $k$ 上の $n$ 次元ベクトル空間とする。$V$ の部分空間の増大列を旗と呼び、その全体に代数多様体の構造を与えたものが旗多様体である。
$V$ の旗（flag）とは、部分空間の真に増大する列
$$
V_{\bullet}\colon\ 0\subsetneq V_{1}\subsetneq V_{2}\subsetneq\cdots\subsetneq V_{r}\subsetneq V
$$
のことをいい、$(\dim V_1,\dots,\dim V_r)=(d_1,\dots,d_r)$ をその型という。型が $(1,2,\dots,n-1)$ の旗、すなわち
$$
0=V_0\subset V_1\subset V_2\subset\cdots\subset V_{n-1}\subset V_n=V,\qquad \dim V_i=i,
$$
を 完全旗（complete flag、full flag）といい、完全でない旗を部分旗（partial flag）という。$V=k^n$ の標準基底 $e_1,\dots,e_n$ に対し $F_i:=\langle e_1,\dots,e_i\rangle$ とおいた完全旗 $F_\bullet$ を標準旗という。
$V$ の完全旗の全体を $\operatorname{Fl}(V)$ と書き、$V$ の旗多様体（flag variety）または完全旗多様体という。$V=k^n$ のときは $\operatorname{Fl}_n:=\operatorname{Fl}(k^n)$ と書く。より一般に、$0< d_1<\cdots< d_r< n$ に対し型 $(d_1,\dots,d_r)$ の旗の全体を $\operatorname{Fl}(d_1,\dots,d_r;V)$ と書き、部分旗多様体という。$r=1$ のときは $\operatorname{Fl}(d;V)=\operatorname{Gr}(d,V)$（$V$ の $d$ 次元部分空間の全体、Grassmann多様体）である。
$\operatorname{Fl}(d_1,\dots,d_r;V)$ には、直積 $\operatorname{Gr}(d_1,V)\times\cdots\times\operatorname{Gr}(d_r,V)$ の部分集合
$$
\operatorname{Fl}(d_1,\dots,d_r;V)=\{(V_1,\dots,V_r)\mid V_1\subset V_2\subset\cdots\subset V_r\}
$$
として代数多様体の構造を入れる。この部分集合は Zariski 閉（Zariski位相）であり、したがって旗多様体は射影多様体である（prop-flag-variety-projective）。各 $i$ について、点 $V_\bullet$ に $V_i$ を対応させる階数 $d_i$ の部分束 $\mathcal{V}_i\subset V\otimes\mathcal{O}$ を普遍部分束（tautological subbundle）といい、完全旗多様体上では商 $\mathcal{L}_i:=\mathcal{V}_i/\mathcal{V}_{i-1}$（$1\le i\le n$）は直線束（可逆層）である。
本記事では、ベクトル束 $E$ の射影化 $\mathbb{P}(E)$ を「各ファイバーの 1 次元部分空間の空間」（直線の規約）とする。射影束 の記事で採用している Grothendieck の規約（可逆商の空間）では、これは $\mathbb{P}(E^\vee)$ に当たる。
旗多様体の最も基本的な記述は、一般線型群 $GL(V)$ の等質空間としての記述である。
$gV_i$ は $\dim gV_i=i$ の部分空間で $gV_i\subset gV_{i+1}$ だから、$g\cdot V_\bullet$ は完全旗であり、これが作用を定めることは明らかである。推移性：完全旗 $V_\bullet$ に対し、$V_1$ の基底 $v_1$ から始めて順に $V_i=\langle v_1,\dots,v_i\rangle$ となるよう $v_i\in V_i\setminus V_{i-1}$ を選べば（$\dim V_i/V_{i-1}=1$ なので可能）、$v_1,\dots,v_n$ は $V$ の基底である。$ge_i=v_i$ で定まる $g\in GL_n(k)$ は $gF_i=V_i$ を満たすので $V_\bullet=gF_\bullet$ である。固定部分群：$gF_\bullet=F_\bullet$ は各 $i$ について $gF_i=F_i$、すなわち $ge_i\in\langle e_1,\dots,e_i\rangle$ と同値であり、これは $g$ の第 $i$ 列が第 $i$ 行より下で $0$ であること、つまり $g$ が上三角であることにほかならない。推移的な作用の軌道は固定部分群による剰余類の集合と全単射に対応するので、最後の主張が従う。
prop-flag-variety-homogeneous の全単射は代数多様体の同型 $GL_n/B\cong\operatorname{Fl}_n$ である。一般に、代数閉体上の連結な簡約代数群 $G$ とその Borel 部分群（連結可解な閉部分群のうち極大なもの、Borel部分群）$B$ に対して、商 $G/B$ は射影多様体であり、これを $G$ の（一般化された）旗多様体という（Bor91 §11。$G/B$ の射影性は Borel の固定点定理による）。$G=GL_n$、$B=$ 上三角行列群の場合が本記事の $\operatorname{Fl}_n$ であり、$G=SL_n$ でも同じ多様体が得られる。$k=\mathbb{C}$ のとき、ユニタリ群 $U(n)$ も $\operatorname{Fl}_n$ に推移的に作用し（Gram–Schmidt の直交化により任意の完全旗は正規直交な適合基底をもつ）、標準旗の固定部分群は対角ユニタリ行列のなすトーラス $T\cong(S^1)^n$ だから、位相空間として $\operatorname{Fl}_n\cong U(n)/T$ であり、とくに $\operatorname{Fl}_n$ はコンパクト空間である。
直感
旗多様体は「$V$ の中の座標系を、基底のとり方の自由度を除いて」パラメータづける空間である。完全旗は、$V$ の中でどの方向を最初に、どの平面を次に、と優先順位をつけた「座標軸の入れ子」であり、基底 $v_1,\dots,v_n$ から作った旗は、各 $v_i$ を $v_1,\dots,v_{i-1}$ の一次結合を加えて取り替えても、また各 $v_i$ をスカラー倍しても変わらない。この自由度が上三角行列群 $B$ であり、$\operatorname{Fl}_n=GL_n/B$ はその言い換えである。
$\operatorname{Fl}_n$ は射影空間とGrassmann多様体の共通の一般化であると同時に、射影束を $n-1$ 回積み重ねた塔でもある（thm-flag-variety-tower）。この塔から次元・Betti数・Euler標数・コホモロジー環が帰納的に計算でき、ベクトル束を旗多様体束へ引き戻すと直線束のフィルトレーションをもつという分裂原理（Chern類）の根拠になる。他方、$GL_n/B$ としての記述からは、$B$ の軌道による胞体分解（Bruhat 分解）と、直線束の切断による $GL_n$ の表現の構成（Borel–Weil の定理）が得られる。
例と反例
$n=2$ のとき、$k^2$ の完全旗は $0\subset V_1\subset k^2$ で、$V_1$ は $k^2$ の 1 次元部分空間である。したがって $V_\bullet\mapsto V_1$ は全単射 $\operatorname{Fl}_2\to\operatorname{Gr}(1,k^2)=\mathbb{P}^1$ を与え、多様体の構造も一致する（$\operatorname{Fl}(1;k^2)=\operatorname{Gr}(1,k^2)$ そのもの）。すなわち $\operatorname{Fl}_2=\mathbb{P}^1$ である。$GL_2/B$ の言葉では、$B$ の軌道は $B\cdot\langle e_1\rangle=\{\langle e_1\rangle\}$（1 点）と $B\cdot\langle e_2\rangle=\{\langle ae_1+e_2\rangle\mid a\in k\}\cong\mathbb{A}^1$ の 2 つである。実際、上三角行列 $b=\begin{pmatrix}p&q\\0&s\end{pmatrix}$ について $b\,e_2=qe_1+se_2$ であり、$s\ne0$ だから $\langle b\,e_2\rangle=\langle (q/s)e_1+e_2\rangle$ となって $e_2$ 成分が $0$ でない直線すべてが得られる。この 2 つの軌道が $n=2$ の Schubert 胞体である（thm-flag-variety-bruhat）。
$n=3$ のとき、完全旗 $0\subset V_1\subset V_2\subset k^3$ は「点 $V_1\in\mathbb{P}^2$ と、それを通る直線 $V_2\in\check{\mathbb{P}}^2$（$\check{\mathbb{P}}^2=\operatorname{Gr}(2,k^3)$ は $\mathbb{P}^2$ の直線の全体）」の組だから、
$$
\operatorname{Fl}_3=\{(p,\ell)\in\mathbb{P}^2\times\check{\mathbb{P}}^2\mid p\in\ell\}
$$
は $\mathbb{P}^2\times\check{\mathbb{P}}^2$ の中の接続多様体（incidence variety）である。$p=[x_1:x_2:x_3]$、$\ell=[a_1:a_2:a_3]$（直線 $a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0$）と書けば、条件は双斉次方程式 $a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0$ 1 本であり、$\operatorname{Fl}_3$ は $\mathbb{P}^2\times\check{\mathbb{P}}^2$ の非特異な超曲面である。射影 $(p,\ell)\mapsto p$ のファイバーは「$p$ を通る直線の全体」$\cong\mathbb{P}^1$ であり、thm-flag-variety-tower によりこの射影は $\mathbb{P}^2$ 上の普遍商束 $Q=(k^3\otimes\mathcal{O})/\mathcal{O}(-1)$（Euler 列 $0\to\mathcal{O}(-1)\to\mathcal{O}^{\oplus3}\to Q\to0$ により $Q\cong T_{\mathbb{P}^2}(-1)$、Har77 II 8.13）の射影化 $\mathbb{P}(Q)\to\mathbb{P}^2$ である。すなわち $\operatorname{Fl}_3$ は $\mathbb{P}^2$ 上の $\mathbb{P}^1$ 束であり、$\dim\operatorname{Fl}_3=2+1=3=3\cdot2/2$ である。もう一方の射影 $(p,\ell)\mapsto\ell$ も $\check{\mathbb{P}}^2$ 上の $\mathbb{P}^1$ 束の構造を与える。$k=\mathbb{C}$ のとき Betti 数は $b_0,b_2,b_4,b_6=1,2,2,1$、Euler 標数は $6=3!$ である（prop-flag-variety-betti）。
標準旗 $F_1=\langle e_1\rangle\subset F_2=\langle e_1,e_2\rangle$ に関する $\operatorname{Fl}_3$ の分割を計算する。$V_1\in\mathbb{P}^2$ は次の 3 つの互いに素な集合のちょうど 1 つに属する：$V_1=\langle e_1\rangle$（$\mathbb{A}^0$）、$V_1=\langle ae_1+e_2\rangle$（$a\in k$、$\mathbb{A}^1$）、$V_1=\langle ae_1+be_2+e_3\rangle$（$(a,b)\in k^2$、$\mathbb{A}^2$）。これは $V_1\subset F_j$ となる最小の $j$ で場合分けし、$V_1$ の生成元の $e_j$ 成分を $1$ に正規化したものである。次に $V_2\supset V_1$ を、$V_2/V_1\subset k^3/V_1$ の直線として同様に分ける。
- $V_1=\langle e_1\rangle$ のとき、$k^3/V_1\cong\langle e_2,e_3\rangle$ で、$V_2=\langle e_1,e_2\rangle=F_2$（$\mathbb{A}^0$）か $V_2=\langle e_1,\,ce_2+e_3\rangle$（$c\in k$、$\mathbb{A}^1$）。
- $V_1=\langle ae_1+e_2\rangle$ のとき、$k^3/V_1\cong\langle e_1,e_3\rangle$ で、$V_2=\langle ae_1+e_2,\,e_1\rangle=F_2$（$\mathbb{A}^1$：パラメータ $a$）か $V_2=\langle ae_1+e_2,\,ce_1+e_3\rangle$（$\mathbb{A}^2$：パラメータ $(a,c)$）。
- $V_1=\langle ae_1+be_2+e_3\rangle$ のとき、$k^3/V_1\cong\langle e_1,e_2\rangle$ で、$V_2=\langle ae_1+be_2+e_3,\,e_1\rangle$（$\mathbb{A}^2$：パラメータ $(a,b)$）か $V_2=\langle ae_1+be_2+e_3,\,ce_1+e_2\rangle$（$\mathbb{A}^3$：パラメータ $(a,b,c)$）。
いずれの場合も $V_2$ の生成元の選び方は一意なので（prop-flag-variety-cells の証明）、$\operatorname{Fl}_3$ は次元 $0,1,1,2,2,3$ の 6 個のアフィン空間に分割される。6 個の胞体を対称群 $S_3$ の元 $w$ で番号づけると、$V_i=\langle e_{w(1)},\dots,e_{w(i)}\rangle$ となる「座標旗」を含む胞体が $w$ に対応し、上の順に $w=123,\ 132,\ 213,\ 231,\ 312,\ 321$（1 行記法）で、胞体の次元は $w$ の転倒数 $\ell(w)=\#\{(i,j)\mid i< j,\ w(i)>w(j)\}$ に等しい。たとえば $w=231$ の胞体は $V_1\not\subset F_1$、$V_1\subset F_2$、$V_2\not\subset F_2$ の旗の全体で、座標旗 $\langle e_2\rangle\subset\langle e_2,e_3\rangle$ を含み、次元は $\ell(231)=2$ である。次元 $m$ の胞体の個数 $1,2,2,1$ は $\operatorname{Fl}_3$ の Betti 数 $b_{2m}$ に一致する（prop-flag-variety-betti）。
$k=\mathbb{C}$ のとき、$\operatorname{Fl}_n$ の位相的 Euler 標数（Euler標数）は
$$
\chi(\operatorname{Fl}_n)=n!
$$
である。実際 prop-flag-variety-betti により $H^*(\operatorname{Fl}_n;\mathbb{Z})$ は偶数次に集中した自由加群で、その Poincaré 多項式は $P(t)=\prod_{i=1}^{n}(1+t^2+t^4+\cdots+t^{2(i-1)})$ だから、$\chi=P(1)=\prod_{i=1}^n i=n!$ である。これは thm-flag-variety-bruhat の胞体の個数 $|S_n|=n!$ とも一致する。同じ計算を部分旗多様体に適用すると、$\operatorname{Gr}(d,k^n)$ の Euler 標数は二項係数 $\binom{n}{d}$、一般の $\operatorname{Fl}(d_1,\dots,d_r;k^n)$ では多項係数 $n!/(d_1!(d_2-d_1)!\cdots(n-d_r)!)$ になる（Ful97 第 9・10 章）。とくに $\chi(\operatorname{Fl}_3)=6$、$\chi(\operatorname{Gr}(2,k^4))=6$ である。
完全旗多様体 $\operatorname{Fl}_n$ は射影束の塔である（thm-flag-variety-tower）が、部分旗多様体は一般にはそうでない。$X=\operatorname{Gr}(2,\mathbb{C}^4)=\operatorname{Fl}(2;\mathbb{C}^4)$ を考える。$\dim X=2\cdot2=4$、$\chi(X)=\binom42=6$ である（ex-flag-variety-euler）。もし $X$ が 1 点の上の射影束の塔 $X=X_m\to X_{m-1}\to\cdots\to X_0=\mathrm{pt}$（$X_{i}=\mathbb{P}(E_{i})$、$E_i$ は $X_{i-1}$ 上の階数 $r_i$ のベクトル束。階数 $1$ の段は同型なので除き、$r_i\ge2$ としてよい）であれば、射影束 の記事の射影束公式（Leray–Hirsch の定理）を各段に適用して $\chi(X_i)=r_i\,\chi(X_{i-1})$、$\dim X_i=\dim X_{i-1}+r_i-1$、したがって $\chi(X)=\prod_i r_i$、$\dim X=\sum_i(r_i-1)$ である。$\prod_i r_i=6$、$r_i\ge2$ となる列 $(r_1,\dots,r_m)$ は $(6)$、$(2,3)$、$(3,2)$ だけで、対応する次元 $\sum_i(r_i-1)$ は $5$、$3$、$3$ であり、いずれも $4$ でない（たとえば $\mathbb{P}^1$ 上の $\mathbb{P}^2$ 束は Euler 標数 $6$ をもつが次元は $3$ である）。ゆえに $\operatorname{Gr}(2,\mathbb{C}^4)$ は射影束の塔でない。満たす性質：部分旗多様体であり、Grassmann多様体束の塔である（rem-flag-variety-grassmannian）。満たさない性質：射影束の塔である。破る含意：「部分旗多様体は射影束の反復で作れる」は成り立たない。一方、型 $(1,n-1)$ の部分旗多様体 $\operatorname{Fl}(1,n-1;V)=\{(\ell,H)\mid \ell\subset H\}$ は、$\ell$ を固定すると $H/\ell$ が $V/\ell$ の超平面を走るので、$\mathbb{P}(V)$ 上の $\mathbb{P}^{n-2}$ 束（普遍商束 $Q$ の双対の射影化 $\mathbb{P}(Q^\vee)$）であり、射影束の塔になる部分旗多様体もある。
性質
射影多様体であること
$\operatorname{Gr}(d,V)$ が Plücker 埋め込みにより $\mathbb{P}(\bigwedge^dV)$ の閉部分多様体になること、および $\operatorname{Gr}(d,V)$ が次のアフィン開集合で覆われることは GH78 Chapter 1 §5、Ful97 第 9 章による（Grassmann多様体 の記事も参照）：$d$ 元部分集合 $I\subset\{1,\dots,n\}$ に対し、$U_I$ を $W\cap\langle e_i\mid i\notin I\rangle=0$ なる $W$ の全体とすると、$U_I\cong\mathbb{A}^{d(n-d)}$ であり、$W\in U_I$ は「$I$ 行が単位行列」であるような $n\times d$ 行列（行列）$A_W$ の列の張る空間として一意に表され、$U_I$ の座標は $A_W$ の残りの成分である。
閉であることは局所的な性質なので、$\operatorname{Gr}(d_i,V)$ の上の開集合 $U_{I_i}$ の直積 $U_{I_1}\times\cdots\times U_{I_r}$ の上で、条件 $V_1\subset\cdots\subset V_r$ が多項式方程式で書けることを示せばよい。隣り合う 2 つについて示せば十分である。$W\in U_I$（$\dim W=d$）、$W'\in U_{I'}$（$\dim W'=d'$、$d< d'$）とし、$n\times(d+d')$ 行列 $[A_W\mid A_{W'}]$ を考える。$A_{W'}$ の列は一次独立だからこの行列の階数はつねに $d'$ 以上であり、$W\subset W'$ は「$A_W$ の各列が $A_{W'}$ の列の一次結合である」こと、すなわち階数がちょうど $d'$ であることと同値である。階数が $d'$ 以下であることは $(d'+1)$ 次小行列式（行列式）がすべて $0$ であることと同値で、これらは $U_I\times U_{I'}$ の座標の多項式である。ゆえに $\{(W,W')\mid W\subset W'\}$ は閉集合であり、有限個の閉条件の共通部分として $\operatorname{Fl}(d_1,\dots,d_r;V)$ は閉である。閉部分多様体の Segre 埋め込みによる像は閉なので、旗多様体は射影多様体である。
射影束の塔と次元
$\operatorname{Fl}_n$ の最も有用な構造は、射影束を $n-1$ 回積み重ねたものとしての記述である。$0\le j\le n-1$ に対し $X_j:=\operatorname{Fl}(1,2,\dots,j;V)$（$X_0=\mathrm{pt}$、$X_1=\mathbb{P}(V)$、$X_{n-1}=\operatorname{Fl}(V)$）とおき、$X_j$ 上の普遍部分束 $\mathcal{V}_j\subset V\otimes\mathcal{O}_{X_j}$ と普遍商束 $\mathcal{Q}_j:=(V\otimes\mathcal{O}_{X_j})/\mathcal{V}_j$（階数 $n-j$ の局所自由層、局所自由層）を考える。
$0\le j\le n-2$ に対し、最後の部分空間を忘れる射 $p_j\colon X_{j+1}\to X_j$、$(V_1,\dots,V_{j+1})\mapsto(V_1,\dots,V_j)$ は、普遍商束の射影化（直線の規約）
$$
X_{j+1}\ \cong\ \mathbb{P}(\mathcal{Q}_j)\ \xrightarrow{\ \pi\ }\ X_j
$$
と $X_j$ 上同型である。この同型のもとで、$X_{j+1}$ 上の直線束 $\mathcal{V}_{j+1}/\mathcal{V}_j$ は $\mathbb{P}(\mathcal{Q}_j)$ のトートロジー部分直線束 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}(\mathcal{Q}_j)}(-1)\subset\pi^*\mathcal{Q}_j$ に対応する。したがって $\operatorname{Fl}(V)=X_{n-1}$ は射影束の塔
$$
\operatorname{Fl}(V)=X_{n-1}\xrightarrow{p_{n-2}}X_{n-2}\xrightarrow{p_{n-3}}\cdots\xrightarrow{p_1}X_1=\mathbb{P}(V)\xrightarrow{p_0}X_0=\mathrm{pt}
$$
であり、$p_j$ は相対次元 $n-j-1$ の $\mathbb{P}^{n-j-1}$ 束である。
点の対応：$(V_1,\dots,V_{j+1})\in X_{j+1}$ に対し $V_{j+1}/V_j$ は $V/V_j=(\mathcal{Q}_j)_{V_\bullet}$ の 1 次元部分空間であり、逆に $V_\bullet\in X_j$ と $V/V_j$ の 1 次元部分空間 $\bar\ell$ に対し、その逆像 $V_{j+1}:=\{v\in V\mid v+V_j\in\bar\ell\}$ は $V_j$ を含む $j+1$ 次元部分空間である。この 2 つは互いに逆で、$X_{j+1}$ と $\mathbb{P}(\mathcal{Q}_j)$ の点の間の $X_j$ 上の全単射を与える。
この全単射が多様体の同型であることを、$X_j$ を覆う開集合の上で確かめる。$j$ 元部分集合 $I\subset\{1,\dots,n\}$ に対し $E_I:=\langle e_i\mid i\in I\rangle$、$E_{I^c}:=\langle e_i\mid i\notin I\rangle$ とおき、$U_I\subset X_j$ を $V_j\cap E_{I^c}=0$ なる旗の全体とする。$U_I$ は $\operatorname{Gr}(j,V)$ のアフィン開集合の逆像だから開集合であり、$I$ を動かせば $X_j$ を覆う。$U_I$ の上では $E_{I^c}\otimes\mathcal{O}\to V\otimes\mathcal{O}\to\mathcal{Q}_j$ が各点で単射（$V_j\cap E_{I^c}=0$）かつ次元が等しい（$n-j$）ので同型であり、$\mathcal{Q}_j|_{U_I}\cong E_{I^c}\otimes\mathcal{O}_{U_I}$ と自明化される。よって $\mathbb{P}(\mathcal{Q}_j)|_{U_I}\cong U_I\times\mathbb{P}(E_{I^c})$ である（射影束 の記事の局所自明性）。
一方 $p_j^{-1}(U_I)\subset X_{j+1}$ の点 $V_\bullet$ については、$\dim(V_{j+1}\cap E_{I^c})\ge(j+1)+(n-j)-n=1$ であり、また $V_{j+1}\cap E_{I^c}\to V_{j+1}/V_j$ は $V_j\cap E_{I^c}=0$ により単射だから $\dim(V_{j+1}\cap E_{I^c})=1$ である。そこで
$$
\Phi_I\colon p_j^{-1}(U_I)\to U_I\times\mathbb{P}(E_{I^c}),\qquad V_\bullet\mapsto\bigl((V_1,\dots,V_j),\ V_{j+1}\cap E_{I^c}\bigr)
$$
と定めると、$V_{j+1}\cap E_{I^c}$ は上の自明化のもとで $V_{j+1}/V_j\subset V/V_j$ に対応するので、$\Phi_I$ は先の点の全単射を $U_I$ 上に制限したものである。$\Phi_I$ は射である：$V_{j+1}$ を Stiefel 座標の $n\times(j+1)$ 行列 $A$ で表すと、$V_{j+1}\cap E_{I^c}$ は連立一次方程式「$A$ の $I$ 行 $\times$ 係数ベクトル $=0$」の解空間であり、$I$ 行からなる $j\times(j+1)$ 行列は階数 $j$（$V_j$ が $E_I$ へ同型に射影するため）なので、解の直線は $j$ 次小行列式を成分とするベクトルで張られ（Cramer の公式）、その $\mathbb{P}(E_{I^c})$ における斉次座標は $A$ の成分の多項式である。逆写像 $(V_\bullet,\bar\ell)\mapsto(V_1,\dots,V_j,V_j\oplus\bar\ell)$ も、$V_j$ の Stiefel 行列と $\bar\ell$ の生成元を並べた行列の小行列式（Plücker 座標）が多項式であることから射である。ゆえに $\Phi_I$ は $U_I$ 上の同型 $p_j^{-1}(U_I)\cong\mathbb{P}(\mathcal{Q}_j)|_{U_I}$ である。点の対応は $I$ によらないので、$\Phi_I$ は $U_I\cap U_{I'}$ 上で自明化の取り替えを経て一致し、貼り合わさって $X_j$ 上の同型 $X_{j+1}\cong\mathbb{P}(\mathcal{Q}_j)$ を与える。
最後に、$\mathbb{P}(\mathcal{Q}_j)$ のトートロジー部分直線束は点 $\bar\ell$ の上のファイバーが $\bar\ell\subset(\pi^*\mathcal{Q}_j)_{\bar\ell}$ である部分束であり、上の対応で $\bar\ell=V_{j+1}/V_j\subset V/V_j$ だから、これは $\mathcal{V}_{j+1}/\mathcal{V}_j\subset p_j^*\mathcal{Q}_j$ に対応する。$\mathcal{Q}_j$ の階数は $n-j$ だから $p_j$ は $\mathbb{P}^{n-j-1}$ 束である。
$\operatorname{Fl}_n$ は次元
$$
\dim\operatorname{Fl}_n=\frac{n(n-1)}{2}
$$
の非特異既約射影多様体である。より一般に $\dim X_j=\sum_{i=0}^{j-1}(n-i-1)$ である。
階数 $r$ の局所自由層の射影化 $\mathbb{P}(\mathcal{E})\to X$ は相対次元 $r-1$ の滑らかな射（滑らかな射）であり、底が非特異既約なら全空間も非特異既約で、次元は $\dim X+r-1$ である（射影束 の記事の局所自明性と構造射の性質、Har77 II 7.11）。$X_0=\mathrm{pt}$ から出発して thm-flag-variety-tower を $j=0,1,\dots,n-2$ の順に適用すれば、$X_{j+1}$ は非特異既約で $\dim X_{j+1}=\dim X_j+(n-j-1)$ である。したがって
$$
\dim\operatorname{Fl}_n=\dim X_{n-1}=\sum_{j=0}^{n-2}(n-j-1)=(n-1)+(n-2)+\cdots+1=\frac{n(n-1)}{2}
$$
である。射影性は prop-flag-variety-projective による。別証として、prop-flag-variety-homogeneous と $\dim(G/H)=\dim G-\dim H$（Bor91 §6）から $\dim\operatorname{Fl}_n=\dim GL_n-\dim B=n^2-\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$ としても得られる。
Bruhat 分解と Schubert 胞体
$B\subset GL_n$ を上三角行列群、$S_n$ を $n$ 次対称群とし、$w\in S_n$ に対して置換行列（$e_i\mapsto e_{w(i)}$）も同じ記号 $w$ で表す。$w$ に対応する座標旗を $wF_\bullet$、すなわち $(wF)_i=\langle e_{w(1)},\dots,e_{w(i)}\rangle$ とする。
$w\in S_n$ に対し、$\operatorname{Fl}_n$ の部分集合
$$
C_w:=B\cdot wF_\bullet=\{bwF_\bullet\mid b\in B\}
$$
を（標準旗に関する）$w$ の Schubert 胞体（Schubert cell）といい、その閉包 $X_w:=\overline{C_w}$ を Schubert 多様体（Schubert variety）という。$\ell(w):=\#\{(i,j)\mid i< j,\ w(i)>w(j)\}$ を $w$ の転倒数（長さ）という。
- $GL_n(k)=\bigsqcup_{w\in S_n}BwB$（Bruhat 分解）。すなわち任意の $g\in GL_n(k)$ は $g=b_1wb_2$（$b_1,b_2\in B$、$w$ は置換行列）と書け、$w$ は $g$ から一意に定まる。
- したがって $\operatorname{Fl}_n=\bigsqcup_{w\in S_n}C_w$ であり、各 $C_w$ は局所閉集合で、アフィン空間 $\mathbb{A}^{\ell(w)}$ に同型である。$C_w$ は、$\dim(V_i\cap F_j)=\#\{a\le i\mid w(a)\le j\}$（すべての $i,j$）を満たす旗 $V_\bullet$ の全体に一致する。
- $X_w=\bigsqcup_{v\le w}C_v$。ここで $\le$ は Bruhat 順序（$v\le w$ とは $C_v\subset X_w$ のこと）であり、$X_w$ は次元 $\ell(w)$ の既約閉部分多様体である。$w_0=(n,n-1,\dots,1)$（最長元）について $C_{w_0}$ は稠密開集合、$X_{w_0}=\operatorname{Fl}_n$ であり、$w=\mathrm{id}$ について $C_{\mathrm{id}}=\{F_\bullet\}$ である。
証明は Bor91 §14（一般の簡約群）、Ful97 第 10 章（$GL_n$ の場合）に譲る。1 の存在は行列の掃き出し（左から $B$ を掛ける行操作と右から $B$ を掛ける列操作で $g$ を置換行列に直すこと）で示され、一意性は $g=b_1wb_2$ のとき $\dim(F_i\cap gF_j)=\dim(F_i\cap wF_j)=\#\{a\le j\mid w(a)\le i\}$ が $w$ を決めることによる（$b_1$ は各 $F_i$ を保つ）。2 の $C_w\cong\mathbb{A}^{\ell(w)}$ は、$C_w$ の点が $v_a=e_{w(a)}+\sum c_{ab}e_b$（和は $b< w(a)$、$b\notin\{w(1),\dots,w(a-1)\}$ にわたる）を用いて $V_i=\langle v_1,\dots,v_i\rangle$ と一意に表され、自由なパラメータ $c_{ab}$ の個数が $\ell(w)$ であることによる。$n!$ 個のアフィン空間への分割自体は prop-flag-variety-cells で射影束の塔により独立に証明する。
$\operatorname{Fl}_n$ は、$0\le a_i\le n-i$（$1\le i\le n-1$）なる整数列 $(a_1,\dots,a_{n-1})$ で番号づけられた $n!$ 個の互いに素な局所閉部分集合 $C_{(a_1,\dots,a_{n-1})}\cong\mathbb{A}^{a_1+\cdots+a_{n-1}}$ の和である。$C_{(a_\bullet)}$ は、$V_1\subset F_{a_1+1}$ かつ $V_1\not\subset F_{a_1}$ であり、以下帰納的に $V_i/V_{i-1}$ が $V/V_{i-1}$ の誘導された旗に関して同じ条件を満たす旗の全体である。この番号づけのもとで $C_{(a_\bullet)}$ は $w(1)=a_1+1$、$w(i)=$「$\{1,\dots,n\}\setminus\{w(1),\dots,w(i-1)\}$ の $a_i+1$ 番目に小さい元」で定まる置換 $w$ の Schubert 胞体 $C_w$ に一致し、$a_1+\cdots+a_{n-1}=\ell(w)$ である。
$n$ に関する帰納法で示す。$n=1$ では主張は自明である。$\mathbb{P}(V)$ の点 $V_1$ に対し、$V_1\subset F_j$ となる最小の $j$ を $a+1$ とおくと $0\le a\le n-1$ であり、$V_1$ は $e_{a+1}+\sum_{i\le a}c_ie_i$ の形の元で一意に生成される。したがって
$$
\mathbb{P}(V)=\bigsqcup_{a=0}^{n-1}C^{(a)},\qquad C^{(a)}:=\{V_1\mid V_1\subset F_{a+1},\ V_1\not\subset F_a\}\cong\mathbb{A}^a
$$
であり、各 $C^{(a)}$ は開集合 $\{V_1\not\subset F_a\}$ と閉集合 $\{V_1\subset F_{a+1}\}$ の共通部分だから局所閉である。
$V_1\in C^{(a)}$ を固定し、$E':=\langle e_i\mid i\ne a+1\rangle$ とおく。$V_1\cap E'=0$ だから射影 $E'\to V/V_1$ は同型である。この同型で $V/V_1$ の誘導された旗（$F_j$ の像の列から重複を除いたもの）を $E'$ に移すと、$E'\cap(F_j+V_1)$ は $j\le a$ のとき $\langle e_1,\dots,e_j\rangle$、$j\ge a+1$ のとき $\langle e_1,\dots,e_a,e_{a+2},\dots,e_j\rangle$ となる（$j\ge a+1$ では $F_j\supset V_1$ なので $F_j+V_1=F_j$）。すなわち誘導された旗は、$E'$ の基底 $e_1,\dots,e_a,e_{a+2},\dots,e_n$ に関する標準旗であり、パラメータ $c_i$ によらない。
thm-flag-variety-tower（$j=1$、$I=\{a+1\}$）の証明で構成した同型 $\Phi_I$ と同じ論法により、$\operatorname{Fl}(V)\to\mathbb{P}(V)$ の $C^{(a)}$ の上の部分は $C^{(a)}\times\operatorname{Fl}(E')$ と同型であり、この同型は $V_\bullet\mapsto(V_1,\ (V_i\cap E')_{i\ge2})$、すなわち $V_i/V_1\subset V/V_1\cong E'$ で与えられる（$V_1\cap E'=0$ により $V_i\cap E'\to V_i/V_1$ は単射で $\dim(V_i\cap E')=i-1$ であり、$V_i\cap E'$ の Plücker 座標は $V_i$ の Stiefel 行列の小行列式、逆写像 $(V_1,W_\bullet)\mapsto(V_1\oplus W_i)_i$ も同様に多項式で書ける）。帰納法の仮定を $E'\cong k^{n-1}$ とその標準旗に適用すると、$\operatorname{Fl}(E')$ は $(a_2,\dots,a_{n-1})$（$0\le a_i\le n-i$）で番号づけられた $(n-1)!$ 個の局所閉なアフィン空間 $\mathbb{A}^{a_2+\cdots+a_{n-1}}$ に分割される。よって $C_{(a,a_2,\dots,a_{n-1})}:=\Phi_I^{-1}(C^{(a)}\times C_{(a_2,\dots,a_{n-1})})$ は局所閉で $\mathbb{A}^{a}\times\mathbb{A}^{a_2+\cdots+a_{n-1}}$ に同型であり、$a$ と $(a_2,\dots,a_{n-1})$ を動かせば $\operatorname{Fl}(V)$ の $n\cdot(n-1)!=n!$ 個の部分集合への分割を得る。条件の言い換え（$V_1\subset F_{a_1+1}$、$V_1\not\subset F_{a_1}$、以下帰納的）は構成そのものである。
置換との対応：$C_{(a_\bullet)}$ の旗は $V_1$ の生成元の先頭項が $e_{w(1)}$（$w(1)=a_1+1$）で、以下 $V_i/V_{i-1}$ の生成元の先頭項が残りの基底ベクトルのうち $a_i+1$ 番目のものなので、$C_{(a_\bullet)}$ は座標旗 $wF_\bullet$ を含み（すべてのパラメータが $0$）、その各点は $\dim(V_i\cap F_j)=\#\{b\le i\mid w(b)\le j\}$ を満たす（$\dim(V_i\cap F_j)=\dim(V_1\cap F_j)+\dim\bigl((V_i/V_1)\cap(F_j+V_1)/V_1\bigr)$ と、$V/V_1$ の誘導された旗に関する帰納法による）。thm-flag-variety-bruhat の 2 により $C_{(a_\bullet)}\subset C_w$ であり、両者はともに $\operatorname{Fl}_n$ の $n!$ 個の部分集合への分割をなすので一致する。最後に $a_i=\#\{b\notin\{w(1),\dots,w(i-1)\}\mid b< w(i)\}=\#\{j>i\mid w(j)< w(i)\}$ だから $\sum_ia_i=\ell(w)$ である。
$k=\mathbb{C}$ とする。$H^*(\operatorname{Fl}_n;\mathbb{Z})$ は偶数次に集中した有限生成自由アーベル群（自由アーベル群）であり、その Poincaré 多項式は
$$
\sum_{m\ge0}\operatorname{rank}H^{2m}(\operatorname{Fl}_n;\mathbb{Z})\,t^{2m}=\prod_{i=1}^{n}\bigl(1+t^2+t^4+\cdots+t^{2(i-1)}\bigr)
$$
である。とくに $\operatorname{rank}H^{2m}$ は転倒数 $m$ の置換 $w\in S_n$ の個数に等しく、$\operatorname{rank}H^*(\operatorname{Fl}_n;\mathbb{Z})=n!$ である。
Leray–Hirsch の定理（射影束 の記事の射影束公式、Hat02 Theorem 4D.1、BT82 Theorem 5.11）により、階数 $r$ の複素ベクトル束 $E\to X$（$X$ はコンパクト）の射影化 $\pi\colon\mathbb{P}(E)\to X$ について、$\xi:=c_1(\mathcal{O}_{\mathbb{P}(E)}(1))\in H^2(\mathbb{P}(E);\mathbb{Z})$ とおくと $H^*(\mathbb{P}(E);\mathbb{Z})$ は $\pi^*$ を通じて $H^*(X;\mathbb{Z})$ 上の自由加群で $1,\xi,\dots,\xi^{r-1}$ を基底にもつ（ファイバー $\mathbb{P}^{r-1}$ のコホモロジーが $\xi$ の制限の冪で張られるため）。したがって $H^*(X;\mathbb{Z})$ が偶数次に集中した自由加群で Poincaré 多項式 $P_X(t)$ をもてば、$H^*(\mathbb{P}(E);\mathbb{Z})$ も同様で、Poincaré 多項式は $P_X(t)\,(1+t^2+\cdots+t^{2(r-1)})$ である。thm-flag-variety-tower の塔に $X_0=\mathrm{pt}$ から順に適用すると、$p_j$ が階数 $n-j$ の束の射影化だから
$$
P_{\operatorname{Fl}_n}(t)=\prod_{j=0}^{n-2}\bigl(1+t^2+\cdots+t^{2(n-j-1)}\bigr)=\prod_{i=1}^{n}\bigl(1+t^2+\cdots+t^{2(i-1)}\bigr)
$$
を得る。第 2 の主張は、恒等式 $\prod_{i=1}^n(1+q+\cdots+q^{i-1})=\sum_{w\in S_n}q^{\ell(w)}$ による。この恒等式は、prop-flag-variety-cells の対応 $w\leftrightarrow(a_1,\dots,a_{n-1})$（$0\le a_i\le n-i$、$\sum a_i=\ell(w)$）が全単射であることから直ちに従う。$t=1$ を代入すれば総階数 $n!$ を得る。
thm-flag-variety-bruhat の分割は $\operatorname{Fl}_n$ に実次元がすべて偶数の CW複体 の構造を与えるので、胞体ホモロジー（胞体ホモロジー）の境界写像はすべて $0$ であり、$H_{2m}(\operatorname{Fl}_n;\mathbb{Z})$ は Schubert 多様体の類 $[X_w]$（$\ell(w)=m$）を基底とする自由加群である（Ful97 第 10 章・付録 B）。その Poincaré 双対（Poincaré双対）$\sigma_w\in H^{2(\dim\operatorname{Fl}_n-\ell(w))}$ を Schubert 類という。同じ分割により Chow環 $A^*(\operatorname{Fl}_n)$ も Schubert 類を基底とする自由加群で、サイクル類写像 $A^*(\operatorname{Fl}_n)\to H^{2*}(\operatorname{Fl}_n;\mathbb{Z})$ は同型である（Ful98 Example 1.9.1、Example 19.1.11）。
コホモロジー環
$k=\mathbb{C}$ とし、$x_i:=c_1(\mathcal{L}_i)\in H^2(\operatorname{Fl}_n;\mathbb{Z})$（$\mathcal{L}_i=\mathcal{V}_i/\mathcal{V}_{i-1}$、$1\le i\le n$）とおく。$e_1,\dots,e_n$ を $x_1,\dots,x_n$ の基本対称式（対称多項式）とすると、$x_i$ は $H^*(\operatorname{Fl}_n;\mathbb{Z})$ を環として生成し、環の同型
$$
H^*(\operatorname{Fl}_n;\mathbb{Z})\ \cong\ \mathbb{Z}[x_1,\dots,x_n]/(e_1,\dots,e_n)
$$
が成り立つ。右辺は階数 $n!$ の自由 $\mathbb{Z}$ 加群である。同じ表示が Chow環 $A^*(\operatorname{Fl}_n)$ についても（任意の代数閉体 $k$ の上で）成り立つ。
証明は BT82 §21、Ful97 第 10 章、また一般の $G/B$ については Borel の定理 Bor53 に譲る。筋は次のとおりである。関係式：普遍部分束の列 $0=\mathcal{V}_0\subset\mathcal{V}_1\subset\cdots\subset\mathcal{V}_n=V\otimes\mathcal{O}$ の各商が $\mathcal{L}_i$ だから、Chern類 の Whitney の和公式により $c(V\otimes\mathcal{O})=\prod_{i=1}^n(1+x_i)$ であり、左辺は自明束の全 Chern 類 $1$ なので $e_i(x_1,\dots,x_n)=0$（$1\le i\le n$）が従う。全射性：prf-flag-variety-betti により $H^*(\operatorname{Fl}_n)$ は各段の $\xi_j=c_1(\mathcal{O}_{\mathbb{P}(\mathcal{Q}_j)}(1))$ の冪の積で $\mathbb{Z}$ 上生成され、thm-flag-variety-tower により $\mathcal{O}_{\mathbb{P}(\mathcal{Q}_j)}(-1)$ は $\mathcal{L}_{j+1}$ に対応するので $\xi_j=-x_{j+1}$ である。よって $x_1,\dots,x_n$ は環を生成する。単射性：$\mathbb{Z}[x_1,\dots,x_n]/(e_1,\dots,e_n)$ が階数 $n!$ の自由 $\mathbb{Z}$ 加群であること（単項式 $x_1^{a_1}\cdots x_n^{a_n}$、$0\le a_i\le n-i$ が基底）と、prop-flag-variety-betti の階数 $n!$ を比べればよい。この表示は $x_i$ の符号のとり方によらない（$e_i(-x)=(-1)^ie_i(x)$）。$n=2$ では $\mathbb{Z}[x_1,x_2]/(x_1+x_2,\,x_1x_2)\cong\mathbb{Z}[x_1]/(x_1^2)=H^*(\mathbb{P}^1;\mathbb{Z})$ であり、ex-flag-variety-n2 と整合する。Schubert 類 $\sigma_w$ をこの表示の多項式で表すのが Schubert 多項式（Schubert多項式、Ful97 第 10 章）である。
Grassmann 多様体との関係
定義により $\operatorname{Fl}(d;V)=\operatorname{Gr}(d,V)$ であり、$\operatorname{Gr}(1,V)=\mathbb{P}(V)$、$\operatorname{Gr}(n-1,V)=\mathbb{P}(V^\vee)$ である。完全旗多様体からは、型 $(d_1,\dots,d_r)$ の部分だけを残す忘却射 $\operatorname{Fl}(V)\to\operatorname{Fl}(d_1,\dots,d_r;V)$ がある。とくに $\operatorname{Fl}(V)\to\operatorname{Gr}(d,V)$ の $W$ 上のファイバーは「$W$ の完全旗と $V/W$ の完全旗の組」$\operatorname{Fl}(W)\times\operatorname{Fl}(V/W)$ である。一般に、部分旗多様体 $\operatorname{Fl}(d_1,\dots,d_r;V)$ から $V_{1}$ を忘れる射 $\operatorname{Fl}(d_1,\dots,d_r;V)\to\operatorname{Fl}(d_2,\dots,d_r;V)$ は普遍部分束 $\mathcal{V}_{d_2}$ の Grassmann 多様体束 $\operatorname{Gr}(d_1,\mathcal{V}_{d_2})$ であり、部分旗多様体は Grassmann 多様体束の塔である。thm-flag-variety-tower は、完全旗の場合にこの塔の各段が射影束になるという主張であり、ex-flag-variety-not-tower は部分旗ではこれが期待できないことを示す。Grassmann 多様体の Plücker 埋め込み・Schubert 胞体・Schubert 計算は GH78 Chapter 1 §5、Ful97 第 9 章と Grassmann多様体 の記事に譲る。
Borel–Weil の定理
$\operatorname{Fl}_n=GL_n/B$ 上の $GL_n$ 同変な直線束の大域切断は $GL_n$ の有限次元表現（群の表現）であり、すべての既約表現（既約表現）がこの形で得られる。これが Borel–Weil の定理である。
$k=\mathbb{C}$ とする。整数列 $\lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in\mathbb{Z}^n$ に対し、$\operatorname{Fl}_n$ 上の直線束
$$
\mathcal{L}_\lambda:=(\mathcal{L}_1^\vee)^{\otimes\lambda_1}\otimes\cdots\otimes(\mathcal{L}_n^\vee)^{\otimes\lambda_n}\qquad(\mathcal{L}_i=\mathcal{V}_i/\mathcal{V}_{i-1})
$$
を考える。$\mathcal{L}_\lambda$ は $GL_n$ の作用で不変であり、$H^0(\operatorname{Fl}_n,\mathcal{L}_\lambda)$ は $GL_n$ の有限次元表現である。
- $\lambda_1\ge\lambda_2\ge\cdots\ge\lambda_n$ ならば、$H^0(\operatorname{Fl}_n,\mathcal{L}_\lambda)$ は $GL_n$ の既約表現であり、最高ウェイト（最高ウェイト）$\lambda$ の既約表現 $V_\lambda$ の双対 $V_\lambda^\vee$ に同型である。さらに $H^i(\operatorname{Fl}_n,\mathcal{L}_\lambda)=0$（$i>0$）である。
- $\lambda_i<\lambda_{i+1}$ となる $i$ が存在すれば $H^0(\operatorname{Fl}_n,\mathcal{L}_\lambda)=0$ である。
1 の証明は FH91 §23.3、Ful97 第 9 章に譲る。2 は簡単なので筋を述べる。$\lambda_i<\lambda_{i+1}$ とし、$V_i$ 以外を固定した旗の全体、すなわち忘却射 $\operatorname{Fl}_n\to\operatorname{Fl}(1,\dots,\hat{i},\dots,n-1;V)$ のファイバー $\mathbb{P}(V_{i+1}/V_{i-1})\cong\mathbb{P}^1$ を考える。このファイバーへの $\mathcal{L}_i$、$\mathcal{L}_{i+1}$ の制限はそれぞれ $\mathcal{O}(-1)$、$\mathcal{O}(1)$ で（$\mathcal{L}_i\otimes\mathcal{L}_{i+1}=\det(V_{i+1}/V_{i-1})\otimes\mathcal{O}$ は自明）、他の $\mathcal{L}_j$ の制限は自明だから、$\mathcal{L}_\lambda$ の制限は $\mathcal{O}(\lambda_i-\lambda_{i+1})$ であり、次数が負なので大域切断をもたない。$\operatorname{Fl}_n$ はこれらのファイバーで覆われるから、$\mathcal{L}_\lambda$ の大域切断はすべてのファイバー上で $0$、すなわち $0$ である。規約について：文献により $\mathcal{L}_\lambda$ を $\mathcal{L}_i$ で定義するか $\mathcal{L}_i^\vee$ で定義するか、$H^0$ が $V_\lambda$ か $V_\lambda^\vee$ かが異なる。本記事の規約は、$\lambda=(1,0,\dots,0)$ のとき $\mathcal{L}_\lambda=\mathcal{L}_1^\vee$ が $\mathbb{P}(V)$ の $\mathcal{O}(1)$ の引き戻しで $H^0=V^\vee$ となること、$n=2$ のとき $\mathcal{L}_{(a,b)}=\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(a-b)$ で $a\ge b$ なら $H^0=\operatorname{Sym}^{a-b}V^\vee\otimes(\det V^\vee)^{\otimes b}$（次元 $a-b+1$ の既約表現）となることで確かめられる。Bott は 1 を一般の $\lambda$ に拡張し、$H^i(\operatorname{Fl}_n,\mathcal{L}_\lambda)$ が高々 1 つの $i$ を除いて消えることと、その $i$ と表現を Weyl 群（Weyl群）$S_n$ の作用で記述した（Borel–Weil–Bott の定理、FH91 §23.3）。
旗多様体束と分裂原理
任意のベクトル束は、旗多様体を相対化した「旗多様体束」へ引き戻すと直線束のフィルトレーションをもつ。これが Chern類 の理論で旗多様体が使われる主な理由である。
$X$ を代数多様体（または位相的な設定ではパラコンパクト Hausdorff 空間）、$E\to X$ を階数 $r$ のベクトル束とし、$\pi\colon\operatorname{Fl}(E)\to X$ を「点 $x$ の上のファイバーが $\operatorname{Fl}(E_x)$」である旗多様体束とする（$E$ の自明化に沿って $U\times\operatorname{Fl}_r$ を貼り合わせて作る）。
- $\operatorname{Fl}(E)\to X$ は射影束の塔 $\operatorname{Fl}(E)=\mathbb{P}(\mathcal{Q}_{r-2})\to\cdots\to\mathbb{P}(\mathcal{Q}_1)\to\mathbb{P}(E)\to X$ であり、相対次元は $r(r-1)/2$ である。
- $\pi^*E$ は部分束のフィルトレーション $0=\mathcal{V}_0\subset\mathcal{V}_1\subset\cdots\subset\mathcal{V}_r=\pi^*E$ で各 $\mathcal{L}_i=\mathcal{V}_i/\mathcal{V}_{i-1}$ が直線束であるものをもつ。
- $\pi^*\colon H^*(X;\mathbb{Z})\to H^*(\operatorname{Fl}(E);\mathbb{Z})$ は単射であり、$x_i:=c_1(\mathcal{L}_i)$ とおくと
$$ H^*(\operatorname{Fl}(E);\mathbb{Z})\cong H^*(X;\mathbb{Z})[x_1,\dots,x_r]/\bigl(e_i(x_1,\dots,x_r)-c_i(E)\mid 1\le i\le r\bigr) $$
である。とくに $\pi^*c(E)=\prod_{i=1}^r(1+x_i)$（$x_i$ は $E$ の Chern 根）。同じことが Chow環 についても成り立つ。
1 と 2 は thm-flag-variety-tower の証明を $X$ 上で相対化したものであり、$r=2$ では $\operatorname{Fl}(E)=\mathbb{P}(E)$ で、フィルトレーションは $0\to\mathcal{O}(-1)\to\pi^*E\to\mathcal{Q}\to0$ そのものである。3 の証明は BT82 §21（位相的な場合）、Ful98 §3.2（Chow 環）に譲る。筋は、Leray–Hirsch の定理を塔に沿って繰り返して $\pi^*$ の単射性と $H^*(X)$ 上の自由性を得たうえで、Whitney の和公式 $\pi^*c(E)=\prod(1+x_i)$ が関係式 $e_i(x)=\pi^*c_i(E)$ を与え、階数の比較で表示が確定するというものである（$X=\mathrm{pt}$ が thm-flag-variety-cohomology）。使い方は Chern類 の記事の分裂原理の節にある：Chern 類の等式を $\operatorname{Fl}(E)$ に引き戻し、直線束の和の場合に基本対称式の計算で確かめ、$\pi^*$ の単射性で $X$ に戻す。$\operatorname{Fl}(E)$ 上のフィルトレーションは、代数的には一般に直線束の直和分解ではない（$X=\mathrm{pt}$、$r=2$ でも、$\mathbb{P}^1$ 上の $0\to\mathcal{O}(-1)\to\mathcal{O}^{\oplus2}\to\mathcal{O}(1)\to0$ は $\operatorname{Hom}(\mathcal{O}(1),\mathcal{O}^{\oplus2})=H^0(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(-1))^{\oplus2}=0$ により分裂しない）。位相的には Hermite 計量により $\pi^*E\cong\bigoplus_i\mathcal{L}_i$ と分裂する（Chern類 の記事）。いずれの場合も、Chern 類の計算にはフィルトレーションが直和分解と同じ効果をもつ。Grothendieck による Chern 類の公理的構成（Gro58）では $\operatorname{Fl}(E)$ を $D(E)$ と書き、$A(X)\to A(D(E))$ の単射性を Chern 類の一意性の証明の要としている。
関連項目
参考文献
Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。 支援について ／ 寄付する
