半代数的集合

1. 実代数的集合 $Z(P_1,\dots,P_k)$ は半代数的集合である。たとえば円 $\{x^2+y^2-1=0\}$、放物線 $\{y-x^2=0\}$、特異点をもつ曲線 $\{y^2-x^3=0\}$。
2. 1 次式 $\ell$ と $c\in R$ について、開半空間 $\{\ell-c>0\}$ と閉半空間 $\{\ell-c>0\}\cup\{\ell-c=0\}$ は半代数的であり、有限個の閉半空間の共通部分である凸多面体、その有限個の和である多面体も半代数的である。
3. 点 $a\in R^n$ と $r>0$ について、開球 $\{r^2-\sum_i(x_i-a_i)^2>0\}$ と閉球は半代数的である。
4. 開いた三角形 $\{x>0,\ y>0,\ 1-x-y>0\}$ に頂点 $(0,0)$ を 1 つ加えた集合は、基本半代数的集合 2 つの和として半代数的である。これは開集合でも閉集合でもなく、さらに局所閉（閉包の中で開）でもない。閉包は閉じた三角形であり、$(0,0)$ のどの近傍も、閉包に属してこの集合に属さない辺の点 $(t,0)$（$t>0$ は小さい）を含むからである。半代数的集合には、このように位相的に扱いにくいものも含まれる。

次の関数は半代数的である（グラフを書き下す）。

1. 多項式関数 $f=P$：$\Gamma_f=\{y-P(x)=0\}$。
2. 有理関数 $P/Q$（$Q\ne0$ の点の上）：$\Gamma=\{Q(x)y-P(x)=0,\ Q(x)^2>0\}$。
3. 平方根 $\sqrt{x}$（$x\ge0$）：$\Gamma=\{y^2-x=0\}\cap\bigl(\{y>0\}\cup\{y=0\}\bigr)$。$R$ の正の元は正の平方根をただ 1 つもつ（実閉体 の系「順序の一意性」）ので、これは関数 $[0,+\infty)\to R$ のグラフである。
4. 絶対値 $\lvert x\rvert$：$\Gamma=\{y^2-x^2=0\}\cap\bigl(\{y>0\}\cup\{y=0\}\bigr)$。
5. 最大値 $\max(x_1,x_2)$：$\Gamma=\bigl(\{y-x_1=0,\ x_1-x_2>0\}\bigr)\cup\bigl(\{y-x_2=0\}\cap(\{x_2-x_1>0\}\cup\{x_2-x_1=0\})\bigr)$。

円 $C=\{x^2+y^2-1=0\}\subset R^2$ を $x$ 座標へ射影すると、閉区間 $[-1,1]$ になる。実際、$(x,y)\in C$ なら $1-x^2=y^2\ge0$ であり、逆に $1-x^2\ge0$ なら $y:=\sqrt{1-x^2}$ について $(x,y)\in C$ である。$[-1,1]=\{1-x^2>0\}\cup\{1-x^2=0\}$ は半代数的である。
しかし $[-1,1]$ は実代数的集合でない。$R$ の実代数的集合は 1 つの多項式 $P$ の零点集合 $\{P=0\}$ であり、$P$ が零多項式なら $R$ 全体、そうでなければ有限集合である。$[-1,1]$ は無限集合で $R$ でもないので、どちらでもない。代数的集合の射影を書くには不等式が要る。これが、半代数的集合という族を考える理由の 1 つである（複素数の上では、代数的集合の射影は等式と「$\ne$」で書ける構成可能集合になる：Chevalleyの定理）。

$S:=\{x^3-x^2-y^2>0\}\subset\mathbb{R}^2$ とする。$(2,0)\in S$ なので $S$ は空でない。原点 $(0,0)$ は $x^3-x^2-y^2\ge0$ を満たすが、$S$ の閉包に属さない。実際、$\lvert x\rvert< 1$ なら $x^3-x^2=x^2(x-1)\le0$ なので $x^3-x^2-y^2\le0$ であり、原点の近傍 $\{\lvert x\rvert< 1\}$ は $S$ と交わらない。したがって、閉包 $\overline S$ は「$>$ を $\ge$ に緩めた集合」$\{x^3-x^2-y^2\ge0\}$ と一致しない。それでも $\overline S$ は半代数的集合である（Tarski–Seidenbergの定理 の系「閉包・内部・像」）。この例は BPR16 Remark 3.2（p. 96）にある。

$\mathbb{Z}\subset\mathbb{R}$ は半代数的でない。$\mathbb{Z}$ はどの開区間 $(a,b)$ も含まない（$(a,b)$ は整数でない点を含む）ので、prop-semialgebraic-line の形に書けるとすれば有限個の点の和、すなわち有限集合になるが、$\mathbb{Z}$ は無限集合である。$\mathbb{Z}=\bigcup_{n\in\mathbb{Z}}\{n\}$ は半代数的集合 $\{n\}$ の可算個の和なので、この例は「有限個の和」という条件を「可算個の和」に弱められないことを示す。

$\Gamma:=\{(x,\sin x)\mid x\in\mathbb{R}\}\subset\mathbb{R}^2$ は半代数的でない。半代数的だとすると、多項式写像 $\iota\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$、$x\mapsto(x,0)$ による逆像 $\iota^{-1}(\Gamma)=\{x\mid\sin x=0\}=\pi\mathbb{Z}$ は、prop-semialgebraic-operations の 1 により $\mathbb{R}$ の半代数的集合になる。しかし $\pi\mathbb{Z}$ は無限集合で開区間を含まないので、ex-semialgebraic-integers と同じ理由で半代数的でない。正弦関数は解析関数であり、グラフは $\mathbb{R}^2$ の中の滑らかな曲線だが、無限回振動するので半代数的でない。

指数関数 $\exp\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ は半代数的関数でない。半代数的だとすると、cor-semialgebraic-function-algebraic により、零多項式でない $F(x,y)=\sum_{k=0}^da_k(x)y^k$（$a_k\in\mathbb{R}[x]$）で、すべての実数 $x$ について $\sum_{k=0}^da_k(x)e^{kx}=0$ となるものがある。$a_k\ne0$ となる最大の $k$ を $k_0$ とし、両辺を $e^{k_0x}$ で割ると
$$ a_{k_0}(x)=-\sum_{k< k_0}a_k(x)e^{-(k_0-k)x} $$
となる。$x\to+\infty$ のとき、右辺の各項は多項式と $e^{-x}$ の正の冪の積なので $0$ に収束する（指数関数は任意の多項式より速く増大する）。一方、左辺は零でない多項式なので、定数なら $0$ でない値にとどまり、次数が $1$ 以上なら絶対値が $+\infty$ に発散する。どちらの場合も矛盾である。$\sin$ と違って $\exp$ は振動しないが、「多項式の関係を満たす」という半代数的関数の性質をもたない。

有理数体 $\mathbb{Q}$ の上で同じ定義をすると、$A:=\{x\in\mathbb{Q}\mid x^2-2>0\}$ は「半代数的」だが、端点を $\mathbb{Q}\cup\{\pm\infty\}$ にもつ有限個の点と区間の和ではない。そのような和だとして、現れる端点と点の全体を有限集合 $E$ とする。$E$ の点は有理数か $\pm\infty$ なので $\sqrt2\notin E$ であり、$\sqrt2$ に十分近い有理数 $p< \sqrt2< q$ を、閉区間 $[p,q]$ が $E$ の点を含まないようにとれる（$E$ は有限で $\mathbb{Q}$ は $\mathbb{R}$ で稠密）。$E$ で区切られた各区間の上で、$A$ に属するかどうかは一定なので、$p$ と $q$ についても一致するはずだが、$p\notin A$、$q\in A$ である。prop-semialgebraic-line の証明で使った多項式の中間値の定理が $\mathbb{Q}$ では成り立たない（$x^2-2$ は $1$ で負、$2$ で正だが $\mathbb{Q}$ に根がない）ことが原因である。