1次分数変換（高校数学）

$T(z)=\dfrac{z-i}{z+i}$ とする（$z\ne-i$）。

1. 実軸上の点：$T(0)=\frac{-i}{i}=-1$、$T(1)=\frac{1-i}{1+i}=\frac{(1-i)^2}{(1+i)(1-i)}=\frac{-2i}2=-i$、$T(-1)=\frac{-1-i}{-1+i}=\frac{(-1-i)(-1-i)}{(-1+i)(-1-i)}=\frac{2i}2=i$ である。どれも $|w|=1$、つまり単位円の上にある。
2. 虚部が正の点：$T(i)=0$、$T(2i)=\frac{i}{3i}=\frac13$、$T(1+i)=\frac1{1+2i}=\frac{1-2i}5$ である。$|T(1+i)|^2=\frac{1+4}{25}=\frac15$ で、どれも $|w|<1$、つまり単位円の内部にある。
3. 虚部が負の点：$T(-2i)=\frac{-3i}{-i}=3$ で、$|w|>1$ である。

$S(z)=2z+1$ と $R(z)=\frac1z$ を考える。

1. $S$ のあとに $R$：$R(S(z))=\dfrac1{2z+1}$ である。
2. $R$ のあとに $S$：$S(R(z))=\dfrac2z+1=\dfrac{z+2}z$ である。
   どちらも $\frac{az+b}{cz+d}$ の形になるが、順番を変えると結果が違う。分子と分母の係数を並べると、1 は $\begin{pmatrix}0&1\\ 2&1\end{pmatrix}$、2 は $\begin{pmatrix}1&2\\ 1&0\end{pmatrix}$ である。$S$ の係数 $\begin{pmatrix}2&1\\ 0&1\end{pmatrix}$ と $R$ の係数 $\begin{pmatrix}0&1\\ 1&0\end{pmatrix}$ の行列の積を計算すると
   $$ \begin{pmatrix}0&1\\ 1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\ 0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\ 2&1\end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix}2&1\\ 0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\ 1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\ 1&0\end{pmatrix} $$
   で、ちょうど 1 と 2 の係数になっている。

1. $z+\beta$（平行移動）：$a=1$、$b=\beta$、$c=0$、$d=1$、行列式 $1$。
2. $\alpha z$（$\alpha\ne0$。原点のまわりの回転と拡大。複素数の掛け算は回転と拡大）：$a=\alpha$、$b=0$、$c=0$、$d=1$、行列式 $\alpha$。
3. $\frac1z$：$a=0$、$b=1$、$c=1$、$d=0$、行列式 $0\cdot0-1\cdot1=-1$。
4. $\frac{z-i}{z+i}$：行列 $\begin{pmatrix}1&-i\\ 1&i\end{pmatrix}$、行列式 $1\cdot i-(-i)\cdot1=2i$。

$T(z)=\frac{z-i}{z+i}$（$a=1$、$b=-i$、$c=1$、$d=i$）の逆変換は $U(w)=\frac{iw+i}{-w+1}=\frac{i(1+w)}{1-w}$（$w\ne1$）である。$w=\frac13$ を入れると $U\bigl(\frac13\bigr)=\frac{i\cdot\frac43}{\frac23}=2i$ で、ex-flh-start の $T(2i)=\frac13$ と合う。$T$ は $z=-i$ では定義されず、$w=1$ という値はとらない。行列では $\begin{pmatrix}1&-i\\ 1&i\end{pmatrix}^{-1}=\frac1{2i}\begin{pmatrix}i&i\\ -1&1\end{pmatrix}$ で、定数倍 $\frac1{2i}$ を除いて $U$ の係数と同じである。

$T(z)=\frac{z-i}{z+i}$ を 2 回続けると、
$$ \begin{pmatrix}1&-i\\ 1&i\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}1-i&1-i\\ 1+i&-1-i\end{pmatrix} $$
から $T(T(z))=\frac{(1-i)(z+1)}{(1+i)(z-1)}=-i\cdot\frac{z+1}{z-1}$ である（$\frac{1-i}{1+i}=-i$）。$z=0$ で確かめると、$T(0)=-1$、$T(-1)=i$（ex-flh-start）で、式からも $-i\cdot\frac{1}{-1}=i$ である。

$T(z)=\frac{z-i}{z+i}$ と 4 点 $0,\ 1,\ -1,\ 2i$ をとる。像は ex-flh-start から $-1,\ -i,\ i,\ \frac13$ である。
$$ (0,1;-1,2i)=\frac{(0+1)(1-2i)}{(0-2i)(1+1)}=\frac{1-2i}{-4i}=\frac{(1-2i)i}{4}=\frac{2+i}4 $$
$$ \Bigl(-1,-i;i,\frac13\Bigr)=\frac{(-1-i)\bigl(-i-\frac13\bigr)}{\bigl(-1-\frac13\bigr)(-i-i)}=\frac{(1+i)\bigl(\frac13+i\bigr)}{\frac83i}=\frac{-\frac23+\frac43i}{\frac83i}=\frac{\bigl(-\frac23+\frac43i\bigr)(-i)}{\frac83}=\frac{\frac43+\frac23i}{\frac83}=\frac{2+i}4 $$
で、どちらも $\frac12+\frac i4$ である。複比が実数でないので、4 点 $0,1,-1,2i$ は同じ円の上にも同じ直線の上にもない（円周角の定理（高校数学））。像の 4 点も同じである。

$0\mapsto-1$、$i\mapsto0$、$1\mapsto-i$ となる変換を求める。$(w,-1;0,-i)=(z,0;i,1)$ とおくと
$$ \frac{(w-0)(-1+i)}{(w+i)(-1-0)}=\frac{(z-i)(0-1)}{(z-1)(0-i)} $$
である。左辺は $\frac{(1-i)w}{w+i}$、右辺は $\frac{z-i}{i(z-1)}$ である。分母を払うと $(1-i)w\cdot i(z-1)=(z-i)(w+i)$、つまり $(1+i)(z-1)w=(z-i)w+i(z-i)$ である。$w$ でまとめると $w\bigl((1+i)(z-1)-(z-i)\bigr)=i(z-i)$ で、括弧の中は $iz-1$ なので
$$ w=\frac{i(z-i)}{iz-1}=\frac{i(z-i)}{i(z+i)}=\frac{z-i}{z+i} $$
となる（$iz-1=i(z+i)$）。ex-flh-start の $T$ がこの 3 条件を満たすただ 1 つの変換である。

1. 直線 $\operatorname{Im}z=1$（$i$ を通る）：点 $t+i$（$t$ は実数）の像は $\frac{t}{t+2i}$ である。$\bigl|\frac t{t+2i}-\frac12\bigr|=\bigl|\frac{t-2i}{2(t+2i)}\bigr|=\frac12$（$|t-2i|=|t+2i|$）なので、像は中心 $\frac12$、半径 $\frac12$ の円の上にある。$t=0$ で $0$、$t=1$ で $\frac1{1+2i}=\frac{1-2i}5$ である。$t$ が大きくなると像は $1$ に近づく。
2. 虚軸の上半分 $z=yi$（$y>0$）：$T(yi)=\frac{(y-1)i}{(y+1)i}=\frac{y-1}{y+1}$ で、$-1$ から $1$ までの実数（端は含まない）を動く。$y=1$ で $0$、$y=2$ で $\frac13$、$y=3$ で $\frac12$ である。

$\alpha\ne\beta$ とし、$T(z)=\frac{z-\alpha}{z-\beta}$（行列式 $-\beta+\alpha\ne0$）を考える。$|T(z)|=\frac{|z-\alpha|}{|z-\beta|}$ なので、$k>0$、$k\ne1$ のとき、Apollonius の円 $|z-\alpha|=k|z-\beta|$ は、原点を中心とする半径 $k$ の円 $|w|=k$ の上に移る。$k=1$ なら $\alpha$ と $\beta$ の垂直二等分線が単位円 $|w|=1$ の上に移る。thm-flh-half-plane の $T$ は $\alpha=i$、$\beta=-i$ の場合で、その実軸の像（定理の 1 の $\lvert T(z)\rvert=1$）が $k=1$ の場合に当たる。たとえば $\alpha=1$、$\beta=-1$、$k=2$ の円 $|z-1|=2|z+1|$ は $x^2+y^2+\frac{10}3x+1=0$、つまり中心 $-\frac53$、半径 $\frac43$ の円で、その上の点 $z=-\frac13$ では $T\bigl(-\frac13\bigr)=\frac{-4/3}{2/3}=-2$、$|w|=2$ である。

$\frac{2z+4}{z+2}$（$a=2$、$b=4$、$c=1$、$d=2$、$ad-bc=4-4=0$）は、$z\ne-2$ で $\frac{2(z+2)}{z+2}=2$ となり、どの点も $2$ に移る。たとえば $0$ と $1$ はどちらも $2$ に移る。$ad-bc\ne0$ を外すと、1 対 1 でなくなり（prop-flh-inverse が崩れ）、円も 1 点に潰れる。

$z\mapsto\overline z$（実軸に関する折り返し）は、円を円に、直線を直線に移すが、$\frac{az+b}{cz+d}$ の形ではない。4 点 $0,1,i,2+i$ では
$$ (0,1;i,2+i)=\frac{(0-i)(1-2-i)}{(0-2-i)(1-i)}=\frac{(-i)(-1-i)}{(-2-i)(1-i)}=\frac{-1+i}{-3+i}=\frac{(-1+i)(-3-i)}{10}=\frac{4-2i}{10}=\frac25-\frac15i $$
である。像 $0,1,-i,2-i$ の複比は、すべての数を共役にしたものなので $\frac25+\frac15i$ で、もとの複比と違う。$\frac{az+b}{cz+d}$ の形という仮定を外すと、「複比が変わらない」が崩れる（複比は共役に変わる）。直線に関する折り返しは、光の反射の法則を式にするときにも使った（2次曲線の接線と光学的性質）。

$T(z)=\frac z{2-z}$（$a=1$、$b=0$、$c=-1$、$d=2$、行列式 $2$）では、$T(z)=z$ は $z=z(2-z)$、つまり $z(z-1)=0$ で、動かない点は $0$ と $1$ の 2 つである。しかし $T(-1)=-\frac13\ne-1$ で、恒等変換ではない。動かない点が 3 つあるという仮定を 2 つに弱めると、prop-flh-three-points の結論が崩れる。

$T(z)=\frac{z-i}{z+i}$ で、$z=-2i$（$\operatorname{Im}z<0$）は $T(-2i)=\frac{-3i}{-i}=3$ に移り、$|w|=3>1$ である。$z=1-i$ では $T(1-i)=\frac{1-2i}{1}=1-2i$、$|w|^2=5>1$ である。$\operatorname{Im}z>0$ を外すと、像は単位円の外に出る（thm-flh-half-plane の 1 の 3 つ目）。

$a,b,c,d$ が実数で $ad-bc>0$ とする。$z=x+yi$ について、$T(z)=\frac{(az+b)(c\overline z+d)}{|cz+d|^2}$ の分子を展開すると $ac|z|^2+adz+bc\overline z+bd$ で、$ac|z|^2$ と $bd$ は実数、$adz$ の虚部は $ady$、$bc\overline z$ の虚部は $-bcy$ である。よって
$$ \operatorname{Im}T(z)=\frac{(ad-bc)\,y}{|cz+d|^2} $$
で、$y>0$ なら $\operatorname{Im}T(z)>0$ である。たとえば $T(z)=\frac{2z+1}{z+1}$（$ad-bc=1$）では $T(i)=\frac{1+2i}{1+i}=\frac{(1+2i)(1-i)}2=\frac{3+i}2$、虚部 $\frac12=\frac{1\cdot1}{|i+1|^2}$ である。