Jacobsonの稠密性定理
概要
Jacobsonの稠密性定理（Jacobson density theorem）とは、環 $R$ 上の半単純加群 $M$ について、中心化環 $R'=\operatorname{End}_R(M)$ と可換な任意の加法的な写像 $f$ と有限個の元 $x_1,\dots,x_n$ に対し、$ax_i=f(x_i)$ となる $a\in R$ があるという定理である。$M$ が単純なら、斜体 $D=R'$ 上一次独立な有限個のベクトルを $R$ の元で任意のベクトルへ同時に移せる。$M$ が $R'$ 上有限生成なら $R\to\operatorname{End}_{R'}(M)$ は全射になり、代数閉体上の Burnside の定理、忠実な単純加群をもつ左 Artin 環が斜体上の行列環であるという Wedderburn の定理、有限次元の二重中心化定理が従う。
環 $R$ が加群 $M$ に作用しているとき、$R$ の元は $M$ の上でどれだけ多くの写像を実現できるだろうか。$M$ を有限次元の複素ベクトル空間とし、$R$ を線形写像の環 $\operatorname{End}_{\mathbb{C}}(M)$ の恒等写像を含む部分代数とすると、$R$ の元で保たれる部分空間が $0$ と $M$ だけなら、$R$ は線形写像の全体に一致する（Burnside の定理）。Jacobson の稠密性定理（Jacobson density theorem）は、これを任意の環と半単純加群に広げた定理である。$R$ の元は、$M$ の自己準同型環 $\operatorname{End}_R(M)$ と可換な任意の加法的な写像を、有限個の点の上でなら実現できる。単純加群については「$\operatorname{End}_R(M)$ 上一次独立な有限個のベクトルを、$R$ の 1 つの元で好きなベクトルへ同時に移せる」という形になる。
この定理から、Burnside の定理、忠実な単純加群をもつ左 Artin 環が斜体上の行列環であるという Wedderburn の定理、有限次元の代数が自分の中心化環の中心化環に一致するという二重中心化定理が導かれる。二重中心化定理は Schur–Weyl双対性 の土台である。
本記事では、半単純環 の記事と同じく、環は結合的で単位元をもつが可換とは限らないものとし、加群は単位元が恒等的に作用する左加群とする。
定義
左 $R$ 加群 $M$ の自己準同型環 $\operatorname{End}_R(M)$ の積は合成 $(\varphi\psi)(x)=\varphi(\psi(x))$ とする（自己準同型環）。$\varphi\cdot x:=\varphi(x)$ によって、$M$ は $\operatorname{End}_R(M)$ 上の左加群にもなる。
$R$ を環、$M$ を左 $R$ 加群とする。
- $R':=\operatorname{End}_R(M)$ を、$M$ の $R$ に関する中心化環（commutant）という。
- $R'':=\operatorname{End}_{R'}(M)$、すなわち $R'$ のすべての元と可換な $M$ の加法的な自己準同型の全体を、二重中心化環（bicommutant）という。
- $a\in R$ に左からの積 $\lambda_a(x):=ax$ を対応させる写像 $\lambda\colon R\to R''$ を自然な写像という。
$\varphi\in R'$ は $\varphi(ax)=a\varphi(x)$ を満たすので $\lambda_a\in R''$ であり、$\lambda_{ab}=\lambda_a\lambda_b$ なので $\lambda$ は環準同型である。$\lambda$ の核は $M$ の零化イデアル $\operatorname{Ann}_R(M):=\{a\in R\mid aM=0\}$ である。$\lambda$ が単射であるとき、$M$ は忠実（faithful）であるという。
自然な写像 $\lambda\colon R\to R''$ の像が稠密であるとは、任意の $f\in R''$ と有限個の元 $x_1,\dots,x_n\in M$ に対して、$ax_i=f(x_i)$（$i=1,\dots,n$）を満たす $a\in R$ が存在することをいう。
$M$ に離散位相を入れ、$M$ からそれ自身への写像の全体に各点収束の位相を入れると、写像 $f$ の近傍の基本系は「有限個の点 $x_1,\dots,x_n$ で $f$ と値が一致する写像の全体」である。したがってこの条件は、$\lambda(R)$ が $R''$ の中で位相の意味で稠密であることと同じであり、名前はこれに由来する。
直感
$M=k^N$ を体 $k$ 上のベクトル空間とし、$R$ を行列の部分代数とする。$R'$ は $R$ のすべての元と可換な行列の全体、$R''$ は $R'$ のすべての元と可換な行列の全体であり、$R\subset R''$ はいつでも成り立つ。稠密性定理は、$M$ が半単純なら、この包含が有限個の点の上では等号になることを述べる。$M$ が $R'$ 上有限生成なら、$R''$ の元は有限個の生成元での値で決まるので、包含そのものが等号になる。
$M$ が単純なら、$D:=R'$ は斜体であり、$M$ は $D$ 上のベクトル空間で、$R''=\operatorname{End}_D(M)$ は $D$ 線形写像の全体である。稠密性定理は、$R$ が $D$ 線形写像を「有限次元の部分ごとに」すべて実現することを意味する。半単純性を外すと成り立たない。上三角行列の環が $k^2$ に作用する例では、$R''$ は行列全体だが $R$ は上三角行列だけである（節「反例の表」）。
稠密性定理
$M$ を半単純な左 $R$ 加群とし、$f\in R''$、$x\in M$ とする。このとき $ax=f(x)$ となる $a\in R$ がある。
$M$ を半単純な左 $R$ 加群とする。自然な写像 $R\to R''=\operatorname{End}_{R'}(M)$ の像は稠密である。すなわち、任意の $f\in R''$ と $x_1,\dots,x_n\in M$ に対して、$ax_i=f(x_i)$（$i=1,\dots,n$）となる $a\in R$ がある。
対角線の議論で $n=1$ の場合に帰着する。$M^n:=M\oplus\cdots\oplus M$（$n$ 個）とし、$f^{(n)}(y_1,\dots,y_n):=(f(y_1),\dots,f(y_n))$ とおく。$M$ は単純な部分加群の和なので、$M^n$ も単純な部分加群（各成分に置いた $M$ の単純部分加群）の和であり、半単純である。
$f^{(n)}$ が $\operatorname{End}_R(M^n)$ のすべての元と可換であることを示す。$\psi\in\operatorname{End}_R(M^n)$ をとり、$\iota_j\colon M\to M^n$ を第 $j$ 成分への埋め込み、$\pi_i\colon M^n\to M$ を第 $i$ 成分への射影とする。$\psi_{ij}:=\pi_i\psi\iota_j$ は左 $R$ 線形なので $R'$ の元であり、$\psi(y)$ の第 $i$ 成分は $\sum_j\psi_{ij}(y_j)$ である。$f$ は加法的で $R'$ の元と可換なので、
$$
\pi_i\psi\bigl(f^{(n)}(y)\bigr)=\sum_{j=1}^n\psi_{ij}\bigl(f(y_j)\bigr)=f\Bigl(\sum_{j=1}^n\psi_{ij}(y_j)\Bigr)=\pi_if^{(n)}\bigl(\psi(y)\bigr)
$$
がすべての $i$ で成り立つ。よって $f^{(n)}$ は $M^n$ の二重中心化環の元である。
lem-jd-one-point を、半単純加群 $M^n$、その二重中心化環の元 $f^{(n)}$、元 $(x_1,\dots,x_n)$ に当てると、$a(x_1,\dots,x_n)=f^{(n)}(x_1,\dots,x_n)$、すなわちすべての $i$ で $ax_i=f(x_i)$ となる $a\in R$ を得る。$\square$
$M$ を半単純な左 $R$ 加群とし、$M$ は左 $R'$ 加群として有限生成であるとする。このとき自然な写像 $R\to R''$ は全射である。
$M=R'x_1+\cdots+R'x_n$ とし、$f\in R''$ をとる。thm-jd-density により、$ax_i=f(x_i)$（$i=1,\dots,n$）となる $a\in R$ がある。$y=\sum_i\varphi_ix_i$（$\varphi_i\in R'$）について、$f$ は $R'$ 線形で $\varphi_i$ は左 $R$ 線形なので、
$$
f(y)=\sum_{i=1}^n\varphi_i\bigl(f(x_i)\bigr)=\sum_{i=1}^n\varphi_i(ax_i)=a\sum_{i=1}^n\varphi_i(x_i)=ay
$$
である。よって $f=\lambda_a$ である。$\square$
thm-jd-density と cor-jd-surjective は Lan02 Chapter XVII, §3 の Lemma 3.1 と Theorem 3.2（p. 647）にあたり、証明の筋（一点での補間と対角線の議論）も同じである。代数閉体上の有限次元の既約表現の場合は EGH11 Theorem 2.5（p. 24）にある。この系の証明は稠密性だけを使っている。したがって、$M$ が $R'$ 上有限生成なら、「像が稠密」と「自然な写像が全射」は同値である。
単純加群の場合
$M$ を単純な左 $R$ 加群とすると、単純加群 の記事の定理「Schur の補題」により、$D:=R'=\operatorname{End}_R(M)$ は斜体である。$M$ は左 $D$ 加群、すなわち $D$ 上のベクトル空間であり、$R''=\operatorname{End}_D(M)$ は $D$ 線形写像の全体である。
$M$ を単純な左 $R$ 加群、$D:=\operatorname{End}_R(M)$ とする。$x_1,\dots,x_n\in M$ が $D$ 上一次独立なら、任意の $y_1,\dots,y_n\in M$ に対して、$ax_i=y_i$（$i=1,\dots,n$）となる $a\in R$ がある。
$f(x_i)=y_i$ を満たす $f\in\operatorname{End}_D(M)$ があれば、単純加群は半単純なので、thm-jd-density から結論が従う。そのような $f$ を作る。$0$ でない $x\in M$ が生成する部分空間 $Dx$ は左 $D$ 加群として $D$ と同型であり、$D$ の左イデアルは $0$ と $D$ だけなので単純である。$M$ はこれらの和なので、左 $D$ 加群として半単純である。半単純環 の記事の補題「補部分加群の存在」を左 $D$ 加群 $M$ と部分空間 $W:=Dx_1+\cdots+Dx_n$ に当てると、$M=W\oplus W'$ となる部分空間 $W'$ がある。一次独立性により $W$ の元は $\sum_id_ix_i$（$d_i\in D$）とただ一通りに書けるので、
$$
f\Bigl(\sum_{i=1}^nd_ix_i+w'\Bigr):=\sum_{i=1}^nd_iy_i\qquad(w'\in W')
$$
によって $D$ 線形写像 $f\colon M\to M$ が定まり、$f(x_i)=y_i$ である。$\square$
$n=1$ のとき、この定理は「$0$ でない $x$ について $Rx=M$」と言っているだけで、単純性そのものである。$n=2$ ですでに強い主張になる。たとえば $D$ 上一次独立な $x_1,x_2$ について、$x_1$ を $0$ に送り $x_2$ を動かさない $a\in R$ がある。忠実な単純左加群をもつ環を左原始環（left primitive ring）という。thm-jd-simple は、左原始環が、ある斜体上のベクトル空間の線形写像の環に稠密に埋め込まれることを示している。
系
Burnside の定理
$k$ を代数閉体、$E\neq0$ を $k$ 上の有限次元ベクトル空間、$R\subset\operatorname{End}_k(E)$ を恒等写像を含む部分代数とする。$E$ の部分空間で $R$ のすべての元で保たれるものが $0$ と $E$ だけなら、$R=\operatorname{End}_k(E)$ である。
$R$ はスカラー倍 $c\,\mathrm{id}_E$（$c\in k$）を含むので、$E$ の $R$ 部分加群は $R$ の元で保たれる部分空間と同じものである。よって仮定は、$E$ が単純な左 $R$ 加群であることを意味する。$R$ は $k$ 代数で $E$ は $k$ 上有限次元なので、単純加群 の記事の命題「代数閉体上の Schur の補題」により $D=\operatorname{End}_R(E)=k\,\mathrm{id}_E$ である。$E$ の $k$ 上の基底は $E$ を $D$ 上生成するので、cor-jd-surjective により自然な写像 $R\to\operatorname{End}_D(E)=\operatorname{End}_k(E)$ は全射である。この写像は包含写像なので、$R=\operatorname{End}_k(E)$ である。$\square$
忠実な単純加群をもつ Artin 環
環 $R$ が左 Artin 環であるとは、左イデアルの減少列 $I_1\supset I_2\supset\cdots$ がいつか止まることをいう。
$R$ を左 Artin 環、$M$ を単純な左 $R$ 加群とし、$D:=\operatorname{End}_R(M)$ とする。
- $M$ は $D$ 上有限次元である。
- さらに $M$ が忠実なら、$n:=\dim_DM$ について、自然な写像は環の同型 $R\cong\operatorname{End}_D(M)\cong M_n(D^{\mathrm{op}})$ を与える。ここで $D^{\mathrm{op}}$ は $D$ の反対環である。
1：$M$ が $D$ 上の有限個の元で張られないと仮定する。$x_{m+1}\notin Dx_1+\cdots+Dx_m$ となるように順に選ぶと、$D$ 上一次独立な列 $x_1,x_2,\dots$ が得られる。左イデアル $I_m:=\{a\in R\mid ax_1=\cdots=ax_m=0\}$ は減少する。thm-jd-simple を一次独立な $x_1,\dots,x_{m+1}$ と $y_1=\cdots=y_m=0$、$y_{m+1}=x_{m+1}$ に当てると、$a\in I_m$ で $ax_{m+1}=x_{m+1}\neq0$ となるものがあり、$a\notin I_{m+1}$ である。よって $I_1\supsetneq I_2\supsetneq\cdots$ は止まらない減少列となり、左 Artin 性に反する。したがって $M$ は有限個の元で張られ、その中から極小な張る組を選べば $D$ 上の有限な基底になる。
2：1 の基底を $x_1,\dots,x_n$ とすると $M=Dx_1+\cdots+Dx_n$ は $R'=D$ 上有限生成なので、cor-jd-surjective により自然な写像 $R\to\operatorname{End}_D(M)$ は全射であり、$M$ が忠実なので単射でもある。左 $D$ 加群として $M\cong D^n$ であり、単純環 の記事の補題「自己準同型環の計算」の 1 と 2 により、$\operatorname{End}_D(D^n)\cong M_n(\operatorname{End}_D({}_DD))\cong M_n(D^{\mathrm{op}})$ である。$\square$
$R$ が単純環（$0$ と $R$ 以外に両側イデアルをもたない環）で左 Artin 環なら、極小左イデアル $L$ がある。$L$ は単純な左 $R$ 加群であり、零化イデアル $\operatorname{Ann}_R(L)$ は $1$ を含まない両側イデアルなので $0$ である。したがって thm-jd-wedderburn から $R\cong M_n(D^{\mathrm{op}})$ を得る。これは 単純環 の記事の定理「単純環の構造定理（Wedderburn の定理）」の別証明である。半単純環についても同じ考え方で構造定理が得られる。
半単純環 $R$ は、有限個の斜体 $D_1,\dots,D_r$ と正の整数 $n_1,\dots,n_r$ によって $R\cong M_{n_1}(D_1)\times\cdots\times M_{n_r}(D_r)$ と書ける。
要点：互いに同型でない単純加群を 1 つずつ足した $M$ に cor-jd-surjective を当て、Schur の補題で $R'$ と $R''$ を成分に分ける。
詳しい証明を開く
半単純環 の記事の命題「半単純環の有限性」により、$R=L_1\oplus\cdots\oplus L_m$（$L_j$ は極小左イデアル）であり、$R$ は左 Artin 環である。$L_1,\dots,L_m$ の同型類の代表 $S_1,\dots,S_r$ を選び（互いに同型でない）、$M:=S_1\oplus\cdots\oplus S_r$、$D'_i:=\operatorname{End}_R(S_i)$ とおく。
(a) $M$ は忠実である。$aM=0$ なら、各 $L_j$ はある $S_i$ と同型なので $aL_j=0$ であり、$a=a\cdot1\in aR=0$ となる。
(b) Schur の補題により $i\neq j$ なら $\operatorname{Hom}_R(S_i,S_j)=0$ なので、$\varphi\in R'$ は各 $S_i$ を $S_i$ に移し、$R'\cong D'_1\times\cdots\times D'_r$ である。とくに $S_i$ への射影 $e_i$ は $R'$ に属する。
(c) $f\in R''$ は $e_i$ と可換なので各 $S_i$ を保ち、その制限は $D'_i$ の元と可換である。逆に各 $S_i$ 上で $D'_i$ 線形な写像を並べたものは $R''$ に属する。よって $R''\cong\prod_i\operatorname{End}_{D'_i}(S_i)$ である。
(d) thm-jd-wedderburn の 1 により $n_i:=\dim_{D'_i}S_i$ は有限であり、各 $S_i$ の基底を合わせたものが $M$ を $R'$ 上生成する。
(a)〜(d) と cor-jd-surjective により、自然な写像は同型 $R\cong\prod_i\operatorname{End}_{D'_i}(S_i)\cong\prod_iM_{n_i}(D'^{\mathrm{op}}_i)$ を与える（最後の同型は prf-jd-wedderburn の 2 と同じ）。$D_i:=D'^{\mathrm{op}}_i$ は斜体である。$\square$
cor-jd-burnside は Lan02 Corollary 3.3（p. 648）、thm-jd-wedderburn の 2 の前半（$M$ が $D$ 上有限次元のとき $R\cong\operatorname{End}_D(M)$）は同書 Corollary 3.5（p. 649）である。逆向き（行列環の直積は半単純環）と、$(n_i,D_i)$ の一意性は、半単純環 の記事の定理「Wedderburn–Artin の構造定理」とその後の注意にある。
二重中心化定理
$k$ を体、$E$ を $k$ 上の有限次元ベクトル空間、$A\subset\operatorname{End}_k(E)$ を恒等写像を含む部分代数とし、$E$ は左 $A$ 加群として半単純であるとする（$A$ が半単純環なら、半単純環 の記事の定理「加群による特徴づけ」によりつねに成り立つ）。$B:=\operatorname{End}_A(E)$ とおく。
- $A=\operatorname{End}_B(E)$ である。すなわち、$A$ は自分の中心化環の中心化環に一致する。
- さらに $k$ が代数閉体であるとする。$E$ に現れる単純 $A$ 加群の同型類の代表を $V_1,\dots,V_r$ とし、$W_i:=\operatorname{Hom}_A(V_i,E)$ とおく。$W_i$ は $b\cdot\varphi:=b\circ\varphi$ によって左 $B$ 加群であり、
$$ \Phi\colon\bigoplus_{i=1}^rV_i\otimes_kW_i\longrightarrow E,\qquad v\otimes\varphi\longmapsto\varphi(v)\quad(v\in V_i,\ \varphi\in W_i) $$
は、$A$ を各 $V_i$ に、$B$ を各 $W_i$ に作用させたときに両方の作用と両立する同型である。さらに $A\cong\prod_i\operatorname{End}_k(V_i)$、$B\cong\prod_i\operatorname{End}_k(W_i)$ であり、$B$ は半単純環で、$W_1,\dots,W_r$ は互いに同型でない単純 $B$ 加群である。
1：$A$ は $k$ 上の部分代数なので、スカラー倍 $c\,\mathrm{id}_E$ は $A$ 線形であり、$B$ に属する。よって $E$ の $k$ 上の基底は $E$ を $B$ 上生成する。cor-jd-surjective を $R=A$、$M=E$ に当てると、自然な写像 $A\to\operatorname{End}_B(E)$ は全射である。$A$ の元は定義により $B$ の元と可換なので、この写像は包含写像であり、$A=\operatorname{End}_B(E)$ である。
2：要点は、Schur の補題により異なる $V_i$ の間の準同型が $0$、$V_i$ の自己準同型がスカラーであることから、すべてが成分ごとの行列の計算になることである。
詳しい証明を開く
$E$ は半単純なので、同型な単純部分加群をまとめて $E\cong\bigoplus_iV_i^{m_i}$（$m_i\ge1$）と書ける。$V_i$ は $E$ の部分空間と同型なので $k$ 上有限次元であり、単純加群 の記事の命題「代数閉体上の Schur の補題」と定理「Schur の補題」により $\operatorname{Hom}_A(V_i,V_j)$ は $i=j$ なら $k\,\mathrm{id}$、$i\neq j$ なら $0$ である。よって $\varphi\in W_i$ は $V_i^{m_i}$ への写像 $v\mapsto(c_1v,\dots,c_{m_i}v)$（$c_l\in k$）であり、$W_i\cong k^{m_i}$ となる。この同一視で $\Phi(v\otimes(c_l)_l)=(c_lv)_l$ なので、$\Phi$ は $V_i\otimes_kk^{m_i}\cong V_i^{m_i}$ の和として同型である。$a\in A$ について $\Phi(av\otimes\varphi)=\varphi(av)=a\varphi(v)$、$b\in B$ について $\Phi(v\otimes b\varphi)=b(\varphi(v))$ なので、$\Phi$ は両方の作用と両立する。
$A$ について：$V_1\oplus\cdots\oplus V_r$ の中心化環は Schur の補題により $k^r$（成分ごとのスカラー）であり、この加群は $k^r$ 上有限生成なので、cor-jd-surjective により $A\to\prod_i\operatorname{End}_k(V_i)$ は全射である。この写像の核の元はすべての $V_i$ に $0$ で作用するので $E\cong\bigoplus_iV_i^{m_i}$ にも $0$ で作用し、$A\subset\operatorname{End}_k(E)$ なので $0$ である。
$B$ について：$i\neq j$ なら $\operatorname{Hom}_A(V_i^{m_i},V_j^{m_j})=0$ なので、$b\in B$ は各 $V_i\otimes W_i$ を保つ。単純環 の記事の補題「自己準同型環の計算」の 2 により $\operatorname{End}_A(V_i^{m_i})\cong M_{m_i}(\operatorname{End}_AV_i)=M_{m_i}(k)$ であり、これは $\Phi$ を通して $W_i\cong k^{m_i}$ に作用する $\operatorname{End}_k(W_i)$ にあたる。よって $B\cong\prod_i\operatorname{End}_k(W_i)$ であり、これは行列環の直積なので半単純環である（半単純環 の記事の例「直積と整数の剰余環」）。$\operatorname{End}_k(W_i)$ は $0$ でない任意のベクトルを任意のベクトルへ移すので $W_i$ は単純 $B$ 加群であり、第 $i$ 成分の単位元は $W_i$ に恒等写像で、$W_j$（$j\neq i$）に $0$ で作用するので、$W_i$ どうしは同型でない。$\square$
$A$ を半単純とし $k$ を代数閉体とした形は EGH11 Theorem 4.54（p. 64）にある。2 の同型 $\Phi$ により、$E$ は $A$ 加群としては $\bigoplus_iV_i^{\dim W_i}$、$B$ 加群としては $\bigoplus_iW_i^{\dim V_i}$ と分解し、$E$ に現れる単純 $A$ 加群と単純 $B$ 加群が $V_i\leftrightarrow W_i$ で一対一に対応する。次元を比べると $\dim_kE=\sum_i\dim V_i\cdot\dim W_i$、$\dim A=\sum_i(\dim V_i)^2$、$\dim B=\sum_i(\dim W_i)^2$ である。
例
$G$ を有限群とし、群環 $\mathbb{C}[G]$ の単純左加群（$G$ の複素既約表現）の同型類の代表を $V_1,\dots,V_r$ とする。自然な写像
$$
\mathbb{C}[G]\longrightarrow\operatorname{End}_{\mathbb{C}}(V_1)\times\cdots\times\operatorname{End}_{\mathbb{C}}(V_r)
$$
は環の同型であり、とくに $\lvert G\rvert=\sum_{i=1}^r(\dim V_i)^2$ である。
実際、Maschkeの定理 の定理「群環が半単純であることの判定」により $\mathbb{C}[G]$ は半単純環であり、$\mathbb{C}[G]=L_1\oplus\cdots\oplus L_m$（極小左イデアル）と書ける。単純加群 $S$ は $0$ でない $x\in S$ について $S=\mathbb{C}[G]x$ なので $\mathbb{C}[G]$ の商であり、$S$ はある $L_j$ と同型である（単純加群 の節「半単純加群との関係」）。よって同型類は有限個で、どの $V_i$ も有限次元である。$M:=V_1\oplus\cdots\oplus V_r$ の中心化環は Schur の補題（代数閉体の版）により $\mathbb{C}^r$ であり、$M$ は $\mathbb{C}^r$ 上有限生成なので、cor-jd-surjective により上の写像は全射である。各 $L_j$ はある $V_i$ と同型なので、すべての $V_i$ に $0$ で作用する元 $a$ は $aL_j=0$ を満たし、$a=a\cdot1=0$ である。よって単射でもある。両辺の $\mathbb{C}$ 上の次元を比べればよい。$G=S_3$ なら $\mathbb{C}[S_3]\cong\mathbb{C}\times\mathbb{C}\times M_2(\mathbb{C})$、$6=1+1+4$ である。
$J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ とし、$R:=\{aI+bJ\mid a,b\in\mathbb{R}\}\subset M_2(\mathbb{R})$ を $E=\mathbb{R}^2$ に作用させる。$J$ は実の固有ベクトルをもたない（$J^2=-I$ なので固有値 $\lambda$ は $\lambda^2=-1$ を満たす）ので、$R$ の元で保たれる部分空間は $0$ と $E$ だけであり、$E$ は単純である。単純加群 の記事の例「反例：Schur の補題の逆と代数閉でない係数体」の 2 により、$D=\operatorname{End}_R(E)=R\cong\mathbb{C}$ である。$E$ は $D$ 上 $1$ 次元であり、thm-jd-wedderburn の通り $R\cong\operatorname{End}_D(E)\cong D$ となる。一方 $R$ は $2$ 次元で、$M_2(\mathbb{R})$（$4$ 次元）より小さい。稠密性定理が保証するのは $D$ 線形写像の実現だけであり、$\mathbb{R}$ 線形写像のすべてではない。
反例の表
各行は、定理の仮定を 1 つだけ外した例である。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $M$ が半単純（thm-jd-density） | 体 $k$ 上の上三角行列の環 $T$ が $M=k^2$ に作用する | $R'=k$、$R''=M_2(k)$ だが $T\neq M_2(k)$。$M$ は $R'$ 上有限生成なので、像は稠密でもない |
| $M$ が $R'$ 上有限生成（cor-jd-surjective） | 可算無限次元の $V$ に、有限階数の線形写像とスカラー倍の和の環 $R$ が作用する | $M=V$ は単純で $R'=k$、$R''=\operatorname{End}_k(V)$ だが、$R\to R''$ は全射でない（像は稠密） |
| $k$ が代数閉体（cor-jd-burnside） | ex-jd-rotation の $R\subset M_2(\mathbb{R})$ | $\mathbb{R}^2$ は単純だが $R\neq M_2(\mathbb{R})$ |
| $R$ が左 Artin 環（thm-jd-wedderburn） | 可算無限次元の $V$ について $R=\operatorname{End}_k(V)$ | $V$ は忠実な単純加群だが、$R$ は斜体上のどの行列環とも同型でない |
| $M$ が忠実（thm-jd-wedderburn の 2） | $R=k\times k$ が $M=k$ に第 1 成分で作用する | $D=k$ で $\operatorname{End}_D(M)=k$ だが、$R\to k$ は単射でなく、$R\not\cong k$ |
各行で、外した条件が本当に成り立たないことと、結論が崩れることを確かめる。
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1 行目：$M$ の部分加群は $T$ の元で保たれる部分空間であり、$0$、$ke_1$、$M$ の 3 つである。実際、$e_2$ の係数が $0$ でないベクトルを含む部分加群は、$E_{22}$ を掛けて $e_2$ を含み、さらに $E_{12}$ を掛けて $e_1$ を含む。$ke_1$ の補部分加群になりうる $1$ 次元の部分加群は $ke_1$ だけなので、$M$ は半単純でない。行列 $X$ が $E_{11}$ と可換なら対角行列で、さらに $E_{12}$ と可換なら $x_{11}=x_{22}$ なので、$R'=k$ である。よって $R''=\operatorname{End}_k(M)=M_2(k)$ である。$M$ は $R'=k$ 上有限生成なので、cor-jd-surjective の後の注意により、像が稠密なら $T\to M_2(k)$ は全射になるはずだが、そうではない。
2 行目：有限階数の線形写像の全体は $\operatorname{End}_k(V)$ の両側イデアルなので、$R$ は部分環である。$0$ でない $v$ と任意の $w$ について、$\mu(v)=1$ となる線形形式 $\mu$（$v$ を含む基底をとって作る）による $x\mapsto\mu(x)w$ は $v$ を $w$ に移すので、$V$ は単純である。$\varphi\in R'$ はこの階数 $1$ の写像と可換なので $\mu(x)\varphi(w)=\mu(\varphi(x))w$ がすべての $x$ で成り立ち、$x=v$ として $\varphi(w)\in kw$ となる。すべてのベクトルが $\varphi$ の固有ベクトルなので $\varphi$ はスカラー倍であり、$R'=k$ である。一方、基底 $e_1,e_2,\dots$ の偶数番目を $0$ に送り奇数番目を動かさない射影は、像も核も無限次元なので、スカラー倍と有限階数の写像の和ではない。実際、この射影が $c\,\mathrm{id}_V+F$（$F$ は有限階数）に等しいとすると、有限余次元の $\ker F$ は無限次元の像とも核とも $0$ でない元で交わり、$c=1$ かつ $c=0$ となって矛盾する。
4 行目：2 行目と同じ議論で $V$ は単純であり、$\operatorname{End}_k(V)$ は $V$ に忠実に作用する。有限階数の写像の全体は $0$ でも全体（恒等写像は有限階数でない）でもない両側イデアルなので、$R$ は単純環でない。斜体上の行列環は単純環なので（行列環 の記事の系「行列環の単純性」）、$R$ はそれと同型でない。左イデアル $I_m:=\{f\mid f(e_1)=\cdots=f(e_m)=0\}$ は真に減少するので、$R$ は左 Artin 環でない。
5 行目：$R$ は $2$ 次元で左 Artin 環であり、$M=k$ は $1$ 次元なので単純である。$(0,1)$ は $M$ に $0$ で作用する。
補足
von Neumann の二重可換子定理との比較。 Hilbert 空間 $H$ 上の有界作用素のなす、随伴で閉じ恒等作用素を含む部分代数 $A$ について、$A$ の二重可換子 $A''$ は $A$ の強作用素位相での閉包に一致する（von Neumann環 の記事の定理「von Neumannの二重可換子定理」）。稠密性定理は、位相を「有限個の点での一致」に替えた、環論での同じ形の主張である。作用素環の側には、近似する元のノルムを抑えた形の Kaplanskyの稠密性定理 もある。
半単純性の役割。 証明で半単純性を使ったのは、lem-jd-one-point で部分加群 $Rx$ の補部分加群をとるところだけである。補部分加群がとれないと、$Rx$ への射影が $R'$ に入らず、$f(x)\in Rx$ が保証されない（rem-jd-counterexamples の 1 行目）。
関連項目
参考文献
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