Whitneyの強はめ込み定理

1. 2 つの座標を $(z,t):=(y_1,\dots,y_r,y_n)$、$(z',t')$ と書き、座標変換を $t'=\theta(z,t)$、$z'=\zeta(z,t)$、それぞれでの $f$ の表示を $\tilde f$、$\hat f$ とする（$\tilde f=\hat f(\zeta,\theta)$）。$p$ では $\hat f_{t'}=0$ なので $\tilde f_t=\hat f_{z'}\zeta_t$ となり、$\tilde f_t=0$ と $\hat f_{z'}$ の単射性から $\zeta_t=0$ である。$c:=\theta_t$、$b:=\theta_z$、$C:=\zeta_z$ とおくと、座標変換の Jacobi 行列が可逆なので $c\ne0$、$C$ は可逆で、$\partial_t=c\,\partial_{t'}$ であり、$\partial_t,\partial_{t'}$ がともに $k$ の正の倍なら $c>0$ である。連鎖律を 2 回使い、$p$ で $\hat f_{t'}=0$、$\zeta_t=0$ を代入すると $$\tilde f_{z_j}=\hat f_{z'}Ce_j,\qquad\tilde f_{tt}=c^2\hat f_{t't'}+\hat f_{z'}\zeta_{tt},\qquad\tilde f_{tz_j}=cb_j\hat f_{t't'}+c\,\hat f_{t'z'}Ce_j+\hat f_{z'}\zeta_{tz_j}$$ である。よって $\tilde{\mathfrak F}=\hat{\mathfrak F}\,\mathfrak M$、$\mathfrak M:=\begin{pmatrix}c^2&0&cb\\ \zeta_{tt}&C&\zeta_{tz}\\ 0&0&cC\end{pmatrix}$（行と列は $1,r,r$ に分けた区画）であり、$\det\mathfrak M=c^{r+2}(\det C)^2$ である。$c>0$ なら正で、$k$ を $-k$ に替えると $c< 0$ となり符号は $(-1)^{r+2}=(-1)^r$ である。

2. $\varphi$ の座標 $(t,z)$ では $f=\psi^{-1}\circ F$ である。原点で $F_t=0$ なので、連鎖律の 2 階の項 $D^2\psi^{-1}(F_t,F_t)$、$D^2\psi^{-1}(F_t,F_{z_j})$ は消え、$\mathfrak F=D\psi^{-1}(0)\bigl(F_{tt},F_{z_1},\dots,F_{z_r},F_{tz_1},\dots,F_{tz_r}\bigr)(0)=D\psi^{-1}(0)\bigl(2e_{Y_0},e_{Z_1},\dots,e_{Z_r},e_{W_1},\dots,e_{W_r}\bigr)$ となる。これは基底で、行列式の符号は $\det D\psi^{-1}(0)$ の符号、すなわち $\operatorname{sgn}(\varphi,\psi)$ である。

3. $F(-t,z)=(t^2,z,-tz)$ なので $\bar\iota\circ F\circ\iota^{-1}=F$ であり、$\det\bar\iota=(-1)^r$、$\iota$ は $t$ の向きを逆にする。$F(t,Lz)=(t^2,Lz,tLz)$ に $(Y_0,Z,W)\mapsto(Y_0,L^{-1}Z,L^{-1}W)$ を合成すると $F(t,z)$ に戻り、この線形写像の行列式は $(\det L)^{-2}>0$ である。

4. 1 で $r$ が偶数の場合である。後半は 2 による。$\square$

特異点と $\tau^{-1}(v)$． $df_p(X)=0$ は $dg_p(X)\in\mathbb{R}v$ と同値である。$g$ ははめ込みなので、$p\in\operatorname{Crit}(f)$ ならちょうど 1 つの $X$ で $dg_p(X)=v$ となり、$(p,X)\in\tau^{-1}(v)$ である。逆も成り立つので $\operatorname{Crit}(f)$ は $\tau^{-1}(v)$ と 1 対 1 に対応し、$\ker df_p=\mathbb{R}X$、$\operatorname{rank}df_p=r$ である。$S_g$ はファイバーが球面の閉集合で $M$ はコンパクトなのでコンパクトであり、$v$ は正則値なので 逆関数定理 の定理「可微分多様体の間の写像の局所可逆性」により $\tau^{-1}(v)$ の各点は孤立している。よって $\tau^{-1}(v)$ は有限である。

座標． $p\in\operatorname{Crit}(f)$ をとる。$v^\perp$ の線形座標 $\Lambda$ を、$\Lambda\circ f$ の最初の $r$ 成分の微分が $p$ で 1 次独立になるようにとる。高さ $\langle g,v\rangle$ の微分は $X$ で $1$ なので、最初の $r$ 成分と高さ（から $p$ での値を引いたもの）は $p$ のまわりの座標 $(x,t)$ を与え、$\Lambda\circ(f-f(p))=(x,\alpha(x,t))$（$\alpha$ は $\mathbb{R}^n$ 値）と書ける。$X$ は $\partial_t$ の正の倍で、$\alpha_t(0)=0$ である。$B:=D_{(x,t)}(\alpha_t)(0)$（$n$ 次正方行列、列は $\partial_x$、$\partial_t$ の順）とおく。$\mathfrak F$ の $\Lambda$ による表示は $\begin{pmatrix}0&I_r&0\\ \alpha_{tt}&\alpha_x&\alpha_{tx}\end{pmatrix}$ で、第 1 列を $I_r$ の区画の後へ移すと行列式は $\det(\alpha_{tt},\alpha_{tx})=(-1)^r\det B$ になるので、全体の行列式は $\det B$ である。よって $\sigma(p,X)=\operatorname{sgn}\det\Lambda\cdot\operatorname{sgn}\det B$ である。

$\tau$ の微分． $(p,X)$ の近くの $S_g$ の点は、$dg(\partial_t+\sum_jb_j\partial_{x_j})$ を長さ $1$ に正規化したものとして $(x,t,b)$ で一意に表され、$(x,t,b)$ は $S_g$ の座標になる。$S^{2n-1}$ の $v$ の側の開半球の座標として $w\mapsto\Lambda(\pi_vw)/\langle w,v\rangle$ をとる。この座標で $\tau$ は $(x,t,b)\mapsto(b,\ \alpha_t+\alpha_xb)$ と表され、原点での Jacobi 行列 $\begin{pmatrix}0&I_r\\ B&\alpha_x\end{pmatrix}$ の行列式は $(-1)^{nr}\det B=\det B$ である。$v$ は正則値なので $\det B\ne0$ であり、$p$ は非退化な特異点である。これで 1 が示された。

向き． $TM$ の全空間は、$M$ の座標 $y$ と接ベクトルの成分 $\xi$ からなる座標 $(y,\xi)$ の座標変換の Jacobi 行列式が $(\det J)^2>0$ なので、$M$ が向き付け可能でなくても標準的な向きをもつ。$S_g$ はその中の正則な等位集合なので、外向きの法線（$X$ を伸ばす向き）を先に置く規約で向きを入れ、$S^{2n-1}$ にも外向きの法線を先に置く向きを入れる。座標 $(x,t,b)$ の向きは、法線 $\partial_{\xi_t}$ を先頭から末尾へ $2n-1$ 回動かす比較から $S_g$ の向きに対して符号 $-1$ であり、半球の座標の $v$ での微分は $v^\perp$ の上の $\Lambda$ で、$T_vS^{2n-1}$ の向きは $v^\perp$ の向きの逆なので符号は $-\operatorname{sgn}\det\Lambda$ である。よって $d\tau_{(p,X)}$ の向きの符号は $\operatorname{sgn}\det\Lambda\operatorname{sgn}\det B=\sigma(p,X)$ である。

写像度． $n$ が奇数とし、$S_0\subset S_g$ を $M_0$ の上の部分とする。$S_0$ は連結なファイバー $S^r$ をもつので連結で、向きをもつ閉多様体であり、$\tau|_{S_0}$ の写像度 $\deg\tau_0$ は正則値のとり方によらない（Mil97 §5 Theorem A、p. 28）。上の計算から、$v$ で数えると $\deg\tau_0=\sum_{p\in\operatorname{Crit}(f)\cap M_0}\sigma(p)$ である。$\alpha(p,X):=(p,-X)$ は $S_0$ の微分同相で $\tau\circ\alpha=-\tau$ を満たす。$\alpha$ は座標で $(y,\xi)\mapsto(y,-\xi)$ と表され、外向きの法線を保つので向きの符号は $(-1)^n$ である。$S^{2n-1}$ の対蹠写像は $\det(-I_{2n})=1$ で外向きの法線を保つので向きを保つ。$\alpha$ は $\tau^{-1}(v)$ を $\tau^{-1}(-v)$ に写し、$d\tau_{\alpha(x)}\circ d\alpha_x=-d\tau_x$ から各点の符号は $(-1)^n$ 倍になる。よって $-v$ も正則値で、$-v$ で数えた写像度は $(-1)^n\deg\tau_0=-\deg\tau_0$ である。Theorem A により $\deg\tau_0=-\deg\tau_0$、すなわち $\deg\tau_0=0$ である。$\square$

第 1 段（射影）． lem-wsi-projection の $f$ をとり、$\operatorname{Crit}(f)=\{p_1,\dots,p_m\}$ とする。各点は非退化である。

第 2 段（値をずらす）． $p_i$ のまわりに互いに交わらない座標球 $B_i$ をとり、$\beta_i$ を $B_i$ に台をもち $p_i$ の近くで $1$ の関数として、$f+\sum_i\beta_ib_i$（$b_i\in\mathbb{R}^D$）を考える。$f$ はコンパクト集合 $\bigcup_i\operatorname{supp}d\beta_i$ の上ではめ込みなので、$\lvert b_i\rvert$ が小さければそこでもはめ込みのままで、特異点は変わらず、各 $p_i$ の近くでは定数を足しただけなので 2 階までの微分も変わらない。$b_i$ を選んで $p_i$ での値を互いに異なるようにし、この写像をあらためて $f$ と書く。

第 3 段（2 次の模型への置き換え）． $p=p_i$ で、lem-wsi-projection の証明の座標 $(x,t)$ と $\Lambda$ をとり、$\Lambda(f-f(p))=(x,\alpha)$ とする。台が小さく原点の近くで $1$ の関数 $\vartheta$ による $\mathbb{R}^D$ の微分同相 $(X,A)\mapsto(X,A-\vartheta(X)\alpha(X,0))$ を合成すると、原点の近くで $\alpha(x,0)=0$ としてよく、$\alpha_t$ と $B$ は変わらない。Taylor の定理により $\alpha=tB_xx+\frac{t^2}{2}B_t+R_1$（$B=(B_x\ B_t)$、$R_1$ は原点で 2 階までの微分が $0$）である。$A$ の成分に $\operatorname{diag}(1,\dots,1,2)B^{-1}$ を施すと $q+R$、$q(x,t):=(tx_1,\dots,tx_r,t^2)$ となり、$w:=(x,t)$ について、ある $C,\rho_0>0$ により $\lvert w\rvert\le\rho_0$ で $\lvert R\rvert\le C\lvert w\rvert^3$、$\lvert\partial_tR\rvert\le C\lvert w\rvert^2$ である。ここまでの $\mathbb{R}^D$ の微分同相を合わせて $\Pi$ と書く（$\Pi\circ f=(x,q+R)$）。$\rho\colon\mathbb{R}\to[0,1]$ を $u\le1$ で $0$、$u\ge4$ で $1$ の滑らかな関数、$m_\rho:=\sup\lvert\rho'\rvert$、$\rho_\varepsilon(w):=\rho(\lvert w\rvert^2/\varepsilon^2)$ とする。$\lvert w\rvert\le2\varepsilon$ では $\lvert\partial_t\rho_\varepsilon\rvert\le4m_\rho/\varepsilon$ なので $$\lvert\partial_t(\rho_\varepsilon R)\rvert\le\frac{4m_\rho}{\varepsilon}C\lvert w\rvert^3+C\lvert w\rvert^2\le C(1+8m_\rho)\lvert w\rvert^2$$ であり、$2\varepsilon\le\rho_0$、$2\varepsilon C(1+8m_\rho)< \frac12$ なら右辺は $\lvert w\rvert/2$ 未満である。一方 $\lvert\partial_tq\rvert=\lvert(x,2t)\rvert\ge\lvert w\rvert$ なので、$w\ne0$ で $\partial_t(q+\rho_\varepsilon R)\ne0$ である。$\lvert w\rvert\le2\varepsilon$ で $\Pi^{-1}\circ(x,q+\rho_\varepsilon R)$、その外で $f$ と定めた写像は（$\lvert w\rvert\ge2\varepsilon$ で $\rho_\varepsilon=1$ なので）滑らかで、最初の $r$ 成分が $x$ なので $w\ne0$ では微分が単射であり、$\lvert w\rvert\le\varepsilon$ では $\Pi\circ f=(x,tx,t^2)$ となる。$\Pi$ の後に成分の並べ替えを合成した $\psi$ と $\varphi:=(t,x)$ がクロスキャップの図式である。$R$ と $\rho_\varepsilon R$ は原点で 2 階までの微分が $0$ なので、$p$ での値と 2 階までの微分は変わらず、非退化性と $\sigma$ も変わらない。これを各 $p_i$ で互いに交わらない小さな球の中で行い、得た写像を $\tilde f$ とする。$\operatorname{Crit}(\tilde f)=\{p_1,\dots,p_m\}$ で、値 $c_i:=\tilde f(p_i)$ は互いに異なる。

第 4 段（一般の位置）． $C_i$ を $p_i$ の図式で $\lvert w\rvert\le\varepsilon_i$ となる閉球とし、$\tilde f(C_i)$ が互いに交わらないように $\varepsilon_i$ を小さくとる。$\chi\colon M\to[0,1]$ を、$\bigcup_iC_i$ の上で $0$、その外で正の滑らかな関数とする（各 $C_i$ の座標で $\lvert w\rvert^2-\varepsilon_i^2$ に平坦な関数 $s\mapsto e^{-1/s}$（$s>0$）を合成したものを使う）。Whitneyの埋め込み定理 の埋め込み $e\colon M\to\mathbb{R}^N$ をとり、$D\times(N+1)$ 行列 $\mathsf A$ について $F_{\mathsf A}(x):=\tilde f(x)+\chi(x)\,\mathsf A\,(1,e(x))$ とおく。$\tilde f$ はコンパクト集合 $M\setminus\bigcup_i\operatorname{int}C_i$ の上ではめ込みなので、$\mathsf A$ が十分小さい開球 $\mathcal O$ の中にあればそこでもはめ込みで、$\operatorname{int}C_i$ の上では $F_{\mathsf A}=\tilde f$ である。よって 1 と 4 は $F_{\mathsf A}$ でも成り立つ（4 は lem-wsi-projection の 2 と lem-wsi-sign の 4 による）。

2 点の条件：$\Phi(x,y,\mathsf A):=F_{\mathsf A}(x)-F_{\mathsf A}(y)$ を $\{(x,y)\in M\times M\mid x\ne y\}\times\mathcal O$ の上で考える。零点で $\chi(x)>0$ なら、$e(x)\ne e(y)$ から $(1,e(x))$ と $(1,e(y))$ は 1 次独立なので、$\mathsf A$ を動かして $\chi(x)\mathsf A(1,e(x))$ を任意に、$\mathsf A(1,e(y))$ を $0$ にでき、$\Phi$ の微分は全射である（$\chi(y)>0$ でも同じ）。$\chi(x)=\chi(y)=0$ なら、像が交わらないので $x,y$ は同じ $C_i$ にあり、図式の座標で $(t,0)$ と $(-t,0)$（$t\ne0$）である。その接空間の像は $(\pm2t,0,0)$ と $(0,e_j,\pm te_j)$ で張られ、合わせると $\mathbb{R}^D$ になる。よって $\Phi$ は $\{0\}$ に横断的で、横断性定理 の定理「パラメータ族の横断性定理」により、測度零集合を除く $\mathsf A$ で $(x,y)\mapsto F_{\mathsf A}(x)-F_{\mathsf A}(y)$ は $0$ に横断的である。これは 2 の条件である。

値の条件：各 $i$ について $\Phi_i(y,\mathsf A):=F_{\mathsf A}(y)-c_i$ を $(M\setminus\{p_i\})\times\mathcal O$ の上で考える。零点で $\chi(y)>0$ なら $\mathsf A$ の微分だけで全射である。$\chi(y)=0$ となる零点はない：$y\in C_j$（$j\ne i$）なら $\tilde f(C_j)\not\ni c_i$ であり、$y\in C_i$ なら $F(t,z)=0$ は原点だけだからである。よって $\Phi_i$ は $\{0\}$ に横断的で、測度零集合を除く $\mathsf A$ で $y\mapsto F_{\mathsf A}(y)-c_i$ は $0$ に横断的であり、$n< D$ なので零点をもたない。$F_{\mathsf A}(p_i)=c_i$ なので 3 が成り立つ。有限個の測度零集合の外の $\mathsf A\in\mathcal O$ をとり、$G:=F_{\mathsf A}$ とおけばよい。$\square$

$Z:=\{(x,y)\in M\times M\mid x\ne y,\ G(x)=G(y)\}$ とおく。3 により $Z$ の点の成分は特異点でなく、2 により $(x,y)\mapsto G(x)-G(y)$ は $Z$ の各点で全射な微分をもつので、$Z$ は $2n-D=1$ 次元の部分多様体である（正則値定理 の定理「正則値定理」）。$M\times M$ での閉包 $\bar Z$ の点で $Z$ にないものは対角線上の $(x,x)$ である。$x$ が特異点でなければ $G$ は $x$ の近くで単射なので（はめ込みと埋め込み(可微分多様体) の系「はめ込みは局所的には埋め込み」）、$(x,x)\notin\bar Z$ である。$x=p$ が特異点なら、図式 $(\varphi,\psi)$ の定義域の中で値の等しい異なる 2 点は $\varphi$ で $(t,0)$ と $(-t,0)$ の組だけなので、$(p,p)$ の近くで $\bar Z$ は埋め込まれた曲線 $\mathfrak c(t):=(\varphi^{-1}(t,0),\varphi^{-1}(-t,0))$（$\lvert t\rvert$ は小さい）に一致する。よって $\bar Z=Z\cup\{(p,p)\mid p\in\operatorname{Crit}(G)\}$ は $M\times M$ のコンパクトな境界のない 1 次元部分多様体である。

入れ替え $s(x,y):=(y,x)$ は $\bar Z$ を保ち、$\bar Z$ での固定点は $(p,p)$（$p\in\operatorname{Crit}(G)$）だけで、$s(\mathfrak c(t))=\mathfrak c(-t)$ である。$\bar Z$ の各連結成分は円周と微分同相である（Mil97 付録「1 次元多様体の分類」の定理、p. 55）。固定点 $(p,p)$ を含む成分 $C$ は $s(C)=C$ を満たす。$C\setminus\{(p,p)\}$ を同相写像で $\mathbb{R}$ と同一視すると、$\mathfrak c$ の $t>0$ の部分と $t< 0$ の部分は $\mathbb{R}$ の両端の近くに対応し、$s$ はそれらを入れ替えるので、$s$ は $\mathbb{R}$ の減少する同相写像 $\bar s$ になる。$\bar s(x)-x$ は狭義に減少し、$x\to\mp\infty$ で $\pm\infty$ に向かうので、ちょうど 1 つの零点をもつ。よって $C$ の固定点はちょうど 2 つ $(p,p)$、$(p',p')$ で、$C$ の第 1 成分への射影は連結なので $p,p'$ は $M$ の同じ連結成分にある。固定点をもつ成分ごとに $\{p,p'\}$ を組にすればよい。$\square$

道． $p,q$ を含む $U$ の連結成分 $U_0$ は弧状連結なので、$\gamma_p,\gamma_q$ の終点を結ぶ道が $U_0$ の中にある。$\gamma_p$、その道、$\gamma_q$ の逆向きをつなぎ、ある $s_1>0$ について $s\le s_1$ で $c(s)=\gamma_p(s)$、$c(1-s)=\gamma_q(s)$ となる連続写像 $c\colon[0,1]\to U_0$ を作る。Whitneyの埋め込み定理 の埋め込み $e\colon M\to\mathbb{R}^N$ と、管状近傍定理 の定理「管状近傍による引き込み」の沈め込み $\varrho\colon O\to e(M)$ をとり、$e(M)$ を $M$ と同一視する。Whitneyの近似定理 の定理「Whitneyの近似定理」を開区間 $(0,1)$ の上の $e\circ c$ と閉集合 $A:=(0,s_1/2]\cup[1-s_1/2,1)$ に当てて $\varrho$ を合成し、$A$ の上で $c$ に等しく $c$ に近い滑らかな道 $\tilde c\colon[0,1]\to U_0$ を得る。

一般の位置． $\chi\colon[0,1]\to[0,1]$ を $[0,s_1/2]\cup[1-s_1/2,1]$ で $0$、その間で正の滑らかな関数とし、小さな開球 $\mathcal O\subset(\mathbb{R}^N)^2$ の $\mathsf v=(v_0,v_1)$ について $c_{\mathsf v}(s):=\varrho\bigl(\tilde c(s)+\chi(s)(v_0+sv_1)\bigr)$ とおく。$\chi(s)>0$ のとき、$\mathsf v$ の変化による $\tilde c(s)+\chi(s)(v_0+sv_1)$ の値と速度の変化は $\chi(\delta v_0+s\delta v_1)$ と $\chi'(\delta v_0+s\delta v_1)+\chi\delta v_1$ で、任意の組を実現できる。$\varrho$ は沈め込みなので、$(s,\mathsf v)\mapsto(c_{\mathsf v}(s),c_{\mathsf v}'(s))\in TM$ も $\chi(s)>0$ の範囲で沈め込みである。横断性定理 の定理「パラメータ族の横断性定理」を次に当てる。(a) $(s,\mathsf v)\mapsto c'_{\mathsf v}(s)$ と $TM$ の零切断（余次元 $n>1$）。(b) $(s,\mathsf v)\mapsto c_{\mathsf v}(s)$ と $K$ の各点（余次元 $n>1$）。(c) 異なる時刻の組・3 つ組で、少なくとも 2 つ（組なら 1 つ）が $\chi>0$ の範囲にあるものの値を並べた写像と、$M\times M$ の対角線・$M^3$ の対角線（余次元 $n$、$2n$）。値の等しい組・3 つ組で動かせる時刻がそれより少ないものは、$\gamma_p,\gamma_q$ が単射で像が交わらないので存在しない。測度零集合の外の $\mathsf v$ をとると、$c_{\mathsf v}$ ははめ込みで、$(0,1)$ の上で $K$ を避け、自己交差の組は $2-n$ 次元の多様体で、3 つの時刻が同じ点に写ることはない。$n\ge3$ なら自己交差はなく、$c_{\mathsf v}$ はコンパクトな区間からの単射なはめ込みなので埋め込みである。

$n=2$． 自己交差の組は離散的で、端の時刻に集積しない（集積すると、$c_{\mathsf v}$ の局所的な単射性か、内部が $p,q\in K$ を避けることに反する）ので有限個であり、交点では 2 つの枝が横断的に交わる。端点と交点の像を頂点、その間の弧を辺とする有限グラフで、$p$ から $q$ への辺の数が最小の道をとると、頂点を 2 度通らないので、その像は位相的に埋め込まれた弧である。$p$ に接する辺は $\gamma_p$ の像の始めの部分を含む。弧が交点で枝を乗り換える角では、2 つの枝を座標軸にする座標（逆関数定理）の中で、負の $x$ 軸から正の $y$ 軸への角を $$\Gamma(u):=\Bigl(-\epsilon'+\frac{\epsilon'}{\ell}\int_0^u\cos\vartheta,\ \frac{\epsilon'}{\ell}\int_0^u\sin\vartheta\Bigr),\qquad \ell:=\int_0^1\cos\vartheta=\int_0^1\sin\vartheta$$ に取り替える。ここで $\vartheta\colon[0,1]\to[0,\pi/2]$ は単調に増え、端の近くで $0$、$\pi/2$ に等しく、$\vartheta(1-u)=\pi/2-\vartheta(u)$ を満たす滑らかな関数である。$\Gamma$ は $(-\epsilon',0)$ から $(0,\epsilon')$ への埋め込まれた曲線で、速さは $\epsilon'/\ell$、両端の近くで軸に一致し、内部は開いた象限にある。座標の円板を互いに、また弧の他の部分と $K$ から離してとれば、得た曲線は滑らかに埋め込まれた弧である。

端の径数． 得た弧は端の近くで $\gamma_p$、$\gamma_q$ の像に一致するので、端の近くではそれらの径数を使い、中央では向きを保つ微分同相でつないで径数付けし直せば、求める $a$ を得る。$\square$

管状の座標． $a$ を端の外へ $a(s):=\varphi_p^{-1}(s,0)$（$s< 0$）、$a(1+s):=\varphi_q^{-1}(-s,0)$（$s>0$）と延ばし、$s_0>0$ を小さくとって、$a$ が $[-s_0,1+s_0]$ の上で単射なはめ込みで、$[-s_0,s_0]$ と $[1-s_0,1+s_0]$ の上では図式の座標軸 $\{z=0\}$ に沿うようにする。区間の上のベクトル束は自明なので、$a'$ と合わせて基底をなす $a$ に沿った接ベクトル場 $\tilde\xi_1,\dots,\tilde\xi_r$ がある。両端の図式の枠 $d\varphi_p^{-1}(\partial_{z_j})$、$d\varphi_q^{-1}(\partial_{z_j})$ を $\tilde\xi$ と $a'$ で表した係数の $r$ 次正方行列を $\Xi_0(s)$、$\Xi_1(s)$ とし、$L:=\operatorname{diag}(\pm1,1,\dots,1)$ を $\det\Xi_1L$ と $\det\Xi_0$ の符号がそろうように選ぶ。$GL_r(\mathbb{R})$ の同じ連結成分の中で $\Xi_0$ と $\Xi_1L$ を滑らかに結べるので、$s\le s_0/2$ で $\xi_j=d\varphi_p^{-1}(\partial_{z_j})$、$s\ge1-s_0/2$ で $\xi=d\varphi_q^{-1}(L\partial_z)$ となる $a$ に沿った横断的な枠 $\xi_1,\dots,\xi_r$ がとれる。$(\varphi_q,\psi_q)$ をこの $L$ による lem-wsi-sign の 3 の後半の図式に取り替えれば、$s\ge1-s_0/2$ で $\xi_j=d\varphi_q^{-1}(\partial_{z_j})$ であり、正の半軸と符号は変わらない。

Whitneyの埋め込み定理 の埋め込みで $M\subset\mathbb{R}^N$ とみなし、$\varrho\colon O\to M$ を 管状近傍定理 の定理「管状近傍による引き込み」の写像とする（$M$ の点で $d\varrho$ は接空間への直交射影）。$\theta_0\colon\mathbb{R}\to[0,1]$ を $s\le s_0/4$ で $1$、$s\ge s_0/2$ で $0$ の滑らかな関数、$\theta_1(s):=\theta_0(1-s)$ とし、 $$\Psi(s,z):=\varrho\Bigl((1-\theta_0-\theta_1)\bigl(a(s)+\textstyle\sum_jz_j\xi_j(s)\bigr)+\theta_0\,\varphi_p^{-1}(s,z)+\theta_1\,\varphi_q^{-1}(1-s,z)\Bigr)$$ とおく。$\Psi(s,0)=a(s)$、$\partial_s\Psi(s,0)=a'(s)$、$\partial_{z_j}\Psi(s,0)=\xi_j(s)$ なので、$\delta>0$ を小さくとると、$\Psi$ は $J\times B_\delta$（$J:=(-s_0/2,1+s_0/2)$、$B_\delta$ は $\mathbb{R}^r$ の開球）の上の埋め込みで、像は $U$ に含まれ、$p,q$ 以外の特異点を含まない（中心の曲線の単射性とコンパクト性による）。$s\le s_0/4$ では $\Psi(s,z)=\varphi_p^{-1}(s,z)$、$s\ge1-s_0/4$ では $\Psi(s,z)=\varphi_q^{-1}(1-s,z)$ である。

値の近傍． $O_p:=\Psi((-s_0/2,s_0/4)\times B_\delta)$ とする。$f^{-1}(f(p))=\{p\}$ で $f(M\setminus O_p)$ はコンパクトなので、$f(p)$ の開球 $B_p$ で $f^{-1}(B_p)\subset O_p$ となるものがあり、小さくして $\psi_p$ の定義域に含まれ $V$ と交わらないようにする。$q$ についても同様に $O_q$、$B_q$ をとり、$f(p)\ne f(q)$ なので $B_p\cap B_q=\emptyset$ とする。$\psi_p$ の座標を $(Y,Z)$、$Y:=(Y_0,W)\in\mathbb{R}^n$ と書き、$R,a_0>0$ を $\{\lvert Y\rvert\le R,\ \lvert Z\rvert\le a_0\}\subset\psi_p(B_p)$ となるようにとる。$\eta\colon\mathbb{R}^n\to[0,1]$ を $\lvert Y\rvert\le R/2$ で $1$、$\lvert Y\rvert\ge R$ で $0$ の滑らかな関数、$C_\eta:=\sup\lvert D\eta\rvert$ とする。$0< \beta< s_0/8$ を $C_\eta(\beta^2+2\beta)< \frac12$、$\beta^2+\beta< R/2$ となるようにとる（$q$ の側の同じ条件も満たすようにする）。

球． $0< \alpha< \delta$ をとり、$L_\beta:=\frac12+\beta$、 $$E:=\Bigl\{(s,z)\ \Bigm|\ \Bigl(\frac{s-1/2}{L_\beta}\Bigr)^2+\frac{\lvert z\rvert^2}{\alpha^2}\le1\Bigr\},\qquad Q:=\Psi(E)$$ とおく。$E\subset[-\beta,1+\beta]\times\bar B_\alpha$ は閉楕円体なので $Q$ は閉 $n$ 球で、$(0,0)$ と $(1,0)$ は $E$ の内部にあるから 1 が成り立つ。$o:=(1/2,0)$ について $c(x,t):=\Psi\bigl(o+(1-t)(\Psi^{-1}(x)-o)\bigr)$ は $\partial Q$ のカラーで、$u$ は内向きである。$\lvert z\rvert< \alpha$ での $E$ のファイバーは $[b(z),1-b(z)]$、$b(z):=\frac12-L_\beta\sqrt{1-\lvert z\rvert^2/\alpha^2}$ で、$b(0)=-\beta$、$b$ は $\lvert z\rvert$ について増加する。$0< \alpha'< \min\{\alpha/2,a_0,1\}$ を $\lvert z\rvert\le\alpha'$ で $b(z)< 0$ となるようにとる。

ファイバーを縮める． $\lambda\colon\mathbb{R}^r\to[0,1]$ を $\lvert z\rvert$ だけによる滑らかな関数で、$\lvert z\rvert\le\alpha'/3$ で $1$、$\lvert z\rvert\ge2\alpha'/3$ で $0$ とし、$l:=b(1-2\lambda)$ とおく。$\lvert z\rvert\le\alpha'$ で $b\le l\le-b\le\beta$ である。 $$\mu(s,z):=\Bigl(l(z)+(s-b(z))\frac{1-2l(z)}{1-2b(z)},\ z\Bigr)\quad(\lvert z\rvert< \alpha)$$ は $\lvert z\rvert\ge2\alpha'/3$ で恒等写像なので、$E$ の残りの部分で恒等写像と定めて、$E$ からその部分集合 $E_1$ への微分同相 $\mu$ を得る。$\mu$ はファイバー $[b,1-b]$ を $[l,1-l]$ に写し、$z=0$ のファイバーは $[\beta,1-\beta]$ に写るので $(0,0),(1,0)\notin E_1$ である。よって $h_0:=f\circ\Psi\circ\mu\circ\Psi^{-1}\colon Q\to\mathbb{R}^D$ ははめ込みである。$\partial_s\mu=A(z):=\frac{1-2l(z)}{1-2b(z)}>0$ である。

値を戻す． $\Delta(Z):=\bigl(b^2-l^2,\ (b-l)Z\bigr)$（$b,l$ は $\lvert Z\rvert$ で評価し、$\lvert Z\rvert\ge2\alpha'/3$ で $0$）は $\mathbb{R}^r$ の上の滑らかな写像で、$\lvert\Delta\rvert\le\beta^2+2\beta\alpha'\le\beta^2+2\beta$ である。$\psi_p$ の座標で $\hat\Phi(Y,Z):=(Y+\eta(Y)\Delta(Z),\ Z)$ とおく。$Y\mapsto\eta(Y)\Delta(Z)$ の Lipschitz 定数は $C_\eta\lvert\Delta\rvert< \frac12$ なので、$\hat\Phi$ は各 $Z$ で単射かつ全射（縮小写像の不動点による）で、微分 $\begin{pmatrix}I+\Delta\otimes D\eta&\eta\,D\Delta\\ 0&I\end{pmatrix}$ は可逆である。よって $\hat\Phi$ は微分同相で、コンパクト集合 $\{\lvert Y\rvert\le R,\ \lvert Z\rvert\le2\alpha'/3\}$ の外で恒等写像なので、$\Phi_p:=\psi_p^{-1}\circ\hat\Phi\circ\psi_p$（$B_p$ の外で恒等写像と定める）は $\mathbb{R}^D$ の微分同相である。$Y_b(z):=(b^2,bz)$、$Y_l(z):=(l^2,lz)$ とおくと、$\lvert Y_l\rvert,\lvert Y_b\rvert\le\beta^2+\beta\alpha'< R/2$ なので $\hat\Phi(Y_l(z),z)=(Y_b(z),z)$ である。$q$ の側にも同様に $\Phi_q$ を作り、$h:=\Phi_q\circ\Phi_p\circ h_0$ とおく。$h$ ははめ込みである。

境界の値． $x=\Psi(s,z)\in\partial Q$ とし、$x':=\Psi(\mu(s,z))$ とおく（$h_0(x)=f(x')$）。$h_0(x)\in B_p$ なら $x'\in f^{-1}(B_p)\subset O_p$ で、そこでは $\psi_p\circ f=F\circ\varphi_p$ なので $\psi_p(h_0(x))$ の $Z$ 成分は $z$ である。$\lvert z\rvert\ge2\alpha'/3$ なら $x'=x$ で、$\Delta(z)=0$ だから $\Phi_p$ は $h_0(x)=f(x)$ を動かさない。$\lvert z\rvert< 2\alpha'/3$ なら $x$ はファイバーの端の点で、$x'\in O_p$ なので $s=b(z)$ であり（右の端は $1-l\ge1-\beta$ に写る）、$\Phi_p(h_0(x))=\psi_p^{-1}\hat\Phi(Y_l(z),z)=\psi_p^{-1}(Y_b(z),z)=f(x)$ である。$\Phi_p(B_p)=B_p$ は $B_q$ と交わらないので、さらに $\Phi_q$ は動かさない。$h_0(x)\notin B_p\cup B_q$ なら、両端の $\lvert z\rvert< 2\alpha'/3$ の点の像は $\psi_p^{-1}(\{\lvert Y\rvert< R/2,\lvert Z\rvert< a_0\})\subset B_p$（と $B_q$ の対応する集合）に入るので、$x$ はそのような点でなく、$h_0(x)=f(x)$ で、$\Phi_p,\Phi_q$ もこの点を動かさない。$q$ の側も同じなので、$\partial Q$ の上で $h=f$ である。

$V$ を避けること． $V$ の各点の逆像は $Q$ の外の 1 点なので $f(Q)\cap V=\emptyset$ であり、$h_0(Q)\subset f(Q)$ も $V$ と交わらない。$\Phi_p,\Phi_q$ は $V$ の各点を固定する全単射なので $\mathbb{R}^D\setminus V$ を保ち、$h(Q)\cap V=\emptyset$ である。これで 2 が示された。

内向きの微分． $\rho:=2\alpha'/3$、$K_p:=\Psi(\{(b(z),z)\mid\lvert z\rvert\le\rho\})$ とし、$K_q$ を右の端で同様に定める。$x\in\partial Q\setminus(K_p\cup K_q)$ なら、上の議論を $x$ の近くの点に当てて、$x$ の近くの $Q$ で $h=f$ である。$x\in\partial K_p$ では $\lambda$ と $\Delta$ の微分が $0$ なので、$\mu$ と $\hat\Phi$ の微分は恒等写像である。よって $K_p\cup K_q$ の外で $Dh(u)=Df(u)$ である。$x=\Psi(b(z),z)\in K_p$ では $\partial_s=\partial_t$（$\varphi_p$ の $t$）は $\partial Q$ に横断的で、$u=\kappa\,\partial_t+(\partial Q\text{ の接ベクトル})$、$\kappa>0$ と書ける。$\partial Q$ の上で $h=f$ なので、接ベクトルの像は $h$ と $f$ で等しく $df(T\partial Q)$ に入る。$Df(\partial_t)=D\psi_p^{-1}(\partial_tF(b,z))=D\psi_p^{-1}(2b,0,z)$ である。$Dh(\partial_t)=D\Phi_p\bigl(A\,Df_{x'}(\partial_t)\bigr)$ で、$Df_{x'}(\partial_t)=D\psi_p^{-1}(2l,0,z)$、$\hat\Phi$ は $(Y_l(z),z)$ の近くで $(Y,Z)\mapsto(Y+\Delta(Z),Z)$ なので $Z$ 成分が $0$ のベクトルを変えない。よって $Dh(u)\equiv\kappa A\,D\psi_p^{-1}(2l,0,z)$ である。$\lvert z\rvert=\rho$ では $\lambda=0$ なので $l=b$、$A=1$ である。右の端では $t=1-s$ で、内向きは $\partial_t$ の向きであり、同じ計算になる。これで 3 が示された。$\square$

法束． $N:=\partial Q\cong S^r$、$f_N:=f|_N$（はめ込み）、$\nu_x:=df_N(T_xN)^\perp$ とし、$P_x$ を $\nu_x$ への直交射影とする。$N$ に向きを 1 つ定め、$\nu_x$ には「$df_N(T_xN)$ の正の基底の後に置くと $\mathbb{R}^D$ の正の基底になる」向きを入れる。$w_0:=P\,Df(u)$、$w_1:=P\,Dh(u)$ は $\nu$ の零にならない切断で、$K_p\cup K_q$ の外で等しい。$K_p$ の点 $x$ で $\Theta_x(y_0,y_W):=P_xD\psi_p^{-1}(y_0,0,y_W)$（$y_0\in\mathbb{R}$、$y_W\in\mathbb{R}^r$）とおく。$df_N(T_xN)$ の $0$ でないベクトルは $\psi_p$ の座標で $Z$ 成分が $0$ でないので、$\Theta_x$ は $\mathbb{R}^n$ から $\nu_x$ への同型であり、lem-wsi-cut の 3 により $\Theta^{-1}w_0=\kappa(2b,z)$、$\Theta^{-1}w_1=\kappa A(2l,z)$ である。$A$ を $K_p\cup K_q$ の外へ $1$ で延ばし、$w_1':=w_1/A$ とおく。

線分のホモトピー． $D\subset N$ を、$K_p\cup K_q$ を内部に含む閉円板とする（$K_p\cup K_q$ の外の 1 点のまわりの小さな開円板を $N\cong S^r$ から除けばよい）。$D$ を含む少し大きい開円板は可縮なので、その上の $\nu$ は自明であり（ベクトル束の分類定理 の定理「引き戻しのホモトピー不変性」）、連続な枠の各ベクトルを Whitneyの近似定理 で $\mathbb{R}^D$ 値の滑らかな写像で近似して $P$ で射影すれば、$\nu|_D$ の向きを保つ滑らかな自明化 $T\colon D\times\mathbb{R}^n\to\nu|_D$ が得られる。$I:=[0,1]$ とし、$H(s,x):=(1-s)w_0(x)+sw_1'(x)$ を $I\times D$ の上で考える。$K_p$ の上では $\Theta^{-1}H=\kappa\bigl(2((1-s)b+sl),\ z\bigr)$ なので、零点は $z=0$、$-(1-s)\beta+s\beta=0$ の 1 点 $(1/2,x_p)$ だけで、そこでの微分は $(s,z)$ と $(y_0,y_W)$ について $\kappa\operatorname{diag}(4\beta,1,\dots,1)$ である（$b,l$ は $\lvert z\rvert$ だけによるので、原点での $z$ による微分は $0$）。$K_q$ でも同じで、その外では $H=w_0\ne0$ である。

零点の符号． $I\times D$ に「$ds$ の後に $D$ の向き」の向きを入れる。$K_p$ の座標 $z$ の向きの $D$ の向きに対する符号を $\epsilon_D$、$\Theta$ の向きの $\nu$ の向きに対する符号を $\epsilon_\nu$ とすると、$T^{-1}H$ の零点 $(1/2,x_p)$ での微分の行列式の符号は $\epsilon_D\epsilon_\nu$ である（零点では $T^{-1}\Theta$ の微分の項は消える）。これは、$df_N(\partial_{z_1}),\dots,df_N(\partial_{z_r})$ の後に $D\psi_p^{-1}(e_{Y_0}),D\psi_p^{-1}(e_{W_1}),\dots,D\psi_p^{-1}(e_{W_r})$ を並べた組の $\mathbb{R}^D$ での向きの符号に等しい。$z=0$ で $df_N(\partial_{z_j})=D\psi_p^{-1}(e_{Z_j}-\beta e_{W_j})$ なので、この組の $\psi_p$ の座標での行列式は $(e_Z,e_{Y_0},e_W)$ のそれ、すなわち $(-1)^r$ であり、符号は $(-1)^r\operatorname{sgn}(\varphi_p,\psi_p)$ である。$q$ の零点の符号は $(-1)^r\operatorname{sgn}(\varphi_q,\psi_q)$ である。

零点を消す． $D$ を $\mathbb{R}^r$ の閉球と同一視し、$I\times D$ の内部に 2 つの零点を内部に含む閉楕円体 $B'$ をとる。$\omega:=T^{-1}H/\lvert T^{-1}H\rvert\colon\partial B'\to S^r$ の写像度は、零点のまわりの小さな球を除いた $B'$ に Mil97 §5 Lemma 1（p. 28）を当て、小さな球の上の写像度が微分の行列式の符号であること（Mil97 §6 の指数の定義と Lemma 4、pp. 32–37）を使うと、$(-1)^r\bigl(\operatorname{sgn}(\varphi_p,\psi_p)+\operatorname{sgn}(\varphi_q,\psi_q)\bigr)=0$ である。Hopf の定理（Mil97 §7、p. 51）により $\omega$ は定値写像にホモトピックなので、中心からの半径をホモトピーの時刻に使って、$\omega$ は連続写像 $\Omega\colon B'\to S^r$ に延びる。$I\times N$ の上で、$B'$ では $T\Omega$、$(I\times D)\setminus B'$ では $T(T^{-1}H/\lvert T^{-1}H\rvert)$、$I\times(N\setminus D)$ では $w_0$ の正の倍として、$\nu$ の零にならない連続な切断の族 $\tilde H$ が得られる。$I\times D$ の底・上面・側面は $B'$ の外にあるので、$\tilde H(0,\cdot)$ と $\tilde H(1,\cdot)$ はそれぞれ $w_0$、$w_1'$ の正の関数倍である。

滑らかにする． 時刻を取り替えて $\tilde H$ を $s$ の端の近くで定数にし、Whitneyの近似定理 の定理「Whitneyの近似定理」で端の近くを変えずに $\mathbb{R}^D$ 値の滑らかな写像で近似して $P$ で射影すると、零にならない $\nu$ の滑らかな切断の族が得られる。$Df(u)$ から $w_0$ への線分（法成分は一定）、正の関数倍の変更、この族、$w_1'$ から $w_1$ への正の関数倍の変更、$w_1$ から $Dh(u)$ への線分を、つなぎ目で時刻を平坦に取り替えてつなげば $v$ を得る。どの時刻でも法成分が $0$ でないので $v(x,s)\notin df(T_xN)$ である。$\square$

$F:=f\circ c$、$G:=h\circ c$ とし、$G_0:=G(\cdot,0)=F(\cdot,0)$、$u_h:=\partial_tG(\cdot,0)$、$u_f:=\partial_tF(\cdot,0)$ とおく。$\chi\colon\mathbb{R}\to[0,1]$ を $z\le\frac12$ で $1$、$z\ge1$ で $0$ の滑らかな関数、$\hat v(x,\theta):=v\bigl(x,1-\chi(\theta)\bigr)$ とする（$\theta\le\frac12$ で $u_f$、$\theta\ge1$ で $u_h$）。$N$ のコンパクト性から、ある $t_0>0$ と $m>0$ について、$t\le t_0$ での $DF$、$DG$ と、行列 $(dG_0,\hat v(x,\theta))$ の最小の伸び率（単位ベクトルの像の長さの最小値）は $m$ 以上である（$v$ は横断的）。以下の $C$ は $F,G,v$ の有限階の微分の上界から決まる定数である。

第 1 段（法微分の付け替え）． $0< \alpha< \beta\le t_0$ について、カラーの上で $$G_1(x,t):=G(x,t)+\chi(t/\beta)\Bigl[G_0(x)+t\,u_h(x)-G(x,t)+\int_0^t\bigl(\hat v(x,\theta/\alpha)-u_h(x)\bigr)d\theta\Bigr]$$ とおく。積分は $t\ge\alpha$ で $\alpha\Delta_v(x)$、$\Delta_v:=\int_0^1(\hat v(x,\theta)-u_h(x))\,d\theta$ に等しい。$t\ge\beta$ で $G_1=G$、$t\le\alpha$ では $G_1=G_0+\int_0^t\hat v(x,\theta/\alpha)\,d\theta$ なので、$G_1(\cdot,0)=G_0$、$\partial_tG_1(\cdot,0)=u_f$ である。(I) $t\le\alpha$：$\partial_tG_1=\hat v(x,t/\alpha)$、$d_xG_1=dG_0+O(\alpha)$。(II) $\alpha\le t\le\beta/2$：$G_1=G_0+tu_h+\alpha\Delta_v$ で、$\partial_tG_1=u_h$、$d_xG_1=dG_0+O(\beta)$。(III) $\beta/2\le t\le\beta$：$\mathcal E:=G_0+tu_h-G$ は Taylor の定理により $\lvert\mathcal E\rvert\le Ct^2$、$\lvert D\mathcal E\rvert\le Ct$ を満たし、$\chi(t/\beta)$ の $t$ による微分は $\beta^{-1}\chi'(t/\beta)$ なので $\lvert D(G_1-G)\rvert\le C(\beta+\alpha/\beta)$。よって $\beta$ を小さくとり、次に $\alpha\le\beta^2$ を小さくとれば、3 つの範囲で $DG_1$ の最小の伸び率は正で $G_1$ ははめ込みであり、$\lvert G_1-G\rvert\le C(\beta^2+\alpha)$ である。

第 2 段（貼り合わせ）． $G_1$ と $F$ は $t=0$ で値と $\partial_t$ が等しいので、1 階の微分がすべて等しい。$\mathcal E_1:=F-G_1$ について $\mathcal E_1(x,t)=\int_0^t(t-\theta)\,\partial_t^2\mathcal E_1(x,\theta)\,d\theta$ であり、$t\le\delta$ で $\lvert\mathcal E_1\rvert\le C_1\delta^2$、$\lvert D\mathcal E_1\rvert\le C_1\delta$ である（$C_1$ は $\alpha,\beta$ に依存してよい）。$0< \delta< \alpha$ について $k:=G_1+\chi(t/\delta)\mathcal E_1$ とおくと、$t\le\delta/2$ で $k=F$、$t\ge\delta$ で $k=G_1$ であり、$\lvert D(k-G_1)\rvert\le C_1'\delta$ なので、$\delta$ が小さければ $k$ ははめ込みである。$f'$ を、カラーの中では $k\circ c^{-1}$、$Q$ のその他の部分では $h$、$M\setminus Q$ では $f$ と定める。$N$ の近くで $f'=f$ なので $f'$ は滑らかで、$Q$ の上ではめ込みであり、$\lvert f'-h\rvert\le C_1\delta^2+C(\beta^2+\alpha)$ は $\varepsilon$ 未満にできる。$\square$

各 $Q_i$ は、lem-wsi-cut の証明のとおり、ある開集合からの埋め込み $\Psi_i$ による閉楕円体 $E_i$ の像である。$x,y\in U_j\cap M_0$ をとる。$E_i$ をその中心から少し拡大した楕円体 $E_i^+$ を、像 $\Psi_i(E_i^+)$ が互いに交わらず $x,y$ を含まないようにとる。$M_0$ は連結な多様体なので、$x$ から $y$ への道 $\gamma$ がある。$i=1,\dots,j$ の順に、$\gamma$ が閉集合 $\Psi_i(E_i^+)$ に入るなら、最初に入る時刻と最後に出る時刻の間を、$\Psi_i(\partial E_i^+)\cong S^r$ の中の道に取り替える（$r\ge1$ なので $S^r$ は弧状連結）。新しく入る部分は他の $\Psi_k(E_k^+)$ と交わらないので、最後に得た道は $Q_1\cup\dots\cup Q_j$ と交わらない。$\square$