切断

同義語：section局所切断大域切断

概要

前提知識: 写像, 位相空間, 連続写像, 前層, 層

点の上のデータを一斉に選ぶ

底空間 $X$ の各点 $x$ の上に、選べるデータの集合があるとする。点ごとに一つずつデータを選び、近い点での選び方に適切な連続性や正則性を課したものを切断（section）という。例えば直積 $X\times\mathbb R$ から $X$ への射影では、関数 $f:X\to\mathbb R$ が切断 $x\mapsto(x,f(x))$ を作る。この意味で関数は「各点の上にある数を一つずつ選ぶ操作」である。
切断には二つのよく使う記述がある。空間の写像 $p:E\to X$ については、$p$ によって元の点へ戻る写像 $s:X\to E$ を切断という。一方、$X$ 上の層 $\mathcal F$ については、開集合 $U$ に割り当てられた集合 $\mathcal F(U)$ の元を $U$ 上の切断という。前者には $p\circ s=\mathrm{id}$ という式があり、後者には小さい開集合への制限と貼り合わせがある。二つの用法は関係するが、任意の層の切断を最初から「通常の点の値を取る関数」とみなしてよいわけではない。本記事はこの対応を明示する。
前層の記事は $\mathcal F(U)$ と制限写像の公理、層の記事は貼り合わせの公理を詳しく扱う。被覆空間の記事は被覆写像や道の持ち上げを扱う。本記事では切断を局所的に選べることと全体で選べることの差を軸に、両分野に共通する記法を読み解く。

写像の切断：右逆写像

写像 $p:E\to X$ があり、$x$ の上のファイバーを $E_x=p^{-1}(\{x\})$ と書く。切断 $s$ は各点 $x$ に対して $E_x$ の元 $s(x)$ を選ぶ。$E$ と $X$ が位相空間なら、通常は $s$ に連続性も課す。滑らかな束では滑らかさ、代数幾何の射では射としての条件を課す。単なる集合としての選択と、問題に合った種類の写像としての切断とを区別する。

写像の切断と局所切断

写像 $p:E\to X$ の切断とは、写像 $s:X\to E$ で
$$ p\circ s=\operatorname{id}_X $$
を満たすものである。$U\subset X$ に対し、$s:U\to E$ が $p\circ s=\operatorname{id}_U$ を満たすとき、$U$ 上の切断という。位相空間では $U$ を開集合とし、$s$ を連続とする場合が多い。$U=X$ の切断を大域切断、各点の近くにある切断を局所切断と呼ぶ。

この定義の $p\circ s=\operatorname{id}$ は、各 $x$ の像 $s(x)$ が本当に $x$ のファイバーに入ることを一行で表す。$p$ に切断があれば $p$ は全射である。逆は一般には成り立たない。全射であることは各ファイバーに少なくとも一点があることを言うが、連続な仕方で選べるとは言わないからである。

直積射影の切断

$p:X\times A\to X$ を $p(x,a)=x$ とする。写像 $s:X\to X\times A$ が $p\circ s=\operatorname{id}_X$ を満たすことと、ある写像 $f:X\to A$ を使って $s(x)=(x,f(x))$ と書けることは同値である。直積に積位相を入れれば、$s$ が連続であることと $f$ が連続であることも同値である。例えば $A=\mathbb R$ なら連続関数が連続切断に対応する。$A$ に離散位相を入れれば、連続切断は局所定数関数に対応する。この後者が定数層と結び付く。

直積の切断を関数に戻す

切断 $s$ を二つの成分で $s(x)=(s_1(x),s_2(x))$ と書く。$p(s(x))=x$ から $s_1(x)=x$ なので $f=s_2$ とすれば $s(x)=(x,f(x))$ であり、$f$ は一意である。逆にどの $f$ から作ったこの形の $s$ も $p\circ s=\operatorname{id}_X$ を満たす。積位相の普遍性から、$s$ の連続性は二つの成分 $x\mapsto x$ と $f$ の連続性と同値であり、前者は常に連続である。$A$ が離散なら $f$ の連続性は、各 $x$ の近くで $f$ が一定であることと同値である。$\square$

連続切断が存在するかどうかは $E$ と $p$ の形に左右される。ベクトル束には各ファイバーの零ベクトルを選ぶ零切断がある。一方、零でないベクトルだけを各点で連続に選ぶ「消えない切断」には別の障害があり得る。切断を一つ持つことと、望む追加条件を満たす切断を持つことも区別する。

局所的に選べても全体では選べない

被覆写像 $p:E\to X$ では、各点 $x$ の近くに均一被覆近傍 $U$ がある。その上のシート $V$ への制限 $p|_V:V\to U$ は同相写像だから、逆写像 $(p|_V)^{-1}:U\to E$ は局所切断になる。したがって被覆空間では局所切断がある。しかし、それらを全体で矛盾なくつなげられるかは別問題である（Hat02 §1.3）。

円周の二重被覆には大域切断がない

単位円周 $S^1=\{z\in\mathbb C:|z|=1\}$ で $p:S^1\to S^1$ を $p(z)=z^2$ とする。これは二重被覆なので各点の近くでは二つの平方根の枝を選べ、局所切断がある。それでも $s(w)^2=w$ を全ての $w\in S^1$ について満たす連続写像 $s:S^1\to S^1$ は存在しない。円周を一周したとき、連続に選んだ平方根の枝が反対側の平方根に移るためである。

一周の端で矛盾する

大域切断 $s$ があると仮定し、$h(t)=s(e^{2\pi it})$（$0\le t\le1$）と置く。区間上の円周値連続写像は実数値の連続な偏角 $\theta(t)$ を選んで $h(t)=e^{2\pi i\theta(t)}$ と書ける。$h(t)^2=e^{2\pi it}$ から $2\theta(t)-t$ は整数値の連続関数となり、連結な $[0,1]$ 上で一定である。他方、$e^{2\pi i0}=e^{2\pi i1}$ なので $h(0)=h(1)$、従って $\theta(1)-\theta(0)$ は整数である。一定性から $2(\theta(1)-\theta(0))=1$ となるが、左辺は偶数で矛盾する。$\square$

この例では各ファイバーに二点あるし、全点に局所切断もある。失敗するのは、一周後にも最初の選択と同じ値で戻るという大域的な整合である。これは「局所的に解ける」と「大域的に解ける」を分ける最小の例の一つである。なお、写像 $p$ の切断は恒等写像 $\operatorname{id}_{S^1}$ を $p$ に沿って持ち上げる写像でもある。被覆空間の持ち上げの言葉で同じ問題を表せる。

層の切断：開集合ごとのデータ

位相空間 $X$ 上の前層 $\mathcal F$ は、各開集合 $U\subset X$ に集合 $\mathcal F(U)$ を割り当て、$V\subset U$ に制限写像 $\rho_{UV}:\mathcal F(U)\to\mathcal F(V)$ を割り当てる。$\mathcal F(U)$ の元 $s$ を $U$ 上の切断と呼び、その制限を $s|_V$ と書く。$\Gamma(U,\mathcal F)$ も同じ集合 $\mathcal F(U)$ を表す記法である（StacksPre §6.3）。ここでは、切断という語は定義上まず集合 $\mathcal F(U)$ の元を指す。個々の点での値を持つ関数として書けるかどうかは、その前層の具体的な作り方による。

層の局所切断と大域切断

$X$ 上の層 $\mathcal F$ と開集合 $U\subset X$ に対し、$s\in\mathcal F(U)=\Gamma(U,\mathcal F)$ を $U$ 上の切断という。$U=X$ のとき $s$ は大域切断である。$x\in U$ なら、$s$ は点 $x$ の近傍で定義された局所切断でもあり、その点での芽を $s_x\in\mathcal F_x$ と書く。$V\subset U$ への制限は $s|_V=\rho_{UV}(s)$ である。

例えば $\mathcal C_X(U)=\{f:U\to\mathbb R\mid f\text{ は連続}\}$ なら切断は実際に関数で、制限は通常の関数の制限である。滑らかな多様体上の滑らかな関数、複素多様体上の正則関数も同様である。ただし同じ集合論的写像 $U\to\mathbb R$ がどの層の切断かは異なる。連続関数の層では連続なら足り、滑らかな関数の層では微分可能性を要する。切断という名だけでは正則性の種類は決まらず、必ず $\mathcal F$ を指定する。

写像の局所切断は層をなす

$p:E\to X$ を連続写像とする。開集合 $U\subset X$ に、$p\circ s=\operatorname{id}_U$ を満たす連続写像 $s:U\to E$ 全体を対応させる。この対応は制限写像を通常の関数の制限として層をなす。$p$ が被覆写像やファイバー束の射なら、得られる層はその連続切断の層である。

点ごとの貼り合わせと連続性

$U=\bigcup_iU_i$ とし、各 $U_i$ に連続切断 $s_i$ があり、重なり $U_i\cap U_j$ で一致するとする。$x\in U_i$ に対し $s(x)=s_i(x)$ と置くと、一致条件により $s$ はよく定まり一意である。$x$ の近くの $U_i$ では $s=s_i$ なので $s$ は連続である。また $p(s(x))=p(s_i(x))=x$ である。よって $s$ は $U$ 上の切断となる。局所的に一致する二つの切断が同じになることも、各点の関数値が一致することから従う。$\square$

層の公理は、上の証明の二部分を抽象化したものと読める。各 $U_i$ で一致すれば全体で同じ、という局所性と、重なりで一致する $s_i$ を一つの $s$ に貼り合わせられるという性質である（StacksSheaves §6.7）。この証明は、任意の局所切断の族が自動で貼れるとは言っていない。重なるところで値が一致するという条件が不可欠である。円周の平方根の枝の例では、小さな弧ごとに切断を作れても、一周後まで整合するような枝の組を選べない。

制限できても延長はできない

$X=\mathbb R$ 上の連続関数の層を考える。$U=(0,1)$ の切断 $f(x)=1/x$ はどの点でも連続であり、さらに小さい開集合へ制限できる。しかし $f$ を $X$ 全体の連続関数に延長することはできない。もし大域切断 $F$ が $F|_U=f$ を満たせば、$x\downarrow0$ で $F(x)=1/x$ は発散し、$F$ の $0$ における連続性に矛盾する。制限写像 $\Gamma(X,\mathcal C_X)\to\Gamma(U,\mathcal C_X)$ は一般に全射でない。層の貼り合わせ公理は局所的に与えた整合する切断を貼る公理であり、任意の切断を大域へ延長する公理ではない。

二つの用法をつなぐエタレ空間

写像の切断と層の切断は、層の各点の茎を一つの空間に集めると正確につながる。点 $x$ での茎 $\mathcal F_x$ は、$x$ の近傍上の切断を「さらに小さな近傍で一致すれば同じ」とみなした芽の集合である。切断 $s\in\mathcal F(U)$ は、各 $x\in U$ に芽 $s_x$ を与える。ただし芽は普通の関数の値 $s(x)$ と同じではない。例えば $x=0$ で $f(x)=x$ と $g(x)=x^2$ は値がともに $0$ だが、どの近傍でも関数として一致せず、連続関数の層では異なる芽を与える（StacksStalk §6.11）。
茎の直和 $E(\mathcal F)=\coprod_{x\in X}\mathcal F_x$ に射影 $\pi:E(\mathcal F)\to X$ を置く。$s\in\mathcal F(U)$ から得る $x\mapsto s_x$ の像を基本開集合とする位相を入れる。この空間を層のエタレ空間と呼ぶ。$\pi$ は各芽の近くで $X$ の開集合への同相写像となるので局所同相である。元の層の切断は、この $\pi$ の連続切断として回復される。

層の切断と芽空間の切断

$X$ 上の集合の層 $\mathcal F$ に対し、上の位相を入れた $\pi:E(\mathcal F)\to X$ がある。任意の開集合 $U\subset X$ について
$$ \mathcal F(U)\longrightarrow \{\,\sigma:U\to E(\mathcal F)\mid \sigma\text{ は連続},\ \pi\circ\sigma=\operatorname{id}_U\,\}, \qquad s\longmapsto(x\mapsto s_x) $$
は、制限と両立する全単射である。

芽を局所的に代表する

まず $\widehat s(U):=\{s_x:x\in U\}$ を基本開集合とする。同じ芽 $s_x=t_x$ はある $x$ の近傍 $W$ で $s|_W=t|_W$ を意味するので、二つの基本開集合が交わる点の周りには $\widehat{s|_W}(W)$ が含まれ、これらは位相の基底をなす。$\pi|_{\widehat s(U)}$ は $U$ への全単射で、基底の定義により同相である。
切断 $s$ から作る $\widehat s:x\mapsto s_x$ は、各点の近くで上の同相写像の逆だから連続であり、$\pi\circ\widehat s=\operatorname{id}_U$ である。逆に $\pi\circ\sigma=\operatorname{id}_U$ の連続切断 $\sigma$ があれば、各点 $x$ の周りで $\sigma(x)$ を含む基本開集合 $\widehat t(V)$ を選べる。$\sigma$ の連続性により $x$ の小さい開近傍 $W\subset U\cap V$ を選んで $\sigma(W)\subset\widehat t(V)$ とでき、$\pi$ が基本開集合上で一対一なので $\sigma|_W=\widehat{t|_W}$ となる。こうして得た局所切断は重なりで同じ芽を与える。層の局所性から重なり上で切断として一致し、貼り合わせにより一つの $s\in\mathcal F(U)$ になる。$\sigma=\widehat s$ で、一意性も局所性から従う。$\square$

この対応の出発点は層の茎である。元の空間に普通の点の値が与えられていなくても、芽を値として取る空間を作れば「右逆写像としての切断」と同じ形にできる。一方、すでに写像 $p:E\to X$ がある場合、その切断の層から作り直したエタレ空間が常に元の $E$ と同じとは限らない。例えば $X\times\mathbb R\to X$ の連続切断の層では、点 $x$ の茎は $x$ 近くの連続関数の芽全体であり、単なる実数一個よりずっと多い。元のファイバー $E_x\cong\mathbb R$ と芽の集合を混同しない。

貼り合わせと大域化を見分ける

局所切断の存在を述べるときは、量化の順序に注意する。「各 $x$ に対し、ある近傍 $U_x$ と切断 $s_x$ が存在する」だけでは、異なる $s_x$ が重なる部分で一致するとは限らない。層の公理が全体の切断を与えるのは、ある開被覆 $U=\bigcup_iU_i$ と切断 $s_i\in\mathcal F(U_i)$ を重なりで一致するように選んだ後である。任意の前層ではこの最後の貼り合わせができない場合もある。円周の二重被覆では切断の層自体は層であるが、円周全体を覆う整合的な局所切断の族が存在しない。したがって「切断の層が層の公理を満たす」ことと「大域切断が存在する」ことは両立する別の命題である。
また、開集合 $V\subset U$ の切断 $s\in\mathcal F(V)$ があることと、$U$ 上の切断 $t$ で $t|_V=s$ となることも違う。後者は延長問題であり、前者の層の公理からは出てこない。連続関数 $1/x$ の例で失敗を直接確かめられる。一方、互いに交わらない二つの開集合なら、そこで任意に与えた二つの切断は重なりでの一致条件が空なので、その和集合上へ貼り合わさる。この違いは、既存の切断を外へ延ばす場合と、開被覆全体に初めから切断を与える場合とを分ける。

切断は底空間を埋め込む

$p:E\to X$ と $s:X\to E$ が連続写像で、$p\circ s=\operatorname{id}_X$ とする。このとき $s$ は単射であり、$X$ から部分空間 $s(X)\subset E$ への同相写像である。

逆写像を制限で作る

$s(x)=s(y)$ なら $x=p(s(x))=p(s(y))=y$ だから $s$ は単射である。像 $s(X)$ 上で $p$ を制限すると、$p|_{s(X)}\circ s=\operatorname{id}_X$ である。一方、$e=s(x)\in s(X)$ なら $s(p(e))=s(x)=e$ だから $s\circ p|_{s(X)}=\operatorname{id}_{s(X)}$ でもある。$s$ と $p|_{s(X)}$ はともに連続なので互いに逆の同相写像である。$\square$

この命題は切断の像が底空間の一つのコピーであることを表す。しかし、像が $E$ で開か閉かは一般には言えない。また、位相空間の連続写像として切断がなくても、選択公理を用いた集合としての右逆写像はある場合がある。位相・滑らかさ・正則性といった条件こそが切断問題の内容である。

芽と点の値の違い

切断 $s\in\mathcal F(U)$ を点 $x\in U$ の芽 $s_x$ に送る操作は制限と両立する。$s$ と $t$ が同じ芽を $x$ で持つとは、ある $x$ の開近傍 $W\subset U$ で $s|_W=t|_W$ となることを意味する。層なら全ての $x\in U$ で芽が等しい二つの切断は等しい。実際、各点の周りで両者が一致し、それらの近傍が $U$ を覆うので局所性を適用できる。逆に、一点での芽だけでは全体の切断は決まらない。実数直線の連続関数 $f=0$ と、$0$ の近くでは $0$ で遠くでは正となる連続関数は、$0$ で同じ芽を持つが全体では違う。
全ての点に茎の元を一つずつ指定しても、必ず切断になるわけではない。例えば実数直線の連続関数の層で、$x<0$ には定数関数 $0$ の芽を、$x\ge0$ には定数関数 $1$ の芽を指定する。この割り当てを大域切断 $f$ が実現するとすれば、各点で $f(x)$ は指定した定数に等しく、$f$ は $0$ で不連続になる。必要なのは、各点の近くで指定した芽が一つの局所切断から同時に生じることである。その条件を満たす芽の割り当てはエタレ空間への連続切断であり、先の定理により層の切断に対応する（StacksSheafify §6.17）。

典型例の読み方

場面	$U$ 上の切断	大域切断を考える際の注意
直積 $X\times A\to X$	$U\to A$ という連続写像	定数値の写像があれば大域切断がある
被覆写像 $E\to X$	$U$ 上で連続に選んだシートの点	局所切断の存在だけでは大域切断を保証しない
ベクトル束 $V\to X$	各点のベクトルを連続に選んだ写像	零切断はあるが、消えない切断は別問題
連続関数の層 $\mathcal C_X$	$U\to\mathbb R$ という連続関数	制限はできても延長できない場合がある
構造層 $\mathcal O_X$	$U$ 上の構造に合った局所関数	位相空間の連続性だけでは条件が足りない

前の三行はまず $p\circ s=\operatorname{id}$ で切断を定義できる。後の二行はまず層の集合 $\mathcal F(U)$ の元として切断を定義する。前の三行についても切断全体を $U$ ごとに集めれば層になり、後の二行についても茎のエタレ空間を作れば右逆写像として記述できる。これが二つの記法の共通点である。ただし、対象となる写像や、切断に課す連続性・正則性を省くと意味が曖昧になる。

条件を外したときの反例

切断の存在・貼り合わせ・延長・像の性質は、それぞれ別の条件に依存する。条件を外すと崩れる例を一覧にする。

外す条件	反例	成り立たなくなること
大域的な整合（被覆であるだけ）	$S^1\to S^1$、$z\mapsto z^2$	局所切断があれば大域切断がある
$p$ が局所同相	$[0,1]\sqcup[1,2]\to[0,2]$（包含の和）	全射なら各点の近くに局所切断がある
重なりでの一致	$\mathbb R$ で $x< 0$ に芽 $0$、$x\ge0$ に芽 $1$ を指定	各点の芽の指定が大域切断を与える
層の貼り合わせ公理	$\mathbb R$ の開集合 $U$ に $U$ 上の有界連続関数を対応させる前層	重なりで一致する局所切断が貼り合わさる
$U=X$ の切断から出発	$(0,1)$ 上の $1/x$	$U$ 上の切断は $X$ 上に延長できる
$E$ が Hausdorff	原点を二重にした直線 $E\to\mathbb R$	連続切断の像は閉集合

最初と第三・第五の行は本文で確かめた。残りを確かめる。

局所切断のない全射、層でない前層、閉でない像

局所切断のない全射。 $E=[0,1]\sqcup[1,2]$ を二つの閉区間の非交和とし、$p$ を各区間の包含とする。$p$ は連続な全射で、$1$ のファイバーは二点、他は一点である。$1$ の近傍 $(1-\varepsilon,1+\varepsilon)$ 上の連続切断 $s$ があるとすると、$x< 1$ では $s(x)$ は第一の区間に、$x>1$ では第二の区間に入るしかない。$s$ の定義域は連結だが、像は $E$ の二つの開かつ閉な部分の両方と交わるので、連続写像の像が連結であることに反する。従って $1$ の近くに局所切断はない。被覆写像なら均一被覆近傍のシートが局所切断を与えたが、$p$ は $1$ の近くで局所同相でない。
層でない前層。 有界連続関数は制限しても有界連続だから前層である。各 $(-n,n)$ 上の関数 $x$ は有界で、重なりでは一致する。しかし貼り合わせた $\mathbb R$ 上の関数 $x$ は有界でなく、この前層の大域切断にならない。
閉でない像。 $E=(\mathbb R\times\{a,b\})/\!\sim$ を、$x\ne0$ のとき $(x,a)\sim(x,b)$ として作る。原点が $0_a,0_b$ の二つになった空間で、$p$ は第一成分への射影である。$s(x)=[(x,a)]$ は連続切断である。像の補集合は $\{0_b\}$ だが、$0_b$ の任意の近傍は $0$ に近い $x\ne0$ の点を含むので $\{0_b\}$ は開でない。従って $s(X)$ は閉でない。$E$ が Hausdorff なら、$s(X)=\{e\in E:s(p(e))=e\}$ は二つの連続写像 $\operatorname{id}_E$、$s\circ p$ が一致する点の集合なので閉である。