Prince Rupertの立方体

1. 辺の向き $\vec n=(0,0,1)$ から見ると、影は 1 辺 $1$ の正方形そのものである。1 辺 $1$ の正方形の穴をあけると、影全体がくり抜かれて何も残らない。
2. 面の対角線の向き $\vec n=(1,1,0)$ から見ると、影は横 $\sqrt2$、縦 $1$ の長方形である（底面の対角線の長さが $\sqrt2$）。1 辺 $1$ の正方形は入るが、上下の辺にぴったり触れて余裕がない。
3. 空間の対角線の向き $\vec n=(1,1,1)$ から見ると、影は正六角形になる。中心 $M$ を通り $\vec n$ に平行な直線（空間の対角線）から、8 つの頂点のうち $(0,0,0)$、$(1,1,1)$ 以外の 6 つの頂点までの距離を求める。たとえば $(1,0,0)$ では、$M$ からのベクトル $\vec p=\left(\dfrac12,-\dfrac12,-\dfrac12\right)$ と長さ $1$ のベクトル $\vec e=\dfrac1{\sqrt3}(1,1,1)$ から
   $$ (\text{距離})^2=\lvert\vec p\rvert^2-(\vec p\cdot\vec e)^2=\frac34-\left(-\frac1{2\sqrt3}\right)^2=\frac34-\frac1{12}=\frac23 $$
   である。6 つの頂点はどれも距離 $\sqrt{\dfrac23}=\dfrac{\sqrt6}3=0.8164\ldots$ で、隣り合う 2 頂点（たとえば $(1,0,0)$ と $(1,1,0)$）の影の距離も $\dfrac{\sqrt6}3$ である（2 点を結ぶベクトル $(0,1,0)$ の影の長さの 2 乗は $1-\dfrac13=\dfrac23$）。立方体のどの点も 8 つの頂点の重み付きの平均（重みは $0$ 以上で和が $1$）として書け、正射影は重み付きの平均を保つので、影は 8 つの頂点の影をすべて含む最小の凸多角形になる。$(0,0,0)$ と $(1,1,1)$ の影は中心にくるので、影は 1 辺 $a=\dfrac{\sqrt6}3$ の正六角形である。

影の平面に、正六角形の中心を原点とし、頂点が $(\pm a,0)$、$\left(\pm\dfrac a2,\pm\dfrac{\sqrt3}2a\right)$ にくる座標をとる（$a=\dfrac{\sqrt6}3$）。正六角形の辺は、上下の $y=\pm\dfrac{\sqrt3}2a=\pm\dfrac{\sqrt2}2$ と、右上の $\sqrt3x+y=\sqrt3a=\sqrt2$ およびそれを軸に関して折り返した 3 本である。
辺を座標軸に平行にした 1 辺 $1$ の正方形の頂点 $\left(\pm\dfrac12,\pm\dfrac12\right)$ で調べる。右上の頂点 $\left(\dfrac12,\dfrac12\right)$ は
$$ \frac12<\frac{\sqrt2}2=0.7071\ldots,\qquad\sqrt3\cdot\frac12+\frac12=1.3660\ldots<\sqrt2=1.4142\ldots $$
を満たし、正六角形の内側にある。直線 $\sqrt3x+y=\sqrt2$ までの距離は $\dfrac{\sqrt2-\frac{\sqrt3+1}2}2=0.0240\ldots$、上の辺までの距離は $\dfrac{\sqrt2-1}2=0.2071\ldots$ である。ほかの 3 つの頂点も対称性から同じである。正方形は影の内部に、幅 $0.024$ 程度の余裕をもって入る。
右上の頂点が直線 $\sqrt3x+y=\sqrt2$ に届くまで正方形を大きくすると、半分の長さ $h$ は $\left(\sqrt3+1\right)h=\sqrt2$ から $h=\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3+1}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}2$ で、1 辺は $\sqrt6-\sqrt2=1.0352\ldots$ である。

$M$ からの距離が $\dfrac12$ 以下の点 $X(x,y,z)$ は $C$ に含まれる。実際、$\lvert x-\dfrac12\rvert\le\sqrt{\left(x-\dfrac12\right)^2+\left(y-\dfrac12\right)^2+\left(z-\dfrac12\right)^2}=MX\le\dfrac12$ なので $0\le x\le1$ で、$y$、$z$ も同じである。
たとえば $\vec n=(2,-2,-1)$ のとき、$\Pi$ の上で $M$ から距離 $\dfrac12$ 以下の円板は $C$ に含まれ、影に含まれる。

$t=1$ では $\lambda=\dfrac{2\sqrt2}3=0.9428\ldots$ で、余裕の幅は
$$ r=\frac{1-\lambda}2=\frac{3-2\sqrt2}6=0.0285\ldots $$
である。$Q_1$ の頂点は $M+\lambda\overrightarrow{MP_i}$ で、たとえば $\overrightarrow{MP_0}=\left(-\dfrac12,-\dfrac14,-\dfrac12\right)$ から
$$ M+\lambda\overrightarrow{MP_0}=\left(\frac12-\frac{\sqrt2}3,\ \frac12-\frac{\sqrt2}6,\ \frac12-\frac{\sqrt2}3\right)=(0.0285\ldots,\ 0.2642\ldots,\ 0.0285\ldots) $$
である。$x$ 座標と $z$ 座標が $0.0285\ldots$ で、立方体の面 $x=0$、$z=0$ から $r$ と同じだけ離れている。

prop-pr-quarter で $a=\dfrac12$ とすると、4 点は 4 本の辺の中点 $\left(0,\dfrac12,0\right)$、$\left(\dfrac12,1,0\right)$、$\left(1,\dfrac12,1\right)$、$\left(\dfrac12,0,1\right)$ である。2 辺の長さは $\sqrt2\cdot\dfrac12=\dfrac{\sqrt2}2=0.7071\ldots$ と $\sqrt{2\cdot\dfrac14+1}=\dfrac{\sqrt6}2=1.2247\ldots$ で等しくないので、正方形ではない（図 4）。中に入る正方形の 1 辺は $\dfrac{\sqrt2}2<1$ で、1 辺 $1$ の立方体の通り道にはならない。

$\vec n=(2,-2,-1)$ の向きの影を、$\Pi$ の上の座標で求める。$\Pi$ に平行で長さ $1$ の 2 つの垂直なベクトル $\vec e_1=\dfrac{\vec u}{\lvert\vec u\rvert}=\dfrac1{\sqrt2}(1,1,0)$、$\vec e_2=\dfrac{\vec v}{\lvert\vec v\rvert}=\dfrac1{3\sqrt2}(1,-1,4)$ をとり、点 $X$ の影を座標 $\left(\overrightarrow{MX}\cdot\vec e_1,\ \overrightarrow{MX}\cdot\vec e_2\right)$ で表す。
立方体の 8 つの頂点の影は、$\left(\pm\dfrac{\sqrt2}2,\pm\dfrac{\sqrt2}3\right)$ の 4 点、$\left(0,\pm\dfrac{\sqrt2}2\right)$ の 2 点、中の 2 点 $\left(0,\pm\dfrac{\sqrt2}6\right)$ で、影ははじめの 6 点を頂点とする六角形である（図 5）。$P_0$ の影は $\left(-\dfrac{3\sqrt2}8,-\dfrac{3\sqrt2}8\right)$ で、これは $(0,0,0)$ の影 $\left(-\dfrac{\sqrt2}2,-\dfrac{\sqrt2}3\right)$ と $(0,1,0)$ の影 $\left(0,-\dfrac{\sqrt2}2\right)$ を結ぶ六角形の辺の上にある（$P_0$ はこの 2 頂点を結ぶ立方体の辺の上の点である）。$P_1,P_2,P_3$ の影も同じく六角形の辺の上にある。
したがって、$Q$ を $M$ を中心に $\mu$ 倍（$\mu>1$）に広げると、頂点は六角形の外に出る（$M$ の影は六角形の内部にあり、六角形は凸なので、$M$ から辺の上の点を越えて進んだ点は外側にある）。広げた正方形は影の内部にない。影で見ると、正方形の 4 つの角が影の外にはみ出し、穴のまわりの輪が 4 か所で切れてしまう。

ex-pr-start (1) のとおり、向き $(0,0,1)$ の影は 1 辺 $1$ の正方形そのものである。影の中の 1 辺 $1$ の正方形は影と一致し、その辺の上の点からは、どんなに小さい $r$ をとっても影の外に出る点がある。よって条件「影の内部にある」が成り立たない。1 辺 $1$ の立方体を通すには、穴の向きを傾けなければならない。