Bott–Chernコホモロジー

同義語：Bott–Chern cohomologyBott–Chernコホモロジー群Bott–Chern類

概要

前提知識: ∂∂̄-補題, Dolbeaultコホモロジー, de Rhamコホモロジー, Chern接続

Bott–Chern コホモロジー（Bott–Chern cohomology）とは、複素多様体 $X$ について
$$ H^{p,q}_{BC}(X):=\frac{\{u\in\mathcal A^{p,q}(X)\mid\partial u=0,\ \bar\partial u=0\}}{\partial\bar\partial\mathcal A^{p-1,q-1}(X)} $$
で定まるベクトル空間である。分子は $d$ 閉な $(p,q)$ 形式、分母は $\partial\bar\partial$ 完全な形式である。閉であるという条件を「$\partial$ でも $\bar\partial$ でも閉」と強くとり、割る部分を「$\partial\bar\partial$ の像」と小さくとったコホモロジーなので、そこからはDolbeault コホモロジー $H^{p,q}_{\bar\partial}(X)$、その共役版 $H^{p,q}_\partial(X)$、de Rham コホモロジー $H^{p+q}_{dR}(X;\mathbb C)$ のどれにも自然な写像が出る。
コンパクト Kähler 多様体、より一般に $\partial\bar\partial$-補題をみたすコンパクト複素多様体では、これらの写像は同型であり（∂∂̄-補題の定理「Bott–Chern コホモロジーとの比較」）、Hodge 分解の成分がどの計量にもよらずに同定される。Kähler でない多様体では Bott–Chern コホモロジーは Dolbeault コホモロジーとも de Rham コホモロジーとも一般に異なり、その違いが Kähler 条件からのずれを測る。また、直線束の Hermite 計量を取り替えると曲率形式は $\partial\bar\partial$ 完全な形式だけ変わるので、第 1 Chern 類は Bott–Chern コホモロジーの類として計量によらずに定まる。
この記事では、自然な写像と積の構造、低い次数の計算、Chern 類の Bott–Chern 類を証明し、Hopf 曲面で Bott–Chern コホモロジーが Dolbeault コホモロジー・de Rham コホモロジーと異なることを完全に示す。

定義と基本的な性質

$X$ を複素次元 $n$ の複素多様体とし、$\mathcal A^{p,q}(X)$ を $C^\infty$ 級の $(p,q)$ 形式の空間とする（$p$ または $q$ が負なら $0$）。外微分は $d=\partial+\bar\partial$ と分かれ、$\partial^2=\bar\partial^2=0$、$\partial\bar\partial=-\bar\partial\partial$ である。$(p,q)$ 形式 $u$ について、$du=0$ は「$\partial u=0$ かつ $\bar\partial u=0$」と同値である（$\partial u$ と $\bar\partial u$ は型が違う）。

Bott–Chern コホモロジーと Aeppli コホモロジー

$H^{p,q}_{BC}(X):=\dfrac{\ker\partial\cap\ker\bar\partial\cap\mathcal A^{p,q}(X)}{\partial\bar\partial\mathcal A^{p-1,q-1}(X)}$ を型 $(p,q)$ の Bott–Chern コホモロジーという。$u$ の類を $[u]_{BC}$ と書き、次元を $h^{p,q}_{BC}(X)$ と書く。
$H^{p,q}_{A}(X):=\dfrac{\ker(\partial\bar\partial)\cap\mathcal A^{p,q}(X)}{\partial\mathcal A^{p-1,q}(X)+\bar\partial\mathcal A^{p,q-1}(X)}$ を型 $(p,q)$ の Aeppli コホモロジーという。
$H^{p,q}_\partial(X):=\dfrac{\ker\partial\cap\mathcal A^{p,q}(X)}{\partial\mathcal A^{p-1,q}(X)}$ と書く（$\partial$ についての Dolbeault 型のコホモロジー）。

1 の分母は分子に含まれる：$\partial(\partial\bar\partial v)=0$、$\bar\partial(\partial\bar\partial v)=-\partial\bar\partial^2v=0$ である。2 の分母は分子に含まれる：$\partial\bar\partial\partial w=-\partial^2\bar\partial w=0$、$\partial\bar\partial\bar\partial w=0$ である。定義は Dem12 Ch. VI Definition (8.1)（p. 310）と同じで、∂∂̄-補題の定義「Bott–Chern コホモロジー」とも一致する。

自然な写像と積の構造

$X$ を複素多様体とする。

類をとる写像で、線形写像
$$ \iota_{\bar\partial}\colon H^{p,q}_{BC}(X)\to H^{p,q}_{\bar\partial}(X),\quad\iota_\partial\colon H^{p,q}_{BC}(X)\to H^{p,q}_\partial(X),\quad\iota_{dR}\colon H^{p,q}_{BC}(X)\to H^{p+q}_{dR}(X;\mathbb C) $$
と、$H^{p,q}_{\bar\partial}(X)$、$H^{p,q}_\partial(X)$ から $H^{p,q}_A(X)$ への写像が定まる。また $d$ 閉な $k$ 次形式の $(p,q)$ 成分をとる写像 $\pi^{p,q}\colon H^{k}_{dR}(X;\mathbb C)\to H^{p,q}_A(X)$（$p+q=k$）が定まり、$\pi^{p,q}\circ\iota_{dR}$ は類をとる写像 $H^{p,q}_{BC}(X)\to H^{p,q}_A(X)$ に等しい。
複素共役 $[u]_{BC}\mapsto[\bar u]_{BC}$ は共役線形な全単射 $H^{p,q}_{BC}(X)\to H^{q,p}_{BC}(X)$ である。
外積 $[u]_{BC}\wedge[v]_{BC}:=[u\wedge v]_{BC}$ は矛盾なく定まり、$H^{\bullet,\bullet}_{BC}(X)=\bigoplus_{p,q}H^{p,q}_{BC}(X)$ は双次数付きの代数になる。$\iota_{\bar\partial}$、$\iota_\partial$、$\iota_{dR}$ は積を保つ。
正則写像 $f\colon Y\to X$ の引き戻しは線形写像 $f^*\colon H^{p,q}_{BC}(X)\to H^{p,q}_{BC}(Y)$ を与え、1 の写像と可換である。

要点：$\partial\bar\partial v=\partial(\bar\partial v)=\bar\partial(-\partial v)=d(\bar\partial v)$ なので、$\partial\bar\partial$ 完全な形式は $\partial$ 完全・$\bar\partial$ 完全・$d$ 完全のどれでもある。積については $\partial\bar\partial w\wedge v=\partial\bar\partial(w\wedge v)$（$v$ が閉のとき）を使う。

証明を開く

1．$u$ が $\partial$ でも $\bar\partial$ でも閉なら、$\bar\partial$ 閉・$\partial$ 閉・$d$ 閉である。$\partial\bar\partial v=\bar\partial(-\partial v)=\partial(\bar\partial v)=d(\bar\partial v)$（$d\bar\partial v=\partial\bar\partial v+\bar\partial^2v$）なので、分母は $\bar\partial$ 完全・$\partial$ 完全・$d$ 完全であり、3 つの写像が定まる。$\bar\partial u=0$ なら $\partial\bar\partial u=0$ で、$\bar\partial$ の像は Aeppli の分母に含まれるので $H^{p,q}_{\bar\partial}\to H^{p,q}_A$ が定まる。$\partial$ についても同じである。$\pi^{p,q}$ について：$u=\sum_{a+b=k}u^{a,b}$ を $d$ 閉な $k$ 次形式とする。$du=0$ の型 $(p+1,q)$ の成分は $\partial u^{p,q}+\bar\partial u^{p+1,q-1}=0$ なので $\partial\bar\partial u^{p,q}=-\bar\partial\partial u^{p,q}=\bar\partial\bar\partial u^{p+1,q-1}=0$ である。また $u=dw$ なら $u^{p,q}=\partial w^{p-1,q}+\bar\partial w^{p,q-1}$ で、Aeppli の分母に入る。よって $[u]\mapsto[u^{p,q}]_A$ は矛盾なく定まる。$u$ がはじめから型 $(p,q)$ なら $u^{p,q}=u$ なので最後の主張が従う。

2．$\overline{\partial u}=\bar\partial\bar u$ なので、$u$ が $\partial$・$\bar\partial$ で閉なら $\bar u$ も閉で、$\overline{\partial\bar\partial v}=\bar\partial\partial\bar v=\partial\bar\partial(-\bar v)$ なので分母は分母に写る。2 回施すと恒等写像である。

3．$u\in\mathcal A^{p,q}$、$v\in\mathcal A^{r,s}$ が $\partial$・$\bar\partial$ で閉なら、Leibniz 則により $u\wedge v$ も閉である。$v$ が閉なら、$\bar\partial(w\wedge v)=\bar\partial w\wedge v\pm w\wedge\bar\partial v=\bar\partial w\wedge v$、$\partial(\bar\partial w\wedge v)=\partial\bar\partial w\wedge v\pm\bar\partial w\wedge\partial v=\partial\bar\partial w\wedge v$ なので $\partial\bar\partial w\wedge v=\partial\bar\partial(w\wedge v)$ である。$v\wedge\partial\bar\partial w$ も同様に $\partial\bar\partial$ 完全である。よって積は代表によらない。1 の写像はどれも形式の外積から誘導されるので積を保つ。

4．正則写像の引き戻しは型を保ち、$d$ と可換なので、$d=\partial+\bar\partial$ の型ごとの成分 $\partial$・$\bar\partial$ とも可換である。よって分子を分子へ、分母を分母へ写す。可換性は定義から明らかである。$\square$

1 の写像をまとめると、次の図式になる。
$$ \xymatrix{ & H^{p,q}_{BC}(X) \ar[dl]_{\iota_\partial} \ar[d]^{\iota_{dR}} \ar[dr]^{\iota_{\bar\partial}} & \\ H^{p,q}_\partial(X) \ar[dr] & H^{p+q}_{dR}(X;\mathbb C) \ar[d]^{\pi^{p,q}} & H^{p,q}_{\bar\partial}(X) \ar[dl] \\ & H^{p,q}_A(X) & } $$
図式は可換である。すなわち、上から下への 3 つの経路の合成は、どれも $[u]_{BC}\mapsto[u]_A$ に等しい。Bott–Chern コホモロジーは 3 つのコホモロジーの「上」に、Aeppli コホモロジーは「下」にある。
Dolbeault コホモロジーの上には複素共役が一般に定義されない（Hodge対称性の節「素朴な共役は定義されない」）が、Bott–Chern コホモロジーの上には 2 で定義される。この共役が、$\partial\bar\partial$-補題のもとで Hodge 対称性を導く道具になる（Hodge対称性）。

低い次数

次数 $(0,0)$ と $(p,0)$

$X$ を複素多様体とする。

$H^{0,0}_{BC}(X)$ は $X$ 上の局所定数関数の空間である。とくに $X$ が連結なら $H^{0,0}_{BC}(X)=\mathbb C$ である。
$H^{p,0}_{BC}(X)$ は、$d$ 閉な正則 $p$ 形式の空間 $\{\eta\in\Omega^p(X)\mid d\eta=0\}$ に等しい。$\iota_{\bar\partial}\colon H^{p,0}_{BC}(X)\to H^{p,0}_{\bar\partial}(X)=\Omega^p(X)$ はその包含写像で、つねに単射である。
$H^{0,p}_{BC}(X)$ は、$d$ 閉な正則 $p$ 形式の複素共役の空間に等しい。

型 $(p,0)$ では分母 $\partial\bar\partial\mathcal A^{p-1,-1}(X)$ は $0$ である。
1．関数 $f$ について $\partial f=0$ かつ $\bar\partial f=0$ は $df=0$ と同じで、これは $f$ が局所定数であることと同値である。
2．$(p,0)$ 形式 $\eta$ について $\bar\partial\eta=0$ は $\eta$ が正則 $p$ 形式であることで、そのとき $d\eta=\partial\eta$ である。よって $\partial\eta=\bar\partial\eta=0$ は「$\eta$ が正則かつ $d$ 閉」と同値である。$H^{p,0}_{\bar\partial}(X)$ の分母 $\bar\partial\mathcal A^{p,-1}(X)$ も $0$ で、$H^{p,0}_{\bar\partial}(X)=\ker\bar\partial\cap\mathcal A^{p,0}(X)=\Omega^p(X)$ なので、$\iota_{\bar\partial}$ は包含写像である。
3．prop-bc-maps の 2 の共役で 2 から従う。$\square$

コンパクト Kähler 多様体では正則形式はすべて $d$ 閉なので（Dem12 Ch. VI Proposition (8.9)、p. 312）、$H^{p,0}_{BC}(X)=\Omega^p(X)$ である。$X$ がコンパクトなら $H^{p,q}_{BC}(X)$ はすべて有限次元である（Dem12 Ch. VI §8.1、p. 310。この記事では証明しない）。

$\partial\bar\partial$-補題との関係

コンパクト複素多様体 $X$ が $\partial\bar\partial$-補題をみたす（∂∂̄-補題の定義「$\partial\bar\partial$-補題が成り立つ多様体」）とき、同記事の定理「Bott–Chern コホモロジーとの比較」により、$\iota_{\bar\partial}\colon H^{p,q}_{BC}(X)\to H^{p,q}_{\bar\partial}(X)$ は同型であり、$\iota_{dR}$ は単射で、その像は $d$ 閉な $(p,q)$ 形式で代表される de Rham 類の空間 $H^{p,q}(X)$（Hodge分解の定義「Hodge 成分」）である。コンパクト Kähler 多様体は $\partial\bar\partial$-補題をみたす（∂∂̄-補題の主定理）。この比較から、次の形でまとめられる。

コンパクト Kähler 多様体の Bott–Chern コホモロジー

$X$ をコンパクト Kähler 多様体とする。

すべての $p,q$ について $h^{p,q}_{BC}(X)=\dim H^{p,q}_{\bar\partial}(X)$ である。
$\iota_{dR}$ たちの和
$$ \bigoplus_{p+q=k}H^{p,q}_{BC}(X)\to H^k_{dR}(X;\mathbb C) $$
は同型である。
$\iota_\partial\colon H^{p,q}_{BC}(X)\to H^{p,q}_\partial(X)$ も同型である。

1 は $\iota_{\bar\partial}$ が同型であることによる。2：∂∂̄-補題の定理「Bott–Chern コホモロジーとの比較」の 2 により、各 $\iota_{dR}$ は $H^{p,q}_{BC}(X)$ から $H^{p,q}(X)$ への同型である。Hodge分解の定理「Hodge 分解定理」の 1 により $H^k_{dR}(X;\mathbb C)=\bigoplus_{p+q=k}H^{p,q}(X)$ は直和なので、和の写像は同型である。3：複素共役 $c(u)=\bar u$ は $H^{q,p}_{\bar\partial}(X)$ から $H^{p,q}_\partial(X)$ への共役線形な全単射で（$\overline{\bar\partial v}=\partial\bar v$）、$\iota_\partial\circ c=c\circ\iota_{\bar\partial}$（左の $c$ は Bott–Chern の共役）をみたす。$\iota_{\bar\partial}$ が型 $(q,p)$ で同型なので、$\iota_\partial$ は型 $(p,q)$ で同型である。$\square$

2 は Dem12 Ch. VI Corollary (8.7)（p. 312）にある。Bott–Chern コホモロジーは計量を使わずに定義されているので、この同型は Hodge 分解が Kähler 計量の選び方によらないことの一つの表現である。

例

射影空間．$\mathbb P^n$ では $h^{p,q}_{BC}=h^{p,q}$ で、$p=q$（$0\le p\le n$）のとき $1$、それ以外は $0$ である（Dem12 Ch. VI (8.8)、p. 312 と cor-bc-kahler）。$H^{1,1}_{BC}(\mathbb P^n)$ は Fubini–Study 形式の類で張られる（下の ex-bc-chern-projective）。
コンパクト Riemann 面．種数 $g$ の連結なコンパクト Riemann 面 $C$ は Kähler なので、$h^{0,0}_{BC}=h^{1,1}_{BC}=1$、$h^{1,0}_{BC}=h^{0,1}_{BC}=g$ である。prop-bc-low の 2 により $H^{1,0}_{BC}(C)$ は正則 1 形式の空間そのものである。
$\mathbb C^n$（コンパクトでない場合）．$f$ を整関数とすると $df=\partial f$ は $d$ 閉な正則 1 形式なので、prop-bc-low の 2 により $H^{1,0}_{BC}(\mathbb C^n)$ に $0$ でない類を定める（$f$ が定数でなければ）。$f=z_1^k$（$k=1,2,\dots$）の $d f$ は一次独立なので、$H^{1,0}_{BC}(\mathbb C^n)$ は無限次元である。コンパクトでない多様体では有限次元性は成り立たない。

第 1 Chern 類の Bott–Chern 類

$L$ を複素多様体 $X$ 上の正則直線束、$h$ を Hermite 計量とし、$\Theta(L,h)$ を Chern 接続の曲率とする（Chern接続）。同記事の系「直線束の Chern 曲率」により、$0$ にならない局所的な正則切断 $e$ について $|e|_h^2=e^{-\varphi}$ と書くと $i\Theta(L,h)=i\partial\bar\partial\varphi$ で、$i\Theta(L,h)$ は $X$ 全体の閉じた実 $(1,1)$ 形式である。局所的に $\partial\bar\partial$ 完全なので、$\partial$ でも $\bar\partial$ でも閉である。

第 1 Chern 類の Bott–Chern 類

上の記号で、
$$ c_1^{BC}(L):=\Bigl[\frac i{2\pi}\Theta(L,h)\Bigr]_{BC}\in H^{1,1}_{BC}(X) $$
は Hermite 計量 $h$ の選び方によらない。$c_1^{BC}(L)$ は共役で不変で、$\iota_{dR}(c_1^{BC}(L))$ は曲率形式による第 1 Chern 類 $c_1^{\mathrm{dR}}(L)$（第1Chern類の定義「曲率形式による定義」）である。また $c_1^{BC}(L\otimes M)=c_1^{BC}(L)+c_1^{BC}(M)$、$c_1^{BC}(L^*)=-c_1^{BC}(L)$ である。

$h'$ を別の Hermite 計量とすると、$h'/h$ は $X$ 上の正の $C^\infty$ 級関数なので、実数値の $C^\infty$ 級関数 $\psi$ で $h'=e^{-\psi}h$ と書ける。局所的な正則切断 $e$ について $|e|_{h'}^2=e^{-(\varphi+\psi)}$ なので、Chern接続の系「直線束の Chern 曲率」の 1 により
$$ i\Theta(L,h')=i\partial\bar\partial(\varphi+\psi)=i\Theta(L,h)+i\partial\bar\partial\psi $$
である。$\psi$ は $X$ 全体の関数なので
$$ \frac i{2\pi}\Theta(L,h')-\frac i{2\pi}\Theta(L,h)=\partial\bar\partial\Bigl(\frac{i\psi}{2\pi}\Bigr)\in\partial\bar\partial\mathcal A^{0,0}(X) $$
であり、Bott–Chern 類は一致する。$\frac i{2\pi}\Theta$ は実形式なので共役で不変である。第1Chern類の定義「曲率形式による定義」の $\Theta_h=\frac i{2\pi}\bar\partial\partial\log h_i$ は、$h_i=|e_i|_h^2=e^{-\varphi}$ とすると $\frac i{2\pi}\partial\bar\partial\varphi=\frac i{2\pi}\Theta(L,h)$ に等しく、$\iota_{dR}$ はその de Rham 類を与える。最後の主張は同系の 3 による。$\square$

de Rham コホモロジーでは、計量を取り替えたときの曲率形式の差は $d$ 完全な形式 $d\bigl(\frac i{2\pi}\bar\partial\psi\bigr)$ である。上の定理は、その差がさらに $\partial\bar\partial$ 完全であるという、より細かい情報を記録している。$\partial\bar\partial$-補題のもとでは、2 つの情報は同じになる。

射影空間の $\mathcal O(1)$

$\mathbb P^n$ の $\mathcal O(1)$ に $\mathbb C^{n+1}$ の標準計量から誘導される計量を入れると $i\Theta(\mathcal O(1))=2\,\omega_{\mathrm{FS}}$ である（Chern接続の命題「射影空間の $\mathcal O(-1)$ と $\mathcal O(1)$ の曲率」。$\omega_{\mathrm{FS}}$ は同記事の正規化の Fubini–Study 形式）。よって $c_1^{BC}(\mathcal O(1))=[\omega_{\mathrm{FS}}/\pi]_{BC}$ である。$\mathbb P^1$ では $\int_{\mathbb P^1}\frac i{2\pi}\Theta(\mathcal O(1))=1$（第1Chern類の定理「曲線上の第1Chern類と次数」、次数 $1$）なので、$\iota_{dR}$ の像は $0$ でなく、$c_1^{BC}(\mathcal O(1))\neq0$ である。

Hopf 曲面での比較

$\partial\bar\partial$-補題をみたさない多様体では、Bott–Chern コホモロジーと Dolbeault・de Rham コホモロジーは異なりうる。最も簡単な例で、それを完全に確かめる。
$W:=\mathbb C^2\setminus\{0\}$、$g(z):=2z$ とし、Hopf 曲面 $X:=W/\langle g\rangle$ と射影 $\pi\colon W\to X$ を考える。$X$ はコンパクト複素曲面で、$S^3\times S^1$ に微分同相であり、$b_1(X)=1$、$b_2(X)=0$、$X$ 上の正則 1 形式は $0$ だけである（Hodge分解の例「反例：Hopf 曲面」。Dem12 Ch. VI (4.7)、p. 297）。$X$ 上の形式は $W$ 上の $g$ で不変な形式と同じものである。
$$ \rho(z):=\log|z|^2\qquad(z\in W) $$
とおくと $\rho\circ g=\rho+\log4$ なので、$\rho$ 自身は $X$ 上の関数でないが、$d\rho$、$\partial\rho$、$\bar\partial\rho$、$\partial\bar\partial\rho$ は $g$ で不変で、$X$ 上の形式を定める。

Hopf 曲面の Bott–Chern コホモロジー

Hopf 曲面 $X$ について次が成り立つ。

$H^{1,0}_{BC}(X)=H^{0,1}_{BC}(X)=0$ である。一方 $[\bar\partial\rho]\in H^{0,1}_{\bar\partial}(X)$ は $0$ でない。したがって $\iota_{\bar\partial}\colon H^{0,1}_{BC}(X)\to H^{0,1}_{\bar\partial}(X)$ は全射でない。
$i\partial\bar\partial\rho$ は $X$ 上の $d$ 閉な実 $(1,1)$ 形式で、$[i\partial\bar\partial\rho]_{BC}\neq0$ であるが、$\iota_{\bar\partial}[i\partial\bar\partial\rho]_{BC}=0$、$\iota_{dR}[i\partial\bar\partial\rho]_{BC}=0$ である。したがって $H^{1,1}_{BC}(X)\ne0$ で、$\iota_{\bar\partial}$ と $\iota_{dR}$ は型 $(1,1)$ で単射でない。

証明では次の 2 つの事実を使う。

Hartogs の拡張．$\mathbb C^n$（$n\ge2$）の開集合 $U$ と $p\in U$ について、$U\setminus\{p\}$ 上の正則関数は $U$ 上の正則関数に延びる（Hartogsの拡張定理。Leb26t Corollary 2.1.5、p. 50）。
多重調和関数．1 次の実 de Rham コホモロジーが $0$ の複素多様体の上で、実数値の $C^\infty$ 級関数 $u$ が $\partial\bar\partial u=0$ をみたせば、$u=\operatorname{Re}F$ となる正則関数 $F$ がある（Dem12 Ch. I Definition (5.15)・Theorem (5.16)、p. 42）。$W$ は $S^3\times\mathbb R$ に微分同相なので $H^1_{dR}(W;\mathbb R)=0$ である。

Hopf 曲面での計算

1 の前半．$u\in\mathcal A^{1,0}(X)$ が $\partial u=\bar\partial u=0$ をみたせば、$u$ は正則 1 形式なので $u=0$ である。型 $(1,0)$ の分母は $0$ なので $H^{1,0}_{BC}(X)=0$ で、共役（prop-bc-maps の 2）により $H^{0,1}_{BC}(X)=0$ である。
1 の後半．$\bar\partial\rho$ は $X$ 上の $(0,1)$ 形式で $\bar\partial(\bar\partial\rho)=0$ である。$\bar\partial\rho=\bar\partial f$ となる $f\in C^\infty(X)$ があったとして矛盾を導く。$f$ を $W$ 上の $g$ で不変な関数とみなし、$F:=\rho-f$ とおくと、$\bar\partial F=0$ なので $F$ は $W$ 上の正則関数である。Hartogs の拡張により $F$ は $\mathbb C^2$ 上の正則関数に延び、とくに $0$ の近くで有界である。一方 $F(g(z))=F(z)+\log4$ なので、$z_0\in W$ を 1 つとると $F(2^{-k}z_0)=F(z_0)-k\log4$（$k=1,2,\dots$）で、$2^{-k}z_0\to0$ なのに $|F(2^{-k}z_0)|\to\infty$ である。これは矛盾である。よって $[\bar\partial\rho]\neq0$ で、$H^{0,1}_{BC}(X)=0$ からの $\iota_{\bar\partial}$ は全射でない。
2 の像が $0$ であること．$\alpha:=i\partial\bar\partial\rho$ は $\partial$ でも $\bar\partial$ でも閉で、$\overline{\alpha}=-i\bar\partial\partial\rho=\alpha$ なので実である。$\partial\rho$ は $X$ 上の $(1,0)$ 形式で、
$$ \alpha=\bar\partial(-i\,\partial\rho),\qquad\alpha=d(-i\,\partial\rho) $$
である（$\bar\partial(-i\partial\rho)=-i\bar\partial\partial\rho=i\partial\bar\partial\rho$、$d(-i\partial\rho)=-i(\partial^2\rho+\bar\partial\partial\rho)$）。よって $\alpha$ は $X$ 上で $\bar\partial$ 完全かつ $d$ 完全で、Dolbeault 類と de Rham 類は $0$ である。
2 の $[\alpha]_{BC}\ne0$．$\alpha=\partial\bar\partial v$ となる $v\in C^\infty(X)$（複素数値）があったとして矛盾を導く。$\alpha$ は実なので、共役をとると $\alpha=\overline{\partial\bar\partial v}=\bar\partial\partial\bar v=-\partial\bar\partial\bar v$ で、2 つの式を平均すると $\alpha=\partial\bar\partial\frac{v-\bar v}2=i\,\partial\bar\partial(\operatorname{Im}v)$ である。$v$ を $W$ 上の不変な関数とみなし、$u:=\rho-\operatorname{Im}v$ とおくと、$u$ は $W$ 上の実数値の $C^\infty$ 級関数で $i\partial\bar\partial u=\alpha-\alpha=0$ である。多重調和関数についての事実により $u=\operatorname{Re}F$ となる $W$ 上の正則関数 $F$ があり、Hartogs の拡張により $F$ は $\mathbb C^2$ に延びるので、$u$ は $0$ の近くで有界である。一方 $\operatorname{Im}v$ は $g$ で不変なので $u(g(z))=u(z)+\log4$ で、$u(2^{-k}z_0)=u(z_0)-k\log4\to-\infty$ である。これは矛盾である。よって $[\alpha]_{BC}\ne0$ である。$\square$

$X$ は $b_1=1$ が奇数なので Kähler でなく（Hodge分解の命題「Hodge 数の関係」）、$\partial\bar\partial$-補題もみたさない（Hodge対称性の例「反例：Hopf 曲面」）。定理は、そのずれが Bott–Chern コホモロジーの水準で両方向に現れることを示している：型 $(0,1)$ では Bott–Chern が小さすぎて Dolbeault を覆えず、型 $(1,1)$ では $\partial\bar\partial$ 完全でない形式が Dolbeault・de Rham では消えてしまう。
1 の証明の $F$ は、$\bar\partial\rho$ の「$\bar\partial$ の原始関数」が $X$ 上では定まらず、$W$ の上でも $\log4$ ずつずれることを表している。2 の $\alpha=i\partial\bar\partial\rho$ は $W$ の上では $\partial\bar\partial$ 完全（$\alpha=\partial\bar\partial(i\rho)$）だが、ポテンシャル $i\rho$ が $g$ で不変でないため、$X$ の上では $\partial\bar\partial$ 完全にならない。局所的には閉じた実 $(1,1)$ 形式はつねに $\partial\bar\partial$ 完全であり（Kähler形式の定理「局所 $\partial\bar\partial$ ポテンシャルの存在」）、Bott–Chern コホモロジーは局所的なポテンシャルが大域的に貼り合わない障害を測っている。

反例と注意

外す条件	反例	成り立たなくなること
$\partial\bar\partial$-補題（Kähler）	Hopf 曲面、型 $(0,1)$	$\iota_{\bar\partial}$ の全射性
$\partial\bar\partial$-補題（Kähler）	Hopf 曲面、型 $(1,1)$ の $i\partial\bar\partial\rho$	$\iota_{\bar\partial}$・$\iota_{dR}$ の単射性
$\partial\bar\partial$-補題（Kähler）	Hopf 曲面、$k=1$	$\bigoplus_{p+q=k}H^{p,q}_{BC}\cong H^k_{dR}$
Kähler（正則形式が $d$ 閉）	岩澤多様体、型 $(1,0)$	$H^{p,0}_{BC}=\Omega^p$
コンパクト性	$\mathbb C^n$、型 $(1,0)$	有限次元性

1・2 行目は thm-bc-hopf である。3 行目：$H^{1,0}_{BC}(X)\oplus H^{0,1}_{BC}(X)=0$ だが $b_1(X)=1$ なので、cor-bc-kahler の 2 の同型は成り立たない。4 行目：岩澤多様体（∂∂̄-補題の例「岩澤多様体」）の正則 1 形式 $\theta=dz-x\,dy$ は $d\theta=-dx\wedge dy\ne0$ なので $d$ 閉でなく、prop-bc-low の 2 により $\iota_{\bar\partial}\colon H^{1,0}_{BC}\to\Omega^1$ の像に入らない（Dem12 Ch. VI Example (8.10)、p. 312）。5 行目は ex-bc-examples の 3 である。
Aeppli コホモロジーとの対．$X$ を複素次元 $n$ のコンパクト複素多様体とする。$u\in\mathcal A^{p,q}(X)$ が $\partial$・$\bar\partial$ で閉で、$w\in\mathcal A^{n-p,n-q}(X)$ が $\partial\bar\partial w=0$ をみたすとき、積分 $\int_Xu\wedge w$ は $[u]_{BC}$ と $[w]_A$ だけで決まり、対 $H^{p,q}_{BC}(X)\times H^{n-p,n-q}_A(X)\to\mathbb C$ が定まる。Bott–Chern コホモロジーと Aeppli コホモロジーは、図式の「上」と「下」にある対の概念である。

対が矛盾なく定まることの確認を開く

型 $(n-1,n)$ の形式 $\eta$ では $\bar\partial\eta$ は型 $(n-1,n+1)$ で $0$ なので $\partial\eta=d\eta$ であり、Stokes の定理で $\int_X\partial\eta=0$ である。同様に型 $(n,n-1)$ の形式 $\eta$ について $\int_X\bar\partial\eta=0$ である。$u=\partial\bar\partial v$ のとき、Leibniz 則で $\partial\bar\partial v\wedge w=\partial(\bar\partial v\wedge w)\pm\bar\partial v\wedge\partial w$、さらに $\bar\partial v\wedge\partial w=\bar\partial(v\wedge\partial w)\pm v\wedge\bar\partial\partial w$ で、$\bar\partial\partial w=-\partial\bar\partial w=0$ なので、$\int_Xu\wedge w=0$ である。$w=\partial a+\bar\partial b$ のとき、$\partial u=\bar\partial u=0$ から $u\wedge\partial a=\pm\partial(u\wedge a)$、$u\wedge\bar\partial b=\pm\bar\partial(u\wedge b)$ なので、やはり $\int_Xu\wedge w=0$ である。