一様凸Banach空間
概要
一様凸Banach空間（uniformly convex Banach space）とは、任意の $\varepsilon>0$ に対してある $\delta>0$ があり、閉単位球の 2 点の距離が $\varepsilon$ を超えるならその中点のノルムが $1-\delta$ 未満になる Banach 空間のことである。Hilbert 空間や $1<p<\infty$ の $L^p$ 空間は一様凸であり、$\ell^1$・$c_0$・$\ell^\infty$ は一様凸でない。Milman–Pettis の定理により一様凸 Banach 空間は反射的であり、ノルムの幾何的な性質から位相的な性質が従う。一様凸な空間では、弱収束にノルムの上極限の評価を加えると強収束が従い、一様凸 Banach 空間では空でない閉凸集合への最近点がただ一つ存在する。
前提知識: Banach空間, 反射的Banach空間, Goldstineの定理, 弱位相(関数解析)
何を捉える概念か
Euclid 平面の円板では、長さ $\varepsilon$ の弦をどこに置いても、その中点は円周から一定の距離だけ内側にある。正方形ではそうならない。辺の上に置いた弦の中点は境界上にある。一様凸性（uniform convexity）は、Banach 空間の閉単位球が円板のように「一様に丸い」ことを、この中点の性質で表した幾何的な条件である。
一様凸性はノルムの形の性質だが、位相的な性質である反射性を導く（Milman–Pettisの定理）。Hilbert 空間や $1< p< \infty$ の $L^p$ 空間が反射的であることは、この経路でも示せる。さらに一様凸な空間では、弱収束にノルムの評価を加えるだけで強収束が従う。一様凸な空間が完備でもあれば、空でない閉凸集合への最近点がただ一つ存在する。
以下 $\mathbb K=\mathbb R$ または $\mathbb C$、$X$ は $\mathbb K$ 上のノルム空間、$B_X=\{x:\|x\|\le1\}$ とする。
定義
ノルム空間 $X$ が一様凸であるとは、任意の $\varepsilon>0$ に対してある $\delta>0$ があって、
$$
\|x\|\le1,\quad\|y\|\le1,\quad\|x-y\|>\varepsilon\quad\Longrightarrow\quad\Bigl\|\frac{x+y}2\Bigr\|<1-\delta
$$
が成り立つことをいう。完備な一様凸ノルム空間を一様凸Banach空間という。
$\varepsilon\ge2$ では $\|x-y\|>\varepsilon$ となる $x,y\in B_X$ がないので、条件は $0< \varepsilon<2$ だけが意味をもつ。$\delta$ は $\varepsilon$ だけで決まり、$x,y$ の位置によらない。これが「一様」の意味である。
$\|x\|=\|y\|=1$、$x\ne y$ ならば $\|(x+y)/2\|<1$ となるとき、$X$ は狭義凸であるという。単位球面が線分を含まないことと同じである。
一様凸なら狭義凸である（$\varepsilon< \|x-y\|$ にとればよい）。逆は無限次元では成り立たない（ex-uc-strict-not-uniform）。中点の代わりに線分上のすべての点で述べる定義や、三角不等式の等号条件による言い換えとの同値性は 狭義凸ノルム の定理「狭義凸性の言い換え」にあり、最近点の一意性による特徴づけは同記事の定理「最近点の一意性による特徴づけ」にある。
$X$ が一様凸であるための必要十分条件は、$\|x_n\|\le1$、$\|y_n\|\le1$、$\|(x_n+y_n)/2\|\to1$ を満たす任意の点列について $\|x_n-y_n\|\to0$ となることである。
（必要性）$\|x_n-y_n\|\not\to0$ なら、ある $\varepsilon>0$ と無限個の $n$ で $\|x_n-y_n\|>\varepsilon$ となり、それらの $n$ で $\|(x_n+y_n)/2\|<1-\delta$ だから $\|(x_n+y_n)/2\|\to1$ に反する。（十分性）一様凸でないなら、ある $\varepsilon>0$ と各 $n$ について $\|x_n\|,\|y_n\|\le1$、$\|x_n-y_n\|>\varepsilon$、$\|(x_n+y_n)/2\|\ge1-1/n$ となる $x_n,y_n$ がある。$\|(x_n+y_n)/2\|\le1$ と合わせて $\|(x_n+y_n)/2\|\to1$ だが、$\|x_n-y_n\|\not\to0$ である。$\square$
例
内積空間 $H$ では平行四辺形の等式から
$$
\Bigl\|\frac{x+y}2\Bigr\|^2=\frac{\|x\|^2+\|y\|^2}2-\Bigl\|\frac{x-y}2\Bigr\|^2
$$
である。$\|x\|,\|y\|\le1$、$\|x-y\|>\varepsilon$ なら右辺は $1-\varepsilon^2/4$ 未満なので、$\delta=1-\sqrt{1-\varepsilon^2/4}$ とすれば一様凸の条件が成り立つ。したがって Hilbert 空間は一様凸 Banach 空間である。
測度空間上の $L^p$（$2\le p< \infty$）は一様凸である。
数の不等式：$a,b\in\mathbb K$ について
$$
\Bigl|\frac{a+b}2\Bigr|^p+\Bigl|\frac{a-b}2\Bigr|^p\le\frac{|a|^p+|b|^p}2
$$
を示す。$\varphi(t)=t^{p/2}$（$t\ge0$）は $p/2\ge1$ なので凸で $\varphi(0)=0$ である。凸性から $s,t\ge0$、$s+t>0$ について $\varphi(s)\le\frac s{s+t}\varphi(s+t)$ なので、$\varphi(s)+\varphi(t)\le\varphi(s+t)$ である。$s=|(a+b)/2|^2$、$t=|(a-b)/2|^2$ とすると $s+t=(|a|^2+|b|^2)/2$（$\mathbb K$ での平行四辺形の等式）だから、左辺は $\varphi\bigl((|a|^2+|b|^2)/2\bigr)$ 以下であり、$\varphi$ の凸性からこれは $(\varphi(|a|^2)+\varphi(|b|^2))/2=(|a|^p+|b|^p)/2$ 以下である。
積分：$f,g\in L^p$ に $a=f(\omega)$、$b=g(\omega)$ を代入して積分すると、Clarkson の不等式
$$
\Bigl\|\frac{f+g}2\Bigr\|_p^p+\Bigl\|\frac{f-g}2\Bigr\|_p^p\le\frac{\|f\|_p^p+\|g\|_p^p}2
$$
を得る。$\|f\|_p,\|g\|_p\le1$、$\|f-g\|_p>\varepsilon$ なら $\|(f+g)/2\|_p^p<1-(\varepsilon/2)^p$ であり、$\delta=1-\bigl(1-(\varepsilon/2)^p\bigr)^{1/p}$ とすればよい。$\square$
$p<2$ では上の数の不等式は成り立たない（$a=1$、$b=0$ で左辺は $2^{1-p}>\frac12$）。その代わりに、左辺の指数を共役指数 $p'=p/(p-1)$ に替え、右辺を $p'-1$ 乗した $L^p$ ノルムの不等式を使う。σ-有限な測度空間上の実数値の $L^p$ について、その不等式が Clarksonの不等式 の定理「Clarksonの第二不等式」である。
測度空間上の $L^p$（$1< p<2$）は一様凸である。
σ-有限な測度空間上の実数値の $L^p$ については、Clarksonの不等式 の系「$L^p$ の一様凸性」がこの主張であり、$\delta(\varepsilon)=1-\bigl(1-(\varepsilon/2)^{p'}\bigr)^{1/p'}$ ととれる。一般の測度空間上の $L^p$ と複素数値の $L^p$ も、次のようにこの場合に帰着する。
一般の測度空間と複素数値の場合を開く
$1< p<\infty$ とし、$m=\max(p,p')$ と上の $\delta(\varepsilon)$ の $p'$ を $m$ に替えたものを使う。$f,g\in L^p(\mu)$ が $\|f\|_p,\|g\|_p\le1$、$\|f-g\|_p>\varepsilon$ を満たすとする。$E=\{f\ne0\}\cup\{g\ne0\}$ は $\{|f|>1/n\}$、$\{|g|>1/n\}$（$n\ge1$）の和で、それぞれの測度は有限なので、$\mu$ を $E$ に制限した測度 $\mu_E$ は σ-有限である。$f,g,f\pm g$ は $E$ の外で $0$ なので、ノルムは $L^p(\mu_E)$ で計算してよい。実数値なら、これで Clarksonの不等式 の系「$L^p$ の一様凸性」がそのまま使える。
複素数値のときは実数値の空間へ等長に写す。$c=\int_0^{2\pi}|\cos\theta|^p\,d\theta>0$ とおく。$z=|z|e^{i\alpha}$ なら $\operatorname{Re}(e^{-i\theta}z)=|z|\cos(\theta-\alpha)$ であり、$|\cos|^p$ は周期 $2\pi$ をもつので $\int_0^{2\pi}|\operatorname{Re}(e^{-i\theta}z)|^p\,d\theta=c|z|^p$ である。$E\times[0,2\pi]$ に $\mu_E$ と Lebesgue 測度の積測度（σ-有限）を入れ、$(Th)(\omega,\theta)=c^{-1/p}\operatorname{Re}\bigl(e^{-i\theta}h(\omega)\bigr)=c^{-1/p}\bigl(\cos\theta\operatorname{Re}h(\omega)+\sin\theta\operatorname{Im}h(\omega)\bigr)$ とおく。これは可測な実数値関数で、Tonelli の定理から $\|Th\|_p^p=\int_E|h|^p\,d\mu_E=\|h\|_p^p$ である。$T$ は実線形なので $\|Tf-Tg\|_p=\|f-g\|_p$、$\|(Tf+Tg)/2\|_p=\|(f+g)/2\|_p$ である。実数値の $Tf,Tg$ に系「$L^p$ の一様凸性」を使えば $\|(f+g)/2\|_p<1-\delta(\varepsilon)$ を得る。一様凸性の条件は和・差・ノルムだけで書かれているので、実線形な等長写像で引き戻せる。$\square$
$\mathbb R^2$ に $\|x\|_1=|x_1|+|x_2|$ を入れると、$x=(1,0)$、$y=(0,1)$ は $\|x-y\|_1=2$ だが $\|(x+y)/2\|_1=1$ である。$\|x\|_\infty=\max(|x_1|,|x_2|)$ でも $x=(1,1)$、$y=(1,-1)$ で同じことが起きる。どちらも単位球面が線分を含み、狭義凸でさえない。同じ組を最初の 2 座標に置けば、$\ell^1$、$c_0$、$\ell^\infty$ も一様凸でないことが分かる。
有限次元のノルム空間は、狭義凸なら一様凸である。
一様凸でないとすると、prop-uc-sequence の十分性の証明のように、$\|x_n\|,\|y_n\|\le1$、$\|x_n-y_n\|>\varepsilon$、$\|(x_n+y_n)/2\|\to1$ となる点列がある。有限次元では閉単位球はコンパクトなので（ノルム空間 の記事の定理「閉単位球のコンパクト性と次元」）、部分列をとって $x_n\to x$、$y_n\to y$ としてよい。すると $\|x-y\|\ge\varepsilon$、$\|(x+y)/2\|=1$ であり、$1=\|(x+y)/2\|\le(\|x\|+\|y\|)/2\le1$ から $\|x\|=\|y\|=1$ である。$x\ne y$ なので狭義凸に反する。$\square$
反射性
一様凸 Banach 空間は反射的である（Milman–Pettisの定理）。証明は、Goldstineの定理 による二重双対の弱スター位相での近似を、一様凸性の「中点がほぼ球面上にある 2 点は近い」という性質でノルムでの近似に格上げする。
Hilbert 空間と、$1< p< \infty$ の $L^p$ 空間は反射的である。
ex-uc-hilbert、prop-uc-lp、prop-uc-lp-small に Milman–Pettisの定理 を用いる。$\square$
反射的Banach空間 の記事は、同じ結論を Riesz の表現定理と $L^p$ の双対の記述から示している。一様凸性を経由するこの記事の証明は、双対空間を具体的に知らなくてよい点が違う。
逆は成り立たない。 $(\mathbb R^2,\|\cdot\|_1)$ は有限次元なので反射的だが、ex-uc-non のとおり一様凸でない。一様凸性はノルムの形に依存し、同値なノルムに替えると失われうるが、反射性は同値なノルムで変わらない（同値なノルムは有界集合と連続双対、したがって弱位相を共有するので、Eberlein–Šmulianの定理 の系「反射性の点列による特徴づけ」の条件が変わらない）。さらに、反射的だが同値な一様凸ノルムをもたない空間がある（Bre11 Remark 21、p. 77。この記事では証明しない）。
$c_0$ に $N(x)=\|x\|_\infty+q(x)$、$q(x)=\bigl(\sum_n2^{-n}|x_n|^2\bigr)^{1/2}$ を入れる。$q(x)\le\|x\|_\infty$ なので $\|x\|_\infty\le N(x)\le2\|x\|_\infty$ であり、$N$ は $\|\cdot\|_\infty$ と同値なノルムである。
狭義凸：$N(x)=N(y)=1$、$N((x+y)/2)=1$ とする。$N(x+y)=N(x)+N(y)$ であり、$N$ の三角不等式は $\|\cdot\|_\infty$ と $q$ のそれぞれの三角不等式を足したものなので、$q(x+y)=q(x)+q(y)$ が成り立つ。$q$ は内積 $\sum_n2^{-n}x_n\overline{y_n}$ から来るノルムなので、$q(x),q(y)>0$ のもとで等号は $y=tx$（$t>0$）のときに限る（Cauchy–Schwarz の不等式の等号条件）。$N(y)=tN(x)$ から $t=1$ で $x=y$ である。
一様凸でない：$s_n=e_1+\cdots+e_n$ は $N$ でも有界だが弱収束部分列をもたない（Eberlein–Šmulianの定理 の例「$c_0$ の部分和の列」。同値なノルムなので弱位相は $\|\cdot\|_\infty$ のときと同じ）。よって $(c_0,N)$ は反射的でなく、Milman–Pettisの定理 により一様凸でない。
一様凸空間での収束と最近点
$X$ を一様凸なノルム空間とし、$x_n\rightharpoonup x$（弱収束）かつ $\limsup_n\|x_n\|\le\|x\|$ とする。このとき $\|x_n-x\|\to0$ である。
$x=0$ なら $\|x_n\|\to0$ である。$x\ne0$ とする。ノルムは弱位相で下半連続なので（弱位相(関数解析) の記事の命題「弱収束列の基本性質」の 2）$\|x\|\le\liminf\|x_n\|$ であり、$\|x_n\|\to\|x\|$ となる。$\lambda_n=\max(\|x_n\|,\|x\|)$、$y_n=x_n/\lambda_n$、$y=x/\|x\|$ とおくと $\lambda_n\to\|x\|$、$\|y_n\|\le1$、$\|y\|=1$ で、$y_n\rightharpoonup y$ である。$(y_n+y)/2\rightharpoonup y$ に下半連続性を使うと
$$
1=\|y\|\le\liminf_n\Bigl\|\frac{y_n+y}2\Bigr\|\le\limsup_n\Bigl\|\frac{y_n+y}2\Bigr\|\le1
$$
なので $\|(y_n+y)/2\|\to1$ であり、prop-uc-sequence から $\|y_n-y\|\to0$ である。よって $x_n=\lambda_ny_n\to\|x\|y=x$ となる。$\square$
定理の形は Bre11 Proposition 3.32（p. 78）による。弱収束とノルムの収束から強収束が従うという性質を Radon–Riesz性（Kadec–Klee 性）といい、この定理は一様凸空間がこの性質をもつことを含む。Radon–Riesz性 の系「一様凸空間のRadon–Riesz性」は、単位球面の上で弱位相とノルムの位相が一致することから同じ結論を導く。$L^p$（$1< p< \infty$）では、弱収束とノルムの収束から強収束が従うという形で使われる。
$X$ を一様凸 Banach 空間、$C\subset X$ を空でない閉凸集合、$x_0\in X$ とする。$\|x_0-c_0\|=\inf_{c\in C}\|x_0-c\|$ となる $c_0\in C$ がただ一つ存在する。
存在：$X$ は Milman–Pettisの定理 により反射的なので、反射的Banach空間 の記事の系「最近点の存在」による。一意性：$d=\inf_C\|x_0-c\|$ とし、$c_1\ne c_2$ がともに距離 $d$ を実現するとする。$d=0$ なら $c_1=x_0=c_2$ となるので $d>0$ である。$u_i=(x_0-c_i)/d$ は異なる単位ベクトルで、狭義凸性から $\|(u_1+u_2)/2\|<1$ である。$(c_1+c_2)/2\in C$ なのに $\|x_0-(c_1+c_2)/2\|=d\|(u_1+u_2)/2\|< d$ となり、$d$ の定義に反する。$\square$
Hilbert 空間での同じ結論（Hilbert空間 の記事の定理「閉凸集合への最短点の存在と一意性」）は、この命題の特別な場合である。Hilbert 空間では、最も近い点が変分不等式で特徴づけられる（射影定理(Hilbert空間) の定理「射影定理」）。
反例の表
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 一様凸性 | $c_0$ | 反射性（Milman–Pettisの定理） |
| 完備性 | $\ell^2$ ノルムを入れた $c_{00}$ | 反射性（Milman–Pettisの定理） |
| 一様凸性 | $c_0$ の $x_n=e_1+e_n$ | 弱収束とノルムの評価からの強収束 |
| ノルムの上極限の条件 | $\ell^2$ の標準基底 $e_n$ | 強収束（thm-uc-radon-riesz） |
| 狭義凸性 | 最大値ノルムの $\mathbb R^2$ の線分 $\{(s,0):-1\le s\le1\}$ と点 $(0,2)$ | 最近点の一意性 |
| 有限次元 | ex-uc-strict-not-uniform のノルム $N$ を入れた $c_0$ | 狭義凸なら一様凸（prop-uc-finite） |
1 行目：$c_0$ は反射的でない（反射的Banach空間 の記事の例「$c_0$・$\ell^1$・$L^1[0,1]$ は反射的でない」）。2 行目：$c_{00}$ は内積空間なので ex-uc-hilbert の計算で一様凸だが、完備でないので反射的でない。3 行目：$e_n\rightharpoonup0$ なので $x_n\rightharpoonup e_1$、$\|x_n\|_\infty=1=\|e_1\|_\infty$ だが $\|x_n-e_1\|_\infty=1$。4 行目：$e_n\rightharpoonup0$ だが $\|e_n\|=1$。5 行目は Hilbert空間 の記事の例「反例：内積から来ないノルムでの最短点」で、線分上のすべての点が距離 $2$ を実現する。
関連項目
- 前提: Banach空間, Hilbert空間, Lp空間
- 道具: Goldstineの定理, 弱位相(関数解析), Eberlein–Šmulianの定理
- 応用: 反射的Banach空間
- 関連: 狭義凸ノルム, Clarksonの不等式, Radon–Riesz性
参考文献
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