一様凸Banach空間

（必要性）$\|x_n-y_n\|\not\to0$ なら、ある $\varepsilon>0$ と無限個の $n$ で $\|x_n-y_n\|>\varepsilon$ となり、それらの $n$ で $\|(x_n+y_n)/2\|<1-\delta$ だから $\|(x_n+y_n)/2\|\to1$ に反する。（十分性）一様凸でないなら、ある $\varepsilon>0$ と各 $n$ について $\|x_n\|,\|y_n\|\le1$、$\|x_n-y_n\|>\varepsilon$、$\|(x_n+y_n)/2\|\ge1-1/n$ となる $x_n,y_n$ がある。$\|(x_n+y_n)/2\|\le1$ と合わせて $\|(x_n+y_n)/2\|\to1$ だが、$\|x_n-y_n\|\not\to0$ である。$\square$

数の不等式：$a,b\in\mathbb K$ について
$$ \Bigl|\frac{a+b}2\Bigr|^p+\Bigl|\frac{a-b}2\Bigr|^p\le\frac{|a|^p+|b|^p}2 $$
を示す。$\varphi(t)=t^{p/2}$（$t\ge0$）は $p/2\ge1$ なので凸で $\varphi(0)=0$ である。凸性から $s,t\ge0$、$s+t>0$ について $\varphi(s)\le\frac s{s+t}\varphi(s+t)$ なので、$\varphi(s)+\varphi(t)\le\varphi(s+t)$ である。$s=|(a+b)/2|^2$、$t=|(a-b)/2|^2$ とすると $s+t=(|a|^2+|b|^2)/2$（$\mathbb K$ での平行四辺形の等式）だから、左辺は $\varphi\bigl((|a|^2+|b|^2)/2\bigr)$ 以下であり、$\varphi$ の凸性からこれは $(\varphi(|a|^2)+\varphi(|b|^2))/2=(|a|^p+|b|^p)/2$ 以下である。
積分：$f,g\in L^p$ に $a=f(\omega)$、$b=g(\omega)$ を代入して積分すると、Clarkson の不等式
$$ \Bigl\|\frac{f+g}2\Bigr\|_p^p+\Bigl\|\frac{f-g}2\Bigr\|_p^p\le\frac{\|f\|_p^p+\|g\|_p^p}2 $$
を得る。$\|f\|_p,\|g\|_p\le1$、$\|f-g\|_p>\varepsilon$ なら $\|(f+g)/2\|_p^p<1-(\varepsilon/2)^p$ であり、$\delta=1-\bigl(1-(\varepsilon/2)^p\bigr)^{1/p}$ とすればよい。$\square$

一様凸でないとすると、prop-uc-sequence の十分性の証明のように、$\|x_n\|,\|y_n\|\le1$、$\|x_n-y_n\|>\varepsilon$、$\|(x_n+y_n)/2\|\to1$ となる点列がある。有限次元では閉単位球はコンパクトなので（ノルム空間 の記事の定理「閉単位球のコンパクト性と次元」）、部分列をとって $x_n\to x$、$y_n\to y$ としてよい。すると $\|x-y\|\ge\varepsilon$、$\|(x+y)/2\|=1$ であり、$1=\|(x+y)/2\|\le(\|x\|+\|y\|)/2\le1$ から $\|x\|=\|y\|=1$ である。$x\ne y$ なので狭義凸に反する。$\square$

$\xi\in X^{**}$、$\|\xi\|=1$ をとり、$\xi\in J(B_X)$ を示せば十分である（一般の $\xi\ne0$ は $\xi/\|\xi\|$ に当てはめる）。$J(B_X)$ はノルムで閉じているので、任意の $\varepsilon>0$ について $\|\xi-J(x)\|\le\varepsilon$ となる $x\in B_X$ を見つければよい。
$\varepsilon>0$ に対し一様凸性の $\delta>0$ をとる。$\|\xi\|=1$ なので $|\xi(f_0)|>1-\delta/2$ となる $\|f_0\|\le1$ の $f_0\in X^*$ があり、$|\lambda|=1$ のスカラーを掛けて $f=\lambda f_0$ を $\xi(f)$ が正の実数になるように選ぶ。$\xi$ の弱スター近傍
$$ V=\{\eta\in X^{**}:|\eta(f)-\xi(f)|< \delta/2\} $$
をとると、Goldstine の定理により $J(x)\in V$ となる $x\in B_X$ がある。
$\|\xi-J(x)\|>\varepsilon$ と仮定して矛盾を導く。双対ノルムは弱スター位相で下半連続なので（弱スター位相 の記事の命題「双対ノルムの下半連続性」をノルム空間 $X^*$ に使う）、$W=\{\eta:\|\eta-J(x)\|>\varepsilon\}$ は弱スター開集合で $\xi$ を含む。$V\cap W$ は $\xi$ の弱スター近傍なので、再び Goldstine の定理により $J(y)\in V\cap W$ となる $y\in B_X$ がある。$J(x),J(y)\in V$ から $\operatorname{Re}f(x)$、$\operatorname{Re}f(y)$ はともに $\xi(f)-\delta/2>1-\delta$ より大きく、
$$ \|x+y\|\ge\operatorname{Re}f(x+y)>2-2\delta $$
である（$\|f\|\le1$）。よって $\|(x+y)/2\|>1-\delta$ であり、一様凸性の対偶から $\|x-y\|\le\varepsilon$ となる。一方 $J(y)\in W$ と $J$ の等長性から $\|y-x\|>\varepsilon$ であり、矛盾する。$\square$

ex-uc-hilbert と prop-uc-lp に thm-uc-milman-pettis を用いる。$\square$

$x=0$ なら $\|x_n\|\to0$ である。$x\ne0$ とする。ノルムは弱位相で下半連続なので（弱位相(関数解析) の記事の命題「弱収束列の基本性質」の 2）$\|x\|\le\liminf\|x_n\|$ であり、$\|x_n\|\to\|x\|$ となる。$\lambda_n=\max(\|x_n\|,\|x\|)$、$y_n=x_n/\lambda_n$、$y=x/\|x\|$ とおくと $\lambda_n\to\|x\|$、$\|y_n\|\le1$、$\|y\|=1$ で、$y_n\rightharpoonup y$ である。$(y_n+y)/2\rightharpoonup y$ に下半連続性を使うと
$$ 1=\|y\|\le\liminf_n\Bigl\|\frac{y_n+y}2\Bigr\|\le\limsup_n\Bigl\|\frac{y_n+y}2\Bigr\|\le1 $$
なので $\|(y_n+y)/2\|\to1$ であり、prop-uc-sequence から $\|y_n-y\|\to0$ である。よって $x_n=\lambda_ny_n\to\|x\|y=x$ となる。$\square$

存在：$X$ は thm-uc-milman-pettis により反射的なので、反射的Banach空間 の記事の系「最近点の存在」による。一意性：$d=\inf_C\|x_0-c\|$ とし、$c_1\ne c_2$ がともに距離 $d$ を実現するとする。$d=0$ なら $c_1=x_0=c_2$ となるので $d>0$ である。$u_i=(x_0-c_i)/d$ は異なる単位ベクトルで、狭義凸性から $\|(u_1+u_2)/2\|<1$ である。$(c_1+c_2)/2\in C$ なのに $\|x_0-(c_1+c_2)/2\|=d\|(u_1+u_2)/2\|< d$ となり、$d$ の定義に反する。$\square$