小林擬距離と小林双曲性

1：$p\ne q$ とし、$v:=(\varphi(q)-\varphi(p))/\lvert\varphi(q)-\varphi(p)\rvert$、$f(z):=\varphi^{-1}(\varphi(p)+rzv)$ とおく。$\lvert z\rvert<1$ なら $\lvert\varphi(p)+rzv-c\rvert< r/2+r<2r$ なので $f\colon\mathbb{D}\to X$ は正則である。$s:=\lvert\varphi(q)-\varphi(p)\rvert/r< 1$ について $f(0)=p$、$f(s)=q$ なので、1 つの円板の鎖により $k_X(p,q)\le d_{\mathbb{D}}(0,s)=\operatorname{artanh}s$ である。$p=q$ なら定数写像を使う。
2：$p\in X$ を固定し、$p$ から鎖でつながる点の全体を $A$ とする。各点 $x$ には、1 の形の座標の球の中心を $\varphi(x)$ とし、$\lvert\varphi(y)-\varphi(x)\rvert< r/2$ となる点 $y$ の全体である近傍 $W_x$ があり、$W_x$ の 2 点は 1 つの円板でつながる。鎖はつなげられるので、$x\in A$ なら $W_x\subset A$ であり、$W_x$ が $A$ と交われば $x\in A$ である。よって $A$ は開かつ閉で空でなく、$X$ は連結なので $A=X$ である。$\square$

1：定数写像の鎖で $k_X(p,p)=0$ である。鎖の順序を逆にして $a_j$ と $b_j$ を入れ替えると $q$ から $p$ への鎖になり、$d_{\mathbb{D}}$ は対称なので長さは変わらない。$p$ から $q$ への鎖と $q$ から $r$ への鎖をつなぐと $p$ から $r$ への鎖で、長さは和になるので三角不等式が成り立つ。
2：$h,a,b$ は 1 つの円板の鎖なので $k_X$ はこの性質をもつ。$\delta$ がこの性質をもつ擬距離なら、鎖 $\gamma$ の点 $p_0:=p$、$p_j:=f_j(b_j)$ について、三角不等式から
$$ \delta(p,q)\le\sum_{j=1}^m\delta(f_j(a_j),f_j(b_j))\le\sum_{j=1}^md_{\mathbb{D}}(a_j,b_j)=\ell(\gamma) $$
であり、下限をとって $\delta\le k_X$ である。
3：$\delta(p,q):=k_Y(F(p),F(q))$ は $X$ の擬距離である。正則写像 $h\colon\mathbb{D}\to X$ について $F\circ h\colon\mathbb{D}\to Y$ は正則なので、2 を $Y$ に使って $\delta(h(a),h(b))\le d_{\mathbb{D}}(a,b)$ である。2 により $\delta\le k_X$ である。双正則写像なら逆写像にも使う。
4：恒等写像 $\mathbb{D}\to\mathbb{D}$ の鎖で $k_{\mathbb{D}}\le d_{\mathbb{D}}$ である。逆に $d_{\mathbb{D}}$ は距離で、双曲計量 の定理「Schwarz–Pickの補題」により正則写像 $h\colon\mathbb{D}\to\mathbb{D}$ は $d_{\mathbb{D}}(h(a),h(b))\le d_{\mathbb{D}}(a,b)$ をみたすので、2 により $d_{\mathbb{D}}\le k_{\mathbb{D}}$ である。
5：三角不等式から $\lvert k_X(p,q)-k_X(p',q')\rvert\le k_X(p,p')+k_X(q,q')$ であり、lem-kob-local の 1 により $p'\to p$ のとき $k_X(p,p')\to0$ である。$\square$

1：$p,q\in\mathbb{C}$、$R>1$ について $h(z):=p+R(q-p)z$ は $h(0)=p$、$h(1/R)=q$ をみたすので $k_{\mathbb{C}}(p,q)\le d_{\mathbb{D}}(0,1/R)=\operatorname{artanh}(1/R)$ であり、$R\to\infty$ として $0$ である。後半は thm-kob-basic の 3 による。$\mathbb{C}^n$ の 2 点は直線 $z\mapsto p+z(q-p)$ の像に、$\mathbb{P}^n$ の 2 点は射影直線 $L$ に含まれ、$L$ から 2 点と異なる 1 点を除いたものは $\mathbb{C}$ と双正則なので、どちらも $\mathbb{C}$ からの正則写像の像の 2 点である。$\exp\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}^\times$ と $\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}^n/\Lambda$ は全射な正則写像なので、$\mathbb{C}$ と $\mathbb{C}^n$ の値 $0$ が写る。
2：領域 $\Omega$ が $\{\lvert z\rvert< R\}$ に含まれるとし、$p\ne q$ を $\Omega$ の 2 点とする。$p_j\ne q_j$ となる座標 $j$ をとると、$h(z):=z_j/R$ は正則写像 $\Omega\to\mathbb{D}$ なので、thm-kob-basic の 3・4 により $k_\Omega(p,q)\ge d_{\mathbb{D}}(p_j/R,q_j/R)>0$ である。
3：射影 $X\times Y\to X$、$X\times Y\to Y$ に thm-kob-basic の 3 を使う。$\square$

$\le$：thm-kob-basic の 3 による。$\ge$：$p$ から $q$ への鎖 $(f_j,a_j,b_j)$ をとる。$\mathbb{D}$ は単連結で局所弧状連結なので、被覆変換群 の補題「持ち上げの判定法」により $f_1$ は $\tilde f_1(a_1)=\tilde p$ となる連続な持ち上げ $\tilde f_1$（$\pi\circ\tilde f_1=f_1$）をもち、シートの上で $\tilde f_1=(\pi|_V)^{-1}\circ f_1$ なので正則である。$\pi(\tilde f_1(b_1))=f_1(b_1)=f_2(a_2)$ なので、同様に $\tilde f_2(a_2)=\tilde f_1(b_1)$ となる持ち上げ $\tilde f_2$ があり、これを続けると $\tilde X$ の鎖 $(\tilde f_j,a_j,b_j)$ が得られる。その終点 $\tilde q:=\tilde f_m(b_m)$ は $\pi^{-1}(q)$ に入り、長さはもとの鎖と同じなので、右辺は $\ell(\gamma)$ 以下である。下限をとって主張を得る。$\square$

1：thm-kob-covering と thm-kob-basic の 4 により $k_X(p,q)=\inf_{\tilde q}d_{\mathbb{D}}(\tilde p,\tilde q)$ である。$R:=k_X(p,q)+1$ とおく。円板自己同型 $T$ で $T(\tilde p)=0$ となるものをとると、距離公式から $B:=\{w\mid d_{\mathbb{D}}(\tilde p,w)\le R\}=T^{-1}(\{\lvert w\rvert\le\tanh R\})$ はコンパクトである。被覆写像のファイバー $\pi^{-1}(q)$ は離散的な閉集合なので、$B$ に入るその点は有限個で、下限が $R$ より小さいことから 1 つ以上ある。下限はそれらの点での値の最小値として達成される。$p\ne q$ なら $\tilde p\notin\pi^{-1}(q)$ なので値は正である。
2：一意化定理 の定理「Riemann 面の分類」により普遍被覆は $\hat{\mathbb{C}}$ か $\mathbb{C}$ で、prop-kob-examples の 1 によりその小林擬距離は $0$ である。普遍被覆の写像は全射な正則写像なので、thm-kob-basic の 3 により $k_X=0$ である。$\square$

prop-kob-examples の 1 により $k_X(F(a),F(b))=0$ で、$X$ は双曲的なので $F(a)=F(b)$ である。$\square$

$g:=(f-a)/(b-a)$ は正則写像 $\mathbb{C}\to\mathbb{C}\setminus\{0,1\}$ で、$\mathbb{C}\setminus\{0,1\}$ は cor-kob-riemann-surface の後の注意により双曲的なので、prop-kob-entire により $g$ は定数である。$\square$