Bézoutの定理

要点：3 つのアフィン開集合 $\{Z\ne0\}$、$\{Y\ne0\}$、$\{X\ne0\}$ のそれぞれで、非斉次化した多項式が共通因子をもたないことを確かめる。

$J\in k[X,Y,Z]$ に対し $J_0:=J(X,Y,0)$ と書く。$F_0,G_0$ は $X,Y$ の形式で、共通因子をもたない。実際、共通因子があれば、2 変数の形式は $k$ 上 1 次式の積に分解するので、共通の 1 次因子 $\alpha X+\beta Y$ があり、点 $[\beta:-\alpha:0]$ は直線 $Z$ の上の $F\cap G$ の点になる。
$ZH=AF+BG$ とする。$Z=0$ を代入して $A_0F_0=-B_0G_0$ である。$F_0,G_0$ は共通因子をもたないので $G_0\mid A_0$ であり、$A_0=CG_0$、$B_0=-CF_0$ となる $C\in k[X,Y]$ がある。$A_1:=A-CG$、$B_1:=B+CF$ は $Z=0$ で $0$ になるので $A_1=ZA'$、$B_1=ZB'$ と書ける。$ZH=A_1F+B_1G=Z(A'F+B'G)$ を $Z$ で割って $H=A'F+B'G\in(F,G)$ を得る。$\square$

段 0（座標の取り方）。 lem-bez-finite により $F\cap G$ は有限である。$k$ は代数閉なので無限体であり、有限個の点のどれも通らない直線がある。射影変換でそれを $Z=0$ に移す。交点数は射影変換で変わらないので、以後、直線 $Z$ の上に $F\cap G$ の点はないとしてよい。このとき $F$ は $Z$ で割り切れない。割り切れるなら、$G_0=G(X,Y,0)$ は $0$ でない（$G$ も割り切れれば $Z$ が共通成分）$n$ 次の形式で、$k$ が代数閉なので $Z=0$ の上に零点をもち、それは $F\cap G$ の点になるからである。同じく $G$ も割り切れない。$f:=F(x,y,1)$、$g:=G(x,y,1)$ とおくと $F=f^*$、$G=g^*$、$\deg f=m$、$\deg g=n$ であり、prf-bez-finite と同じ理由で $f,g$ は共通因子をもたない。すべての交点が $\{Z\ne0\}$ にあるので、交点数（平面曲線） の補題「大域の商は局所の商の直積」により
$$ \sum_{P\in F\cap G}I(P,F\cap G)=\sum_{Q\in\mathbb{A}^2}I(Q,f\cap g)=\dim_kk[x,y]/(f,g) $$
である。$A:=k[x,y]/(f,g)$ とおき、$\dim_kA=mn$ を示せばよい。
段 1（$d\ge m+n$ で $\dim\Gamma_d=mn$）。 $R:=k[X,Y,Z]$、$R_d$ を $d$ 次の形式全体（$d< 0$ なら $0$）、$\Gamma_d$ をその $\Gamma$ での像とする。$\dim R_d=(d+1)(d+2)/2$ である。列
$$ 0\longrightarrow R_{d-m-n}\xrightarrow{\ C\mapsto(GC,\,-FC)\ }R_{d-m}\times R_{d-n}\xrightarrow{\ (A,B)\mapsto AF+BG\ }R_d\longrightarrow\Gamma_d\longrightarrow0 $$
は完全である。最初の写像の単射性と最後の写像の全射性は明らかで、真ん中は、$AF+BG=0$ なら $F\mid BG$ で、$F,G$ は共通因子をもたないので $B=CF$、$A=-CG$ となることからわかる。次元の交代和は $0$ なので、$q(d):=(d+1)(d+2)/2$ とおいて
$$ \dim\Gamma_d=q(d)-q(d-m)-q(d-n)+q(d-m-n)\qquad(d\ge m+n) $$
である。$q(d)-q(d-m)=m(2d-m+3)/2$ を $d$ と $d-n$ で評価して差をとると、$\dim\Gamma_d=m\cdot2n/2=mn$ を得る。
段 2（$\Gamma_d\cong A$）。 $d\ge m+n$ を固定し、$\varphi\colon\Gamma_d\to A$ を $H\mapsto H(x,y,1)$ の像で定める（$F,G$ は $f,g$ に移るので定まる）。
単射であること：$H\in R_d$ で $H(x,y,1)=af+bg$（$a,b\in k[x,y]$）とする。$N\ge\max(d,\ \deg a+m,\ \deg b+n)$ をとると、$Z^{N-d}H$ と $Z^{N-\deg a-m}a^*F+Z^{N-\deg b-n}b^*G$ はどちらも次数 $N$ の形式で、$Z=1$ を代入するとどちらも $af+bg$ になる。次数 $N$ の形式は $Z=1$ を代入したもので決まるので両者は等しく、$Z^{N-d}H\in(F,G)$ である。lem-bez-z-injective を $N-d$ 回使って $H\in(F,G)$ を得る。
全射であること：$h\in k[x,y]$、$e:=\deg h$、$d':=\max(d,e)$ とし、$H':=Z^{d'-e}h^*\in R_{d'}$ とおくと $H'(x,y,1)=h$ である。lem-bez-z-injective により $Z^{d'-d}$ 倍 $\Gamma_d\to\Gamma_{d'}$ は単射で、段 1 により両辺とも $mn$ 次元なので全単射である。よって $Z^{d'-d}H\equiv H'\pmod{(F,G)}$ となる $H\in R_d$ があり、$Z=1$ を代入して $H(x,y,1)\equiv h\pmod{(f,g)}$ となる。
段 1 と段 2 により $\dim_kA=\dim\Gamma_d=mn$ であり、段 0 の等式から定理が従う。$\square$

1：各交点で $I(P,F\cap G)\ge m_P(F)m_P(G)$ であり、交点以外では右辺が $0$ なので、和をとって thm-bez-main を使う。2：共通成分がなければ交点数は交点ごとに $1$ 以上なので、共有点の個数は $\sum_PI(P,F\cap G)=mn$ 以下である。3：$mn$ 個の交点の交点数はどれも $1$ 以上で和が $mn$ なので、すべて $1$ である（$mn$ 個の交点があるので共通成分はない。共通成分があれば共有点は無限個）。交点数が $1$ なら $m_P(F)m_P(G)\le1$ で両方の単純点であり、性質 (v) の等号の条件から接線は異なる。$\square$

$F=GH$（$G,H$ は次数 $1$ 以上の形式）と分解したとする。$G$ と $H$ が共通成分をもてば、その成分の点は $G\cap H$ に属する（代数閉体上の曲線は点をもつ）。共通成分がなければ、thm-bez-main により $G\cap H$ の交点数の和は $\deg G\cdot\deg H\ge1$ なので、やはり $G\cap H$ は空でない。$P\in G\cap H$ をとると、重複度は積について足し算になるので $m_P(F)=m_P(G)+m_P(H)\ge2$ であり、$P$ は $F$ の多重点になる。$\square$

存在：2 次の形式は 6 個の係数 $aX^2+bXY+cXZ+dY^2+eYZ+fZ^2$ で決まり、点を通るという条件は係数についての 1 次の条件なので、5 つの条件をみたす $0$ でない係数の組がある。
一意性：相異なる 2 次曲線 $Q,Q'$ が 5 点を通るとする。共通成分がなければ cor-bez-bounds の 2 により共有点は $4$ 個以下で、矛盾する。よって共通成分があり、$Q\ne Q'$ なのでそれは直線 $M$ で、$Q=MN$、$Q'=MN'$（$N,N'$ は相異なる直線）と書ける。5 点のうち $M$ の上にない点は $N\cap N'$ に属し、それは 1 点以下である。すると $M$ の上に 4 点以上があり、仮定に反する。
既約性：2 直線の積なら、5 点のうち 3 点以上が一方の直線の上にある。$\square$