Adamsの表現可能性定理

1．$\mathcal{SH}(\mathbb S^k,\mathbb S^m)\cong\pi_k(\mathbb S^m)\cong\pi_{k-m}(\mathbb S)$（安定ホモトピー圏 の定理「懸垂とループは逆同値」の 1）であり、$\pi_j(\mathbb S)$ は安定幹 $\pi_j^{\mathrm S}$ に等しい（安定ホモトピー群 の注意「懸垂スペクトルとの関係」）。これは $j< 0$ で $0$、$j=0$ で $\mathbb Z$（同記事の系「負の次数と 0 次」）、$j\ge1$ で有限群（同記事の命題「安定幹の有限性」）なので可算である。すべての $n,m$ について $\mathcal{SH}(\bar\Sigma^nA,\mathbb S^m)$ が可算であるような対象 $A$ のクラスは、球面を含み、同型で閉じている。完全三角形 $X\to Y\to Z\to\bar\Sigma X$ について、三角圏 の命題「反変な $\operatorname{Hom}$ の完全性」を回転した三角形に当てた完全列 $\mathcal{SH}(\bar\Sigma^nZ,W)\to\mathcal{SH}(\bar\Sigma^nY,W)\to\mathcal{SH}(\bar\Sigma^nX,W)$ と $\mathcal{SH}(\bar\Sigma^{n+1}X,W)\to\mathcal{SH}(\bar\Sigma^nZ,W)\to\mathcal{SH}(\bar\Sigma^nY,W)$（$W=\mathbb S^m$）において、両端が可算なら中央も可算である（中央の群は、左の像という可算群による、右の可算群の部分群への拡大である）。$X$ や $Y$ が残りの 2 つから決まる場合も、三角形を回転して同じ議論をする。よってこのクラスは $\mathcal F$ を含む。次に $B$ を動かし、すべての $A\in\mathcal F$ と $n$ について $\mathcal{SH}(A,\bar\Sigma^nB)$ が可算であるクラスに、三角圏 の命題「$\operatorname{Hom}$ のコホモロジー的関手性」で同じ議論をすると、これも $\mathcal F$ を含む。

2．TR1 (c) により、射 $f\colon X\to Y$ ごとに完全三角形 $X\to Y\to C(f)\to\bar\Sigma X$ を 1 つ選ぶ。$\mathcal G_0:=\{\mathbb S^m\mid m\in\mathbb Z\}$、$\mathcal G_{k+1}:=\mathcal G_k\cup\{\bar\Sigma X,\bar\Omega X\mid X\in\mathcal G_k\}\cup\{C(f)\mid f\colon X\to Y,\ X,Y\in\mathcal G_k\}$ とおくと、1 により各 $\mathcal G_k$ は可算集合で、Spanier–Whitehead双対 の補題「有限スペクトルの性質」の 1 と定義の (c) により $\mathcal G_k\subset\mathcal F$ である。$\mathcal G:=\bigcup_k\mathcal G_k$ の元と同型な対象のクラス $\mathcal I$ が定義「有限スペクトル」の (a)〜(c) を満たすことを示す。(a)(b) は明らかである。完全三角形 $X\xrightarrow{u}Y\to Z\to\bar\Sigma X$ で $X\cong X'$、$Y\cong Y'$（$X',Y'\in\mathcal G_k$）なら、$u$ を移した射 $f\colon X'\to Y'$ について、三角形の同型（TR1 (a)）と 三角圏 の系「第 3 頂点は同型を除いて一意である」により $Z\cong C(f)\in\mathcal G_{k+1}$ である。$Y,Z\in\mathcal I$ なら、回転した三角形 $Y\to Z\to\bar\Sigma X\to\bar\Sigma Y$ から $\bar\Sigma X\in\mathcal I$、よって $X\cong\bar\Omega\bar\Sigma X\in\mathcal I$ である。$X,Z\in\mathcal I$ なら、回転した三角形 $Z\to\bar\Sigma X\to\bar\Sigma Y\to\bar\Sigma Z$ から $\bar\Sigma Y\in\mathcal I$、よって $Y\in\mathcal I$ である。最小性から $\mathcal F\subset\mathcal I$ であり、同型類は可算集合 $\mathcal G$ の元で尽くされる。

3．$A=\mathbb S^k$ では スペクトルが表すホモロジー論とコホモロジー論 の補題「余積」による。すべての $n$ について $\bar\Sigma^nA$ で同型になる $A$ のクラスは同型で閉じ、完全三角形については、1 と同じ回転した完全列（直和は完全列を保つ）と 五項補題 の定理「五項補題」により「3 つのうち 2 つ」で閉じる。よって $\mathcal F$ を含む。$\square$

1．別の同型 $e'\colon A_0\to A$ をとると（骨格なので始域は同じ $A_0$）、$g:=e^{-1}e'$ は $A_0$ の自己同型で、自然性から $x_{A_0}(ae')=x_{A_0}(aeg)=G(g)x_{A_0}(ae)$ である。$G$ は反変なので $G(e'^{-1})G(g)=G(ge'^{-1})=G(e^{-1})$ となり、2 つの定義は一致する。$b\colon B\to A$ について、同型 $e_B\colon B_0\to B$ をとると $e^{-1}be_B\colon B_0\to A_0$ は $\mathcal F_0$ の射なので、自然性から $x_{B_0}(abe_B)=G(e^{-1}be_B)x_{A_0}(ae)$ であり、両辺に $G(e_B^{-1})$ を施すと $\langle x,ab\rangle=G(b)\langle x,a\rangle$ を得る。2 つ目の式は $(f^*x)_{A_0}=x_{A_0}\circ(f\circ-)$ から、加法性は $x_{A_0}$ が準同型であることから従う。$A\in\mathcal F_0$ なら $e=\mathrm{id}$ ととれて $\langle x,a\rangle=x_A(a)$ なので、最後の主張も従う。

2．$b\mapsto G(b)\xi$ は $\mathcal F_0$ の上の自然変換で、$\langle-,\mathrm{id}_Y\rangle$ で $\xi$ に戻る。逆に 1 から $\langle x,b\rangle=G(b)\langle x,\mathrm{id}_Y\rangle$ なので、$x$ は $\langle x,\mathrm{id}_Y\rangle$ から作った自然変換に等しい。

3．lem-adr-countable の 3 により $h_{\coprod X_i}$ は $\mathcal F_0$ の上で $\bigoplus_ih_{X_i}$ に等しく、直和は加法的な関手の圏の余積なので、そこからの自然変換は各成分からの自然変換の族と一対一に対応する。$\square$

準備．作用と可換な写像の像は推移的な $H$ 集合の中で $H$ で閉じているので、各 $T(u)$ は全射である。$u\colon i\to j$ があれば、$h\in K_j$、$t\in T(j)$ について $hT(u)(t)=T(u)(ht)=T(u)(t)$ なので $K_j\subset K_i$ である。平行な $u,u'\colon i\to j$ には $wu=wu'$ となる $w\colon j\to k$ があり、$T(u)T(w)=T(u')T(w)$ と $T(w)$ の全射性から $T(u)=T(u')$ である。

包含からの写像．$K_j\subset K_i$ とし、$i\to k$、$j\to k$ となる $k$ をとる。$t\in T(j)$ を $T(k)$ の元 $x$ に持ち上げ、$\bar p_{ij}(t)$ を $x$ の $T(i)$ での像とする。別の持ち上げは $hx$（$h\in K_j\subset K_i$）なので像は変わらない。別の $k'$ をとっても、$k,k'\to l$ となる $l$ で $t$ を一度持ち上げれば、準備の平行な射の主張から両方の定義はその元の $T(i)$ での像になる。$\bar p_{ij}$ は作用と可換で、射 $u\colon i\to j$ があれば $k=j$ ととって $\bar p_{ij}=T(u)$ である。$K_h\subset K_j\subset K_i$ なら、$i,j,h$ の共通の行き先で $T(h)$ の元を一度持ち上げて比べると $\bar p_{ij}\bar p_{jh}=\bar p_{ih}$ である。

列と持ち上げ．現れる部分群を $K^0,K^1,\dots$ と並べ（有限個なら最後のものを繰り返す）、$K_{i_n}=K^n$ となる $i_n$ を選ぶ。$j_0:=i_0$ とし、$j_n\to j_{n+1}$、$i_{n+1}\to j_{n+1}$ となる $j_{n+1}$ を順に選ぶと、$m\le n$ で $K_{j_n}\subset K_{i_m}$ である。$x_0\in T(j_0)$ を選び、全射 $T(j_n\to j_{n+1})$ により $x_n$ を $x_{n+1}$ へ順に持ち上げる。$i\in I$ について $K_i=K^m$ となる $m$ をとり、$n\ge m$ で $t_i:=\bar p_{ij_n}(x_n)$ とおく。$\bar p_{ij_n}(x_n)=\bar p_{ij_n}\bar p_{j_nj_{n+1}}(x_{n+1})=\bar p_{ij_{n+1}}(x_{n+1})$ なので $t_i$ は $n$ によらない。射 $u\colon i\to i'$ について、$n$ を大きくとれば $T(u)(t_{i'})=\bar p_{ii'}\bar p_{i'j_n}(x_n)=\bar p_{ij_n}(x_n)=t_i$ であり、$(t_i)$ は $\lim_IT$ の元である。$\square$

設定．$W\in\mathcal F_0$ と $c\colon W\to C$ の組 $(W,c)$ を対象とし、$c'=cf$ となる $f\colon W'\to W$ を射 $(W',c')\to(W,c)$ とする圏を $I$ とする。lem-adr-filtered を $K=h_C$ に当てると $I$ は有向で、$\mathcal F_0$ は可算なので小さい。$\widehat G(C)$ の元は、$G(f)z_{(W,c)}=z_{(W',c')}$ を満たす族 $(z_{(W,c)}\in G(W))$ と同じものである（このような族は $c$ について加法的である。$c_1+c_2=(c_1,c_2)\circ(\iota_1+\iota_2)$ と $G$ の加法性による）。$vp=cj$ となるすべての $P\in\mathcal F$、$j\colon P\to W$、$p\colon P\to B$ について $G(j)t=\langle y,p\rangle$ となる $t\in G(W)$ の集合を $T(W,c)$ とする。$f\colon(W',c')\to(W,c)$ と $(P,j,p)$（$vp=c'j$）について $(P,fj,p)$ は $(W,c)$ の条件を満たすので、$G(f)$ は $T(W,c)\to T(W',c')$ を与え、$T\colon I^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$ は関手である。

$T(W,c)$ は剰余類である．$\bar\Sigma$ で移して同型 $\bar\Sigma\bar\Omega W\cong W$ と合わせると $-wc$ になる射 $\bar\Omega W\to A$ を TR1 (c) で延ばし、TR2 で回転して TR1 (a) で $\bar\Sigma\bar\Omega W$ を $W$ に取り替えると、完全三角形 $A\xrightarrow{i}P_0\xrightarrow{j_0}W\xrightarrow{wc}\bar\Sigma A$ が得られる。2 回回転した三角形 $W\xrightarrow{wc}\bar\Sigma A\xrightarrow{-\bar\Sigma i}\bar\Sigma P_0\xrightarrow{-\bar\Sigma j_0}\bar\Sigma W$ と $C\xrightarrow{w}\bar\Sigma A\xrightarrow{-\bar\Sigma d}\bar\Sigma B\xrightarrow{-\bar\Sigma v}\bar\Sigma C$ に射 $c$ と $\mathrm{id}_{\bar\Sigma A}$ で TR3 を当て（得られる第 3 頂点の射を $\bar\Sigma p_0$ と書くと、符号は両辺で打ち消し合う）、$\bar\Sigma$ が充満忠実であることを使うと、$p_0i=d$、$vp_0=cj_0$ となる $p_0\colon P_0\to B$ がある。$T(W,c)$ が $T_0:=\{t\mid G(j_0)t=\langle y,p_0\rangle\}$ に等しいことを示す。$\subset$ は定義から従う。$t\in T_0$ と $(P,j,p)$ をとる。$wcj=wvp=0$ なので、$j=j_0s$ となる $s\colon P\to P_0$ がある（三角圏 の命題「$\operatorname{Hom}$ のコホモロジー的関手性」）。$v(p_0s-p)=cj_0s-cj=0$ なので $p_0s-p=dr$ となる $r\colon P\to A$ があり、lem-adr-pairing の 1 により $G(j)t=G(s)\langle y,p_0\rangle=\langle y,p_0s\rangle=\langle y,p\rangle+G(r)\langle y,d\rangle=\langle y,p\rangle$ である。$G(i)\langle y,p_0\rangle=\langle y,d\rangle=0$ と完全列 $G(W)\to G(P_0)\to G(A)$ から $T_0\neq\emptyset$ であり、完全列 $G(\bar\Sigma A)\xrightarrow{G(wc)}G(W)\xrightarrow{G(j_0)}G(P_0)$ から $T_0$ は $\ker G(j_0)=\operatorname{im}G(wc)$ の剰余類である。

逆系の極限．$H:=G(\bar\Sigma A)$ は $h\cdot t:=t+G(wc)h$ により $T(W,c)$ に推移的に作用し、$G(f)(t+G(wc)h)=G(f)t+G(wcf)h$ なので $T$ の射と可換である。固定部分群は $\ker G(wc)$ で、$W\in\mathcal F_0$ と $wc\in\mathcal{SH}(W,\bar\Sigma A)$ だけで決まるので、lem-adr-countable の 1・2 により可算個しかない。lem-adr-torsor により族 $z=(z_{(W,c)})\in\lim_IT$ があり、これは $\widehat G(C)$ の元である。$W\in\mathcal F_0$、$b\colon W\to B$ について $(P,j,p)=(W,\mathrm{id},b)$ をとると $z_{(W,vb)}=\langle y,b\rangle$ なので、$v^*z=y$ である。$\square$

自由スペクトルからの写像 $F_aK\to Y$ は基点付き写像 $K\to Y_a$ と一対一に対応し、$F_aK\wedge I_+=F_a(K\wedge I_+)$ なのでホモトピーも対応する（安定ホモトピー圏 の命題「球面スペクトルによる表現」の証明）。$\eta\colon B\to RB$ は安定弱同値で $RB$ は Ω スペクトルなので（同記事の補題「Ω スペクトル化」）、同記事の定理「安定ホモトピー圏の構成」の 2 により、$\gamma(\eta)\varphi=\gamma(f)$ となる写像 $f\colon F_NL\to RB$ がある。$(RB)_N$ は $Y_k=\Omega^kB_{N+k}$（$k\ge1$）の写像望遠鏡で、コンパクトな $f_N(L)$ はある $m$ について $t\le m$ の部分 $\operatorname{Tel}_{\le m}$ に入り、$t$ を $m$ まで押す基点付きの変形で $f_N$ は $Y_m$（$t=m$ の点）に値をとる写像 $f'_N$ にホモトピックになる（同補題の証明の (a)(b)）。$f'_N$ に対応する写像を $f'\colon F_NL\to RB$ とすると $f'\simeq f$ である。$\psi:=f'_N\colon L\to\Omega^mB_{N+m}$ について $g_0(y\wedge t_1\wedge\cdots\wedge t_m):=\psi(y)(t_1)\cdots(t_m)$（ループの変数を外側から評価する）とおく。$RB$ の構造写像は $\rho$ の随伴で、$\rho$ は $t\ge2$ の点では添字を 1 つ下げ、$Y_1$ の点では $\tilde\sigma$ を当てるので、$f'_{N+m}(y\wedge t_1\wedge\cdots\wedge t_m)=[\tilde\sigma_{N+m}(\psi(y)(t_1)\cdots(t_m)),1]=\eta_{N+m}g_0(y\wedge t_1\wedge\cdots\wedge t_m)$ である。自由スペクトルからの写像は 1 つの段で決まるので $f'\circ\iota=\eta\circ\hat g_0$ である。胞体近似定理（Hat02 Theorem 4.8、p. 349）で $g_0$ を基点を止めて胞体写像 $g$ にホモトピーで移すと $\hat g\simeq\hat g_0$ であり、$\gamma(\eta)\gamma(\hat g)=\gamma(f')\gamma(\iota)=\gamma(f)\gamma(\iota)=\gamma(\eta)\varphi\gamma(\iota)$ から $\gamma(\hat g)=\varphi\gamma(\iota)$ を得る。$\hat g$ の各段は $g$ の懸垂と胞体を胞体へ写す構造写像の合成なので胞体写像である。$\square$

$C$ の構造写像は、$B_n$ の上では $\sigma^B$、錐の上では $(x\wedge t)\wedge s\mapsto\sigma^K(x\wedge s)\wedge t$ とする。$k_n$ は胞体写像なので、$K_n\wedge I$ の胞体のうち $K_n\wedge\{0\}$ にないもの（$K_n$ の基点以外の胞体 $e'$ について $e'\times(0,1)$）を特性写像と $k_n$ の合成で $B_n$ に貼った $C_n$ は CW 複体で、$B_n$ は部分複体である。$t=0$ では $\sigma^K(x\wedge s)\wedge0$ は $k_{n+1}\sigma^K(x\wedge s)=\sigma^B(k_n(x)\wedge s)$ と同一視されるので、構造写像は矛盾なく定まり連続である。$\sigma^B$ と $\sigma^K$ は部分複体への同相写像で胞体を胞体へ写すので、$C$ の構造写像も同じ性質をもち、$e'\times(0,1)$ は $e'$ が生まれた胞体のときに限って構造写像の像に入らない。同じ式で写像柱 $M_n:=B_n\cup_{k_n}(K_n\wedge[0,1]_+)$（$K_n\wedge\{0\}$ を貼る）のなす CW スペクトル $M$ を作ると、$x\mapsto x\wedge1$ により $K$ は $M$ の部分スペクトルで $M/K=C$ である。スペクトルが表すホモロジー論とコホモロジー論 の定理「安定ホモトピー圏の三角構造とモノイダル構造」の 1 により完全三角形 $\gamma K\to\gamma M\to\gamma C\to\bar\Sigma\gamma K$ がある。柱をつぶす写像 $r\colon M\to B$ は構造写像と両立し、各段で写像柱の変形レトラクト（Hat02 p. 2）を与えるのでホモトピー同値、よって安定弱同値である。$r$ と包含 $B\to M$ の合成は恒等写像なので $\gamma(r)^{-1}$ は包含の像であり、$r\circ(K\to M)=k$、$(B\to M\to C)=j$ である。三角形を同型 $(\mathrm{id},\gamma(r),\mathrm{id})$ で移すと（TR1 (a)）主張を得る。$\square$

1．$n> n_0$ では $K_n$ の胞体はすべて $\sigma(\Sigma K_{n-1})$ に入るので（スペクトルのファイバー列と余ファイバー列 の補題「有限部分スペクトル」の 1）、部分複体への同相写像 $\sigma$ は全射であり、写像は $n\ge n_0$ で同相写像である。ホモトピー群は段 $n_0$ 以上の帰納極限で計算できるので、$\pi_*$ の同型を誘導する。

2．このクラスを $\mathcal V$ とする。(a)：$a\ge\max(0,-m)$ について $F_aS^{a+m}$ と $\mathbb S^m$ はどちらも $\pi_m$ を表すので（安定ホモトピー圏 の命題「球面スペクトルによる表現」と スペクトルが表すホモロジー論とコホモロジー論 の補題「球面スペクトルによるホモトピー群」）、米田の補題 の系「表現対象の一意性」により同型である。(b) は明らかである。懸垂：$\Sigma F_NL$ は段 $N$ より後に生まれた胞体がなく、第 $N$ 段は $\Sigma L$ なので、1 により $\bar\Sigma\gamma(F_NL)\cong\gamma(F_N\Sigma L)$ である。同様に $\bar\Sigma\gamma(F_{N+1}L)\cong\gamma(F_{N+1}\Sigma L)$ で、$F_{N+1}\Sigma L$ は $F_NL$ と段 $N+1$ 以上で一致するので $\gamma(F_NL)$ と同型である。よって $\bar\Omega\gamma(F_NL)\cong\gamma(F_{N+1}L)$ で、$\mathcal V$ は $\bar\Sigma^{\pm1}$ で閉じる。(c)：$X\cong\gamma(F_NL)$、$Y\cong\gamma(F_{N'}L')$ と射 $u\colon X\to Y$ をとる。lem-adr-realize により $u$ は（同型と $\gamma(\iota)$ を除いて）胞体的な $\hat g\colon F_{N+m}\Sigma^mL\to F_{N'}L'$ で表され、lem-adr-cone の写像錐 $C$ について、三角形の同型と 三角圏 の系「第 3 頂点は同型を除いて一意である」により、$u$ を延ばす完全三角形の第 3 頂点は $\gamma C$ と同型である。$C$ の生まれた胞体は段 $n_0:=\max(N+m,N')$ 以下にしかなく、$C_{n_0}$ は有限 CW 複体なので、1 により $\gamma C\cong\gamma(F_{n_0}C_{n_0})\in\mathcal V$ である。残りの 2 つの場合は、lem-adr-countable の証明の 2 と同じく三角形を回転して $\bar\Sigma^{\pm1}$ で閉じることに帰着する。よって $\mathcal F\subset\mathcal V$ である。$\square$

1．$A=\mathbb S^k$ のとき、両辺は $\operatorname{colim}_\lambda\pi_k(B^\lambda)\to\pi_k(B)$ である。$\pi_k(B)$ の元は、ある $n$（$k+n\ge1$）の写像 $\alpha\colon S^{k+n}\to B_n$ で表される。像はコンパクトなので有限部分複体に入り（Hat02 Proposition A.1、p. 520）、その有限個の胞体はそれぞれある部分複体 $B^\lambda_n$ に含まれるので、有向性から 1 つの $B^\lambda_n$ に入る。よって全射である。$B^\lambda$ の元が $\pi_k(B)$ で $0$ なら、段を上げた代表の零ホモトピーの像もコンパクトで、ある $B^{\lambda'}$（$\lambda'\ge\lambda$）に入るので、$\pi_k(B^{\lambda'})$ で $0$ になり、単射である。すべての $n$ について $\bar\Sigma^nA$ で全単射になる $A$ のクラスは、有向な帰納極限が完全列を保つことと 五項補題 の定理「五項補題」により、lem-adr-countable の証明の 3 と同じく $\mathcal F$ を含む。

2．1 により、$\mathcal F_0$ の上の関手として $h_{\gamma B}$ は $h_{\gamma B^\lambda}$ の帰納極限であり、帰納極限からの自然変換は、各 $h_{\gamma B^\lambda}$ からの自然変換の両立する族と一対一に対応する。$\square$

模型．各 $A\in\mathcal F_0$ について、lem-adr-model の 2 の同型 $e_A\colon\gamma(K_A)\to A$（$K_A=F_{N_A}L_A$）を 1 つ選ぶ。

最初の段．$A\in\mathcal F_0$ と $\xi\in G(A)$ の組を添字とする一点和 $B^0:=B\vee\bigvee_{(A,\xi)}K_A$ は $B$ を部分スペクトルとする CW スペクトルで、$\gamma B^0$ は余積である（スペクトルが表すホモロジー論とコホモロジー論 の補題「余積」）。lem-adr-pairing の 2・3 により、$\gamma B$ への制限が $x$、$(A,\xi)$ の成分への制限が $G(e_A)\xi\in G(\gamma K_A)$ である $x^0\in\widehat G(\gamma B^0)$ がある。

1 回分の殺し．$(B^n,x^n)$ ができたとする。$A\in\mathcal F_0$ と、$\langle x^n,a\rangle=0$ となる $a\colon A\to\gamma B^n$ の組の集合 $S_n$ を整列して $(A_\beta,a_\beta)_{\beta< \mu}$ とする。CW スペクトルの列 $B^n=C^0\subset C^1\subset\cdots\subset C^\beta\subset\cdots$（$\beta\le\mu$、前のものは後のものの部分スペクトル）と、制限について両立する $y^\beta\in\widehat G(\gamma C^\beta)$（$y^0=x^n$）を超限帰納法で作る。$C^\beta$ ができたら、合成 $\varphi\colon\gamma K_{A_\beta}\xrightarrow{e_{A_\beta}}A_\beta\xrightarrow{a_\beta}\gamma B^n\to\gamma C^\beta$ に lem-adr-realize を当てて胞体的な $\hat g$ を得て、$C^{\beta+1}$ をその写像錐とする（lem-adr-cone）。$y^\beta$ の $\gamma B^n$ への制限は $x^n$ で、$a_\beta^*x^n=0$ なので $\gamma(\hat g)^*y^\beta=\gamma(\iota)^*e_{A_\beta}^*a_\beta^*x^n=0$ であり、lem-adr-lift で $y^\beta$ を $y^{\beta+1}$ に延ばせる。極限順序数 $\beta$ では、各段で CW 複体の増大和をとった $C^\beta$ が CW スペクトルで、$y^\beta$ は lem-adr-union の 2 で定まる。$B^{n+1}:=C^\mu$、$x^{n+1}:=y^\mu$ とおく。完全三角形の隣接する射の合成は $0$ なので（三角圏 の命題「完全三角形の隣接する射の合成は零射である」）、$\gamma(\hat g)$ は $\gamma C^{\beta+1}$ への包含と合成して $0$ になる。$\gamma(\iota)$ と $e_{A_\beta}$ は同型なので、$a_\beta$ も $\gamma B^{n+1}$ への包含と合成して $0$ になる。

和と同型．$B':=\bigcup_nB^n$ と、lem-adr-union の 2 で $(x^n)$ から定まる $x'$ をとる。$x'$ の $\gamma B$ への制限は $x$ である。$A\in\mathcal F_0$ について示せば、自然性から一般の $A$ に従う。全射：$\xi\in G(A)$ について、$(A,\xi)$ の成分の包含 $c\colon\gamma K_A\to\gamma B'$ をとると $\langle x',ce_A^{-1}\rangle=G(e_A^{-1})G(e_A)\xi=\xi$ である。単射：$\langle x',a\rangle=0$ とする。lem-adr-union の 1 を列 $(B^n)$ に当てると、$a$ はある $a_n\colon A\to\gamma B^n$ と包含の合成であり、$\langle x^n,a_n\rangle=\langle x',a\rangle=0$ なので $(A,a_n)\in S_n$ である。よって $a_n$ は $\gamma B^{n+1}$ で $0$ になり、$a=0$ である。$\square$

TR1 (c) で $\mathrm{id}-\mathrm{sh}$ を完全三角形 $\coprod\to\coprod\xrightarrow{q'}T\to\bar\Sigma\coprod$ に延ばす。$q\circ(\mathrm{id}-\mathrm{sh})=0$ なので、三角圏 の命題「反変な $\operatorname{Hom}$ の完全性」により $q=\varphi q'$ となる $\varphi\colon T\to\gamma B$ がある。スペクトルが表すホモロジー論とコホモロジー論 の補題「余積」により $\pi_j$ は余積を直和へ写し、$\mathrm{id}-\mathrm{sh}$ は $\bigoplus_k\pi_j(B^k)$ の上で単射である（$0$ に写る元の成分は、添字の小さい方から順に $0$ になる）。ホモトピー群の長完全列 $\bigoplus\pi_j\to\bigoplus\pi_j\to\pi_j(T)\to\bigoplus\pi_{j-1}\to\bigoplus\pi_{j-1}$ の右端の射が単射なので、$\pi_j(T)$ は $\mathrm{id}-\mathrm{sh}$ の余核、すなわち $\operatorname{colim}_k\pi_j(B^k)$ であり、$\pi_j(\varphi)$ はそこから $\pi_j(B)$ への標準の写像になる。lem-adr-union の 1 によりこれは同型なので $\varphi$ は同型で、TR1 (a) により主張の三角形も完全である。$\square$

$t_k$ の性質．$f\colon X\to X'$ は $(A,a)\mapsto(A,fa)$ で $t_k(f)$ を誘導し、$\tau$ は自然である。有向圏の帰納極限は集合として計算できるので、類 $[A,a,\xi]$ が $0$ であることは、射 $g\colon(A,a)\to(A',a')$ で $H_k(g)\xi=0$ となるものがあることと同値である。(1) 完全性：完全三角形 $X\xrightarrow{u}Y\xrightarrow{v}Z\to\bar\Sigma X$ をとる。$t_k(v)t_k(u)[A,a,\xi]=[A,0,\xi]$ は射 $A\to0$ により $0$ である。$t_k(v)[A,a,\xi]=0$ なら、$g\colon(A,va)\to(A',a')$ で $H_k(g)\xi=0$ となるものがある。完全三角形 $P\xrightarrow{p}A\xrightarrow{g}A'\to\bar\Sigma P$（$P\in\mathcal F_0$ にとれる）と (H1) により $\xi=H_k(p)\zeta$ となる $\zeta$ があり、$vap=a'gp=0$ なので $ap=ub$ となる $b\colon P\to X$ がある。射 $p\colon(P,ap)\to(A,a)$ により $[A,a,\xi]=[P,ub,\zeta]=t_k(u)[P,b,\zeta]$ である。(2) 余積：lem-adr-countable の 3 により $a\colon A\to\coprod_iX_i$ は有限個の $\iota_ia_i$ の和で、対角射を通して $[A,a,\xi]=\sum_i[A,\iota_ia_i,\xi]$ となるので、$\bigoplus_it_k(X_i)\to t_k(\coprod_iX_i)$ は全射である。射影 $\coprod_iX_i\to X_{i'}$（$\iota_i$ との合成が $i=i'$ で恒等射、ほかで $0$）を施すと単射も分かる。(3) $X\in\mathcal F$ なら、同型 $e\colon X_0\to X$（$X_0\in\mathcal F_0$）について $(X_0,e)$ は $\mathcal F_0/X$ の終対象なので、$\tau_X$ は同型 $H_k(e)$ である。

すべての対象．すべての $n,k$ で $\tau$ が $\bar\Sigma^nX$ において同型になる対象 $X$ のクラスを $\mathcal C$ とする。(3) と Spanier–Whitehead双対 の補題「有限スペクトルの性質」の 1 により $\mathcal F\subset\mathcal C$ であり、(2) と (H2) により $\mathcal C$ は余積で閉じる。完全三角形を回転した列に (1) と (H1) を当てると、$t_k$ と $H_k$ の 5 項の完全列が $\tau$ で結ばれるので、五項補題 の定理「五項補題」により $\mathcal C$ は「3 つのうち 2 つ」で閉じる。任意の対象は CW スペクトル $B$ の $\gamma B$ と同型である（安定ホモトピー圏 の補題「スペクトルの CW 近似」）。段 $N$ 以下で生まれた胞体 $e$ の $e[n]$ と基点からなる $B^{[N]}$ は、境界が生まれた段の同じか前の胞体に入るので（スペクトルのファイバー列と余ファイバー列 の補題「有限部分スペクトル」の 1）部分スペクトルで、和は $B$ である。lem-adr-telescope により $\gamma B^{[N]}\in\mathcal C$ を示せばよく、lem-adr-model の 1 により $\gamma B^{[N]}\cong\gamma(F_NK)$（$K:=B^{[N]}_N$）である。$K$ の $q$ 骨格を $K^q$（$K^{-1}$ は基点）とすると、$F_NK^q$ は $F_NK$ の部分スペクトルの増大列なので、再び lem-adr-telescope により各 $F_NK^q$ を調べればよい。$F_NK^{-1}$ は一点で、商 $F_NK^q/F_NK^{q-1}=F_N(K^q/K^{q-1})$ は $q$ 胞体ごとの $F_NS^q$ の一点和、その $\gamma$ は有限スペクトルの余積である。スペクトルが表すホモロジー論とコホモロジー論 の定理「安定ホモトピー圏の三角構造とモノイダル構造」の 1 の完全三角形と $q$ の帰納法により $F_NK^q\in\mathcal C$ である。$\square$

余単位 $\varepsilon\colon\bar\Sigma\bar\Omega\to\mathrm{id}$ を使い、各ホモロジー論について自然な同型 $\sigma_{k,X}:=H_{k+1}(\varepsilon_X)\circ s_{k,\bar\Omega X}\colon H_k(\bar\Omega X)\to H_{k+1}(X)$ をとる。$k\ge0$ では $\alpha_{k+1}(X):=\sigma^H_{k,X}\circ\alpha_k(\bar\Omega X)\circ(\sigma^E_{k,X})^{-1}$、$k< 0$ では $\alpha_k(X):=(s_{k,X})^{-1}\circ\alpha_{k+1}(\bar\Sigma X)\circ s^E_{k,X}$ と帰納的に定める。後者は求める関係式そのものである。前者については、単位 $\eta_X\colon X\to\bar\Omega\bar\Sigma X$ と三角等式 $\varepsilon_{\bar\Sigma X}\circ\bar\Sigma\eta_X=\mathrm{id}$、$s$ の自然性から、両方の理論で $s_{k,X}=\sigma_{k,\bar\Sigma X}\circ H_k(\eta_X)$ が成り立つ。よって $s_k\alpha_k(X)=\sigma^H_{k,\bar\Sigma X}\alpha_k(\bar\Omega\bar\Sigma X)E_k(\eta_X)=\alpha_{k+1}(\bar\Sigma X)\sigma^E_{k,\bar\Sigma X}E_k(\eta_X)=\alpha_{k+1}(\bar\Sigma X)s^E_k$ である（中央の等号は $\alpha_k$ の自然性と定義）。