漸近展開

同義語：漸近級数asymptotic expansionasymptotic series

概要

前提知識: Landau記号, 級数, 広義積分, Γ関数

関数 $F(x)=\int_0^\infty\frac{e^{-xt}}{1+t}\,dt$ を $x$ が大きいところで調べるために、$\frac1{1+t}=1-t+t^2-\cdots$ を形式的に代入して項ごとに積分すると、級数
$$ \frac1x-\frac{1!}{x^2}+\frac{2!}{x^3}-\frac{3!}{x^4}+\cdots $$
が出てくる。項の大きさ $k!/x^{k+1}$ は $k\to\infty$ で発散するので、この級数はどの $x$ でも収束しない。それでも、$x=10$ で最初の 10 項ほどを足すと、$F(10)=0.0915633\ldots$ が誤差 $2\times10^{-5}$ 程度で再現される。収束しない級数が、打ち切り方を選べば非常によい近似を与えるのである。
このような「収束はしないが、どこで打ち切っても誤差が次の項の程度に収まる」級数を 漸近展開 という。Stirling の公式の高次の補正、対数積分 $\operatorname{li}(x)$ の展開、調和数 $H_n$ の展開、誤差関数の大きな $x$ での振る舞いなど、解析学と数論の多くの近似式は漸近展開の形をしている。この記事では漸近展開を Landau 記号で定義し、係数が一意に決まることと、和・積・積分との関係を証明したうえで、Laplace 型の積分の漸近展開を与える Watson の補題を証明する。

定義

以下、$D\subset\mathbb{R}$（または $\mathbb{C}$）とし、$x_0$ を $D$ の集積点とする（$x_0=+\infty$ も許す）。$o$, $O$ は $x\to x_0$（$x\in D$）での Landau記号である。

漸近列

$x_0$ のある穴あき近傍で定義され、そこで $0$ にならない関数の列 $(\varphi_n)_{n\geq0}$ が、すべての $n$ について $\varphi_{n+1}=o(\varphi_n)$（$x\to x_0$）を満たすとき、漸近列（asymptotic sequence）という。

典型例は、$x_0=+\infty$ での $\varphi_n(x)=x^{-n}$ や $x^{-n-\lambda}$（$\lambda$ は定数）、$x_0=0$ での $\varphi_n(x)=x^n$、$x_0=+\infty$ での $\varphi_n(x)=(\log x)^{-n}$ である。

漸近展開

$(\varphi_n)$ を $x_0$ での漸近列とし、$f$ を $x_0$ の穴あき近傍で定義された関数とする。数の列 $(a_n)_{n\geq0}$ が、すべての $N\geq0$ について
$$ f(x)-\sum_{n=0}^{N}a_n\varphi_n(x)=o\bigl(\varphi_N(x)\bigr)\qquad(x\to x_0) $$
を満たすとき、形式的な級数 $\sum_{n\geq0}a_n\varphi_n$ を $f$ の（$(\varphi_n)$ に関する）漸近展開（asymptotic expansion）といい、
$$ f(x)\sim\sum_{n=0}^{\infty}a_n\varphi_n(x)\qquad(x\to x_0) $$
と書く。$x_0=+\infty$ で $\varphi_n=x^{-n}$ のとき、$\sum a_nx^{-n}$ を $f$ の漸近冪級数（asymptotic power series）という。

この定義は Poincaré によるもので、DLMF2 §2.1(iii) の式 2.1.13–2.1.14（冪の場合）と §2.1(v)（一般の漸近列）にある。冪の場合には、「すべての $N$ で $o(x^{-N})$」は「すべての $N$ で $O(x^{-N-1})$」と同値である（$O(x^{-N-1})$ なら $o(x^{-N})$ であり、逆に $N+1$ での条件 $f-\sum_{n\leq N+1}a_nx^{-n}=o(x^{-N-1})$ から $f-\sum_{n\leq N}a_nx^{-n}=a_{N+1}x^{-N-1}+o(x^{-N-1})=O(x^{-N-1})$ が出る）。
記号 $\sim$ は、Landau記号の記事では比が $1$ に収束すること（漸近同値）に使われている。漸近展開の $\sim$ はそれとは別の意味で、右辺は数ではなく形式的な級数である。$a_0\neq0$ なら、$f\sim\sum a_n\varphi_n$ から $f(x)/(a_0\varphi_0(x))\to1$ が従う。

直感

漸近展開で問われるのは、級数の和ではなく、各段階で打ち切ったときの誤差の大きさである。収束する級数では、$x$ を固定して項数 $N$ を増やすと誤差が $0$ に近づく。漸近展開では逆に、項数 $N$ を固定して $x\to x_0$ とすると誤差が最後の項より速く小さくなる。この 2 つは独立な性質であり、収束しない級数でも漸近展開になりうるし、収束する級数でも元の関数に収束するとは限らない。
収束しない漸近展開を数値計算に使うときは、項の絶対値がいちばん小さくなるところで打ち切る。最初の例では $k!/x^{k+1}$ が $k\approx x$ で最小になり、$x=10$ でそこまで足すと、誤差は $2\times10^{-5}$ 程度で、$e^{-10}=4.5\times10^{-5}$ と同じ桁になる（次の ex-asymptotic-stieltjes の表）。

基本的な性質

係数の一意性

$(\varphi_n)$ を $x_0$ での漸近列とする。$f\sim\sum a_n\varphi_n$ かつ $f\sim\sum b_n\varphi_n$ ならば、すべての $n$ で $a_n=b_n$ である。係数は
$$ a_N=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-\sum_{n=0}^{N-1}a_n\varphi_n(x)}{\varphi_N(x)} $$
によって順に決まる。

係数の式：$f-\sum_{n=0}^{N}a_n\varphi_n=o(\varphi_N)$ を $\varphi_N$（$x_0$ の近くで $0$ でない）で割ると、$\frac{f-\sum_{n< N}a_n\varphi_n}{\varphi_N}-a_N\to0$ である。
一意性：$a_n\neq b_n$ となる最小の $m$ をとる。2 つの展開の $N=m$ での条件を引き算すると、$n< m$ の項は打ち消し合い
$$ (b_m-a_m)\varphi_m=\Bigl(f-\sum_{n\leq m}a_n\varphi_n\Bigr)-\Bigl(f-\sum_{n\leq m}b_n\varphi_n\Bigr)=o(\varphi_m) $$
となる。両辺を $\varphi_m$ で割って $x\to x_0$ とすると $b_m-a_m=0$ となり、矛盾する。$\square$

一方、関数は漸近展開から決まらない。$x\to+\infty$ で $e^{-x}=o(x^{-N})$ がすべての $N$ で成り立つので $e^{-x}\sim0$ であり、$f$ と $f+e^{-x}$ は同じ漸近冪級数をもつ。同じことは $x\to0$ での $e^{-1/x^2}$ にも言える（Taylorの定理の命題「何回でも微分できて導関数がすべて0になる関数」）。漸近冪級数は、指数関数的に小さい量を見分けられない。

漸近冪級数の演算

$x\to+\infty$ で $f\sim\sum_{n\geq0}a_nx^{-n}$、$g\sim\sum_{n\geq0}b_nx^{-n}$ とする。

定数 $\alpha,\beta$ について $\alpha f+\beta g\sim\sum(\alpha a_n+\beta b_n)x^{-n}$ である。
$fg\sim\sum_{n\geq0}c_nx^{-n}$、$c_n=\sum_{j+k=n}a_jb_k$ である。
$f$ が $[X,\infty)$ で連続で $a_0=a_1=0$ ならば、$\int_x^\infty f(t)\,dt$ は収束し、
$$ \int_x^\infty f(t)\,dt\sim\sum_{n\geq2}\frac{a_n}{n-1}x^{-(n-1)} $$
である。

上で見たとおり、冪の場合の条件は「すべての $N$ で $f-\sum_{n\leq N}a_nx^{-n}=O(x^{-N-1})$」と同値なので、この形で示す。
1 は Landau 記号の和の規則から明らかである。
2：$P_N:=\sum_{n\leq N}a_nx^{-n}$、$Q_N:=\sum_{n\leq N}b_nx^{-n}$ とおく。$P_N$, $Q_N$, $f$, $g$ は十分大きな $x$ で有界なので
$$ fg-P_NQ_N=(f-P_N)g+P_N(g-Q_N)=O(x^{-N-1}) $$
である。$P_NQ_N=\sum_{n\leq2N}\bigl(\sum_{j+k=n,\ j,k\leq N}a_jb_k\bigr)x^{-n}$ のうち $n\leq N$ の係数は $c_n$ に等しく、$n>N$ の項は $O(x^{-N-1})$ である。よって $fg-\sum_{n\leq N}c_nx^{-n}=O(x^{-N-1})$ である。
3：$N\geq2$ を固定し、$r(t):=f(t)-\sum_{n=2}^{N}a_nt^{-n}$ とおく。仮定から、定数 $K$ と $X_1\geq\max(X,1)$ があって $t\geq X_1$ で $|r(t)|\leq Kt^{-N-1}$ である。特に $|f(t)|\leq K't^{-2}$ なので $\int_x^\infty f$ は収束する。$\int_x^\infty t^{-n}\,dt=\frac{x^{-(n-1)}}{n-1}$（$n\geq2$）より、$x\geq X_1$ で
$$ \Bigl|\int_x^\infty f(t)\,dt-\sum_{n=2}^{N}\frac{a_n}{n-1}x^{-(n-1)}\Bigr|=\Bigl|\int_x^\infty r(t)\,dt\Bigr|\leq\frac{K}{N}x^{-N} $$
である。右辺は展開の第 $N$ 項 $x^{-(N-1)}$ について $o(x^{-(N-1)})$ であり、$N$ は任意なので主張を得る。$\square$

積分と違って、微分は漸近展開と両立しない。$f(x)=e^{-x}\sin(e^{x})$ は $|f(x)|\leq e^{-x}$ なので $f\sim0$ であるが、$f'(x)=-e^{-x}\sin(e^x)+\cos(e^x)$ は $x\to\infty$ で振動して極限をもたず、漸近冪級数をもたない。ただし、$f'$ が連続で漸近冪級数 $\sum b_nx^{-n}$ をもつと分かっていれば、それは $f$ の展開を項別に微分したものである。実際、$b_0\neq0$ なら $f$ は $x$ に比例して増え、$b_0=0$、$b_1\neq0$ なら $f$ は $b_1\log x$ のように増えるので、どちらも $f$ が $a_0$ に収束することに反する。よって $b_0=b_1=0$ であり、$f(x)=a_0-\int_x^\infty f'(t)\,dt$ に 3 と thm-asymptotic-uniqueness を使えば $b_n=-(n-1)a_{n-1}$（$n\geq2$）が分かる。複素平面の扇形で正則な関数については、$f=O(z^{\nu})$ から、頂点を共有するより狭い閉扇形で $f'=O(z^{\nu-1})$ が従うという Ritt の定理がある（DLMF2 §2.1(ii)）。

Watsonの補題

Laplace 変換の形の積分 $\int_0^\infty e^{-xt}q(t)\,dt$ では、$x$ が大きいと $e^{-xt}$ が $t=0$ の近く以外をほとんど消してしまう。したがって $x\to\infty$ での振る舞いは、$q$ の $t=0$ の近くでの展開だけで決まるはずである。これを正確に述べたのが Watson の補題である。$\Gamma$ は Γ関数で、$s>0$、$x>0$ について $\int_0^\infty e^{-xt}t^{s-1}\,dt=\Gamma(s)x^{-s}$ である（Γ関数の例「尺度変換と Laplace 型積分」）。

Watsonの補題

$q\colon(0,\infty)\to\mathbb{C}$ は連続で、次の 2 つを満たすとする。

実数 $\lambda>0$ と複素数 $a_0,a_1,\dots$ があって、すべての $N\geq0$ について $t\to+0$ で
$$ q(t)-\sum_{k=0}^{N-1}a_kt^{k+\lambda-1}=O\bigl(t^{N+\lambda-1}\bigr) $$
である。
ある $x_0>0$ について $\int_0^\infty e^{-x_0t}|q(t)|\,dt<\infty$ である。
このとき $x\geq x_0$ で $F(x):=\int_0^\infty e^{-xt}q(t)\,dt$ は絶対収束し、$x\to+\infty$ で
$$ F(x)\sim\sum_{k=0}^{\infty}a_k\frac{\Gamma(k+\lambda)}{x^{k+\lambda}} $$
が漸近列 $(x^{-k-\lambda})_{k\geq0}$ に関して成り立つ。

$x\geq x_0$ では $|e^{-xt}q(t)|\leq e^{-x_0t}|q(t)|$ なので $F(x)$ は絶対収束する。$N\geq1$ を固定し、$r_N(t):=q(t)-\sum_{k< N}a_kt^{k+\lambda-1}$ とおく。仮定 1 により、$0<\delta\leq1$ と $K>0$ があって、$0< t\leq\delta$ で $|r_N(t)|\leq Kt^{N+\lambda-1}$ である。$x\geq\max(x_0,1)$ について、$F(x)$ を次の 3 つに分ける。
$$ F(x)=\sum_{k< N}a_k\int_0^\delta e^{-xt}t^{k+\lambda-1}\,dt+\int_0^\delta e^{-xt}r_N(t)\,dt+\int_\delta^\infty e^{-xt}q(t)\,dt. $$
第 1 項：$\int_0^\delta e^{-xt}t^{s-1}\,dt=\Gamma(s)x^{-s}-\int_\delta^\infty e^{-xt}t^{s-1}\,dt$ であり、$t\geq\delta$ で $e^{-xt}=e^{-(x-1)t}e^{-t}\leq e^{-(x-1)\delta}e^{-t}$ なので
$$ 0\leq\int_\delta^\infty e^{-xt}t^{s-1}\,dt\leq e^{-(x-1)\delta}\,\Gamma(s) $$
である。
第 2 項：$\Bigl|\int_0^\delta e^{-xt}r_N(t)\,dt\Bigr|\leq K\int_0^\infty e^{-xt}t^{N+\lambda-1}\,dt=K\,\Gamma(N+\lambda)\,x^{-N-\lambda}$ である。
第 3 項：$t\geq\delta$ で $e^{-xt}=e^{-(x-x_0)t}e^{-x_0t}\leq e^{-(x-x_0)\delta}e^{-x_0t}$ なので、絶対値は $e^{-(x-x_0)\delta}\int_0^\infty e^{-x_0t}|q(t)|\,dt$ 以下である。
$e^{-\delta x}$ はすべての $M$ について $o(x^{-M})$ なので、以上をまとめて
$$ F(x)-\sum_{k=0}^{N-1}a_k\frac{\Gamma(k+\lambda)}{x^{k+\lambda}}=O\bigl(x^{-N-\lambda}\bigr)=o\bigl(x^{-(N-1)-\lambda}\bigr) $$
を得る。$N\geq1$ は任意なので、定義の条件がすべての段階で成り立つ。$\square$

Watson の補題は、$q$ の $0$ での展開を項ごとに Laplace 変換してよいと言っている。$q$ の展開が収束しなくても、$q$ が $t=0$ から離れたところで大きくても（条件 2 の範囲で）、結論は変わらない。より一般に $t^{(k+\lambda-\mu)/\mu}$ の形の展開を許す形は DLMF2 §2.3(ii) の式 2.3.7–2.3.8 にある。

例

収束しない漸近展開の誤差

$F(x)=\int_0^\infty\frac{e^{-xt}}{1+t}\,dt$（$x>0$）とする。$q(t)=\frac1{1+t}=\sum_{k\geq0}(-t)^k$（$0< t<1$）なので、Watson の補題（$\lambda=1$、$a_k=(-1)^k$）から
$$ F(x)\sim\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kk!}{x^{k+1}}\qquad(x\to+\infty) $$
である。この場合は誤差がもっと正確に分かる。有限の等式 $\frac1{1+t}=\sum_{k< N}(-t)^k+\frac{(-t)^N}{1+t}$ を積分すると
$$ F(x)=\sum_{k=0}^{N-1}\frac{(-1)^kk!}{x^{k+1}}+R_N(x),\qquad R_N(x)=(-1)^N\int_0^\infty\frac{e^{-xt}t^N}{1+t}\,dt $$
であり、$0<\frac{t^N}{1+t}< t^N$ から $R_N(x)$ は $(-1)^N$ と同じ符号で、$|R_N(x)|<\frac{N!}{x^{N+1}}$ である。つまり誤差は、最初に捨てた項と同じ符号をもち、その項より絶対値が小さい。
$x=10$ での値 $F(10)=0.09156333\ldots$ と、$N$ 項で打ち切った和を比べると次のとおりである（直接の計算による）。

項数 $N$	打ち切った和	和 $-F(10)$	捨てた最初の項の絶対値
$1$	$0.1$	$8.4\times10^{-3}$	$1\times10^{-2}$
$3$	$0.092$	$4.4\times10^{-4}$	$6\times10^{-4}$
$6$	$0.09152$	$-4.3\times10^{-5}$	$7.2\times10^{-5}$
$10$	$0.091545632$	$-1.8\times10^{-5}$	$3.6\times10^{-5}$
$16$	$0.0914840\ldots$	$-7.9\times10^{-5}$	$2.1\times10^{-4}$

誤差は $N=10$ 付近で最小になり、その先は項が大きくなって誤差も増える。どの $N$ でも、誤差は捨てた最初の項より小さい。

誤差関数の漸近展開

$x>0$ について $E(x):=\int_x^\infty e^{-s^2}\,ds$ とおく（Gauss積分により $E(0)=\frac{\sqrt\pi}2$）。$s=\sqrt{x^2+u}$、続けて $u=x^2t$ と置換すると
$$ E(x)=\frac{e^{-x^2}}2\int_0^\infty\frac{e^{-u}}{\sqrt{x^2+u}}\,du=\frac{x\,e^{-x^2}}2\int_0^\infty e^{-x^2t}(1+t)^{-1/2}\,dt $$
である。$q(t)=(1+t)^{-1/2}=\sum_{k\geq0}\binom{-1/2}{k}t^k$（$0< t<1$）、$\binom{-1/2}{k}k!=(-1)^k\frac12\cdot\frac32\cdots\frac{2k-1}2$ なので、Watson の補題を変数 $X=x^2$ で使うと
$$ \int_x^\infty e^{-s^2}\,ds\sim\frac{e^{-x^2}}{2x}\Bigl(1-\frac1{2x^2}+\frac{1\cdot3}{(2x^2)^2}-\frac{1\cdot3\cdot5}{(2x^2)^3}+\cdots\Bigr)\qquad(x\to+\infty) $$
を得る。誤差関数 $\operatorname{erf}(x)=\frac2{\sqrt\pi}\int_0^xe^{-s^2}\,ds$ で書くと、$1-\operatorname{erf}(x)=\frac2{\sqrt\pi}E(x)$ である。これは DLMF7 式 7.12.1 と一致し、そこには実数の $x$ では誤差が最初に捨てた項と同じ符号をもち、その絶対値以下であることも述べられている。たとえば $x=3$ で最初の 3 項を使うと $E(3)\approx1.9615\times10^{-5}$ となり、実際の値 $1.9577\times10^{-5}$ との相対誤差は $0.2\%$ である。

ほかの記事では、次の漸近展開を扱っている。

対数積分の定理「対数積分の漸近展開」：$\operatorname{li}(x)\sim\frac{x}{\log x}\sum_{k\geq0}\frac{k!}{(\log x)^k}$。漸近列は $\frac{x}{(\log x)^{k+1}}$ で、係数の $k!$ のために級数は収束しない。証明は部分積分のくり返しである。
Eulerの定数：調和数の展開 $H_n\sim\log n+\gamma+\frac1{2n}-\frac1{12n^2}+\cdots$。
階乗の注意「高次の補正」と Stirlingの公式の注意「Robbinsの評価と高次の補正」：$n!\sim\sqrt{2\pi n}(n/e)^n\bigl(1+\frac1{12n}+\frac1{288n^2}-\cdots\bigr)$。$\log\Gamma(z)$ の展開（Stirling 級数）は DLMF5 式 5.11.1 にある。

反例

条件を外したときの反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
$\varphi_n$ が $x_0$ の近くで $0$ にならない	$\varphi_0=1$、$\varphi_n\equiv0$（$n\geq1$）、$f\equiv1$	$a_0=1$ のもとで $a_1,a_2,\dots$ は何でもよく、係数が一意に決まらない
$f'$ が漸近冪級数をもつ	$f(x)=e^{-x}\sin(e^x)$	$f\sim0$ だが $f'$ は振動し、展開を項別に微分した $0$ は $f'$ の展開でない
$f$ が $x^{-1}$ の収束冪級数で表される	$f(x)=e^{-x}$	漸近展開 $0$ は収束するが、その和 $0$ は $f$ と一致せず、展開から $f$ は決まらない
Watson の補題の条件 2	$q(t)=e^{t^2}$	$q$ は $0$ で展開をもつが、$\int_0^\infty e^{-xt+t^2}\,dt$ はどの $x$ でも発散する

1 行目の列では、$\varphi_{n+1}=o(\varphi_n)$ は Landau記号の $o$ の定義（$|\varphi_{n+1}|\leq\varepsilon|\varphi_n|$ が $x_0$ の近くで成り立つこと）のもとで成り立っている（$n\geq1$ では両辺が $0$）。破れているのは「$0$ にならない」だけである。
Watson の補題の条件 1 の $\lambda>0$ は、$q$ が $t=0$ の近くで可積分であるための条件でもある。$\lambda\leq0$ かつ $a_0\neq0$ なら、$t\to+0$ で $|q(t)|$ は $|a_0|t^{\lambda-1}$ と同じ大きさで、$\int_0^1t^{\lambda-1}\,dt=\infty$ なので条件 2 も必ず崩れる（例：$q(t)=\frac1t$）。$a_0=0$ なら、最初の $0$ でない係数 $a_j$ まで番号をずらすと、指数が $\lambda+j>0$ になって $\lambda>0$ の形に書き直せるか、$\lambda+j\leq0$ のままで同じ理由により条件 2 が崩れる（係数がすべて $0$ なら、どの $\lambda>0$ についても条件 1 が成り立つ）。したがって $\lambda>0$ だけを外す反例はなく、表には入れていない。

補足

一般化

複素変数の関数については、$x\to\infty$ を扇形 $|\arg z|\leq\theta$ の中で考えた漸近展開が使われる。Stirling 級数は $|\arg z|\leq\pi-\delta$ で成り立つ（DLMF5 式 5.11.1）。展開の係数を $x$ にも依存させた一般化された漸近展開（DLMF2 §2.1(v)）や、パラメータについて一様な漸近展開（DLMF2 §2.1(iv)）もある。積分 $\int e^{\lambda h(x)}g(x)\,dx$ の $\lambda\to\infty$ での展開は、$h$ の最大点の近くで変数変換して Watson の補題に帰着させる方法（Laplace の方法）で求めることが多い。