Serre–Swanの定理

$p$ の開近傍 $U$ と $U$ 上の局所枠 $e_1,\dots,e_r$ をとる。$B$ は完全正則なので、連続関数 $\varphi\colon B\to[0,1]$ で $\varphi(p)=1$、$B\setminus U$ 上で $\varphi=0$ となるものがある。$0\le\alpha<\beta\le1$ に対し、$t\le\alpha$ で $0$、$t\ge\beta$ で $1$、その間で 1 次式の連続関数を $h_{\alpha,\beta}$ とし、
$$ \eta:=h_{1/3,\,2/3}\circ\varphi,\qquad \eta':=h_{1/6,\,1/3}\circ\varphi $$
とおく。$\eta$ は開集合 $\{\varphi>2/3\}\ni p$ の上で $1$、$\{\varphi<1/3\}$ の上で $0$ であり、$\eta'$ は $\{\varphi\ge1/3\}$ の上で $1$、$\{\varphi<1/6\}$ の上で $0$ である。
切り落とし：$U$ 上の連続な切断 $s$ に対し、$U$ 上で $\eta's$、$U$ の外で $0$ と定めた切断は $B$ 上で連続である。実際 $U$ と $\{\varphi<1/6\}$ は $B$ を覆う開集合で（$U$ の外では $\varphi=0$）、それぞれの上で連続であり、共通部分では $\eta'=0$ なので両者は一致する。同じ理由で、$U$ 上の連続関数 $a$ について、$U$ 上で $\eta a$、外で $0$ と定めた関数は $C(B)$ に属する。

1. 切り落とした切断は $\{\varphi\ge1/3\}$ の上で $s$ に一致し、これは $p$ の近傍である。$s=e_i$ にとったものを $\sigma_i$ とすれば、$\sigma_1,\dots,\sigma_r$ は $\{\varphi>1/3\}$ の上で局所枠であり、$\mathrm{ev}_p$ は全射である。
2. $s\in\Gamma(E)$、$s(p)=0$ とする。$U$ 上で $s=\sum_ia_ie_i$ と書くと $a_i$ は $U$ 上の連続関数で $a_i(p)=0$ である。$g_i:=\eta a_i$（$U$ の外で $0$）とおくと $g_i\in I_p$ であり、$U$ 上で
   $$ \sum_ig_i\sigma_i=\sum_i\eta a_i\,\eta' e_i=\eta\sum_ia_ie_i=\eta s $$
   となる（$\eta\ne0$ の点では $\varphi>1/3$ なので $\eta'=1$）。$U$ の外では両辺とも $0$ なので $\eta s=\sum_ig_i\sigma_i\in I_p\Gamma(E)$ である。$1-\eta\in I_p$ なので $(1-\eta)s\in I_p\Gamma(E)$ であり、$s=\eta s+(1-\eta)s\in I_p\Gamma(E)$ である。逆の包含は明らかで、$\mathrm{ev}_p$ の全射性と合わせて $\Gamma(E)/I_p\Gamma(E)\cong E_p$ を得る。$\square$

単射：$\Gamma(f)=\Gamma(g)$ とする。$v\in E_p$ に対し lem-ss-evaluation の 1 で $s(p)=v$ となる $s\in\Gamma(E)$ をとると、$f(v)=\Gamma(f)(s)(p)=\Gamma(g)(s)(p)=g(v)$ である。
全射：$T\colon\Gamma(E)\to\Gamma(F)$ を $C(B)$ 線形写像とする。$T(I_p\Gamma(E))\subset I_p\Gamma(F)\subset\ker\mathrm{ev}_p$ と lem-ss-evaluation の 2（$\ker\mathrm{ev}_p=I_p\Gamma(E)$）により、線形写像 $T_p\colon E_p\to F_p$ で
$$ T_p\bigl(s(p)\bigr)=T(s)(p)\qquad(s\in\Gamma(E)) $$
を満たすものがただ 1 つ定まる（$\mathrm{ev}_p$ は全射）。$f:=\bigsqcup_pT_p\colon E\to F$ とおく。連続性を示す。$p$ の開近傍 $W$ の上で局所枠となる大域的な切断 $\sigma_1,\dots,\sigma_r$ をとる（lem-ss-evaluation の 1）。$W$ 上の点 $v=\sum_ic_i\sigma_i(b)$ について
$$ f(v)=\sum_ic_i\,T_b(\sigma_i(b))=\sum_ic_i\,T(\sigma_i)(b) $$
であり、$T(\sigma_i)$ は $F$ の連続な切断、$(b,c)\mapsto v$ は局所自明化なので、$f$ は $E|_W$ 上で連続である。よって $f$ は束写像で、$\Gamma(f)(s)(b)=T_b(s(b))=T(s)(b)$ より $\Gamma(f)=T$ である。
$T$ が同型なら $T^{-1}=\Gamma(g)$ となる束写像 $g$ があり、$\Gamma(g\circ f)=\mathrm{id}=\Gamma(\mathrm{id}_E)$、$\Gamma(f\circ g)=\Gamma(\mathrm{id}_F)$ と単射性から $f$ は束同型である。$\square$

1. $P(b)^2=P(b)$ なので $\mathbb{K}^N=\operatorname{im}P(b)\oplus\ker P(b)$ で、$P(b)$ はこの分解の第 1 成分への射影である。よって $\operatorname{rank}P(b)=\operatorname{tr}P(b)$ であり、これは $b$ の連続関数で整数値なので局所定数である。$\operatorname{rank}P(b)=k$ となる点の集合（開かつ閉）の上で $P$ は階数 $k$ の束写像 $\varepsilon^N\to\varepsilon^N$ であり、部分束・商束・双対束 の定理「階数一定の束写像の核と像」により $E_P=\operatorname{im}P$ と $E_{1-P}=\operatorname{im}(1-P)=\ker P$ は部分束である。$(u,w)\mapsto u+w$ は連続でファイバーごとに線形同型なので、$E_P\oplus E_{1-P}\cong\varepsilon^N$ である（ベクトル束の直和・テンソル積 の補題「ファイバーごとに同型な束写像は束同型」）。$\Gamma(E_P)$ は $Ps=s$ を満たす $s\in C(B)^N$ の全体で、$Ps=s$ なら $s=Ps\in P\cdot C(B)^N$、逆に $P(Pu)=Pu$ なので、$\Gamma(E_P)=P\cdot C(B)^N$ である。
2. 有限射影加群 の記事の定理「有限射影性の四つの表示」により、冪等行列 $P$ で $Q\cong P\cdot C(B)^N$ となるものがある。1 によりこれは $\Gamma(E_P)$ である。
3. $E\oplus E'\cong\varepsilon^N$ なら $\Gamma(E)\oplus\Gamma(E')\cong C(B)^N$ なので、$\Gamma(E)$ は有限生成自由加群の直和因子であり、有限生成射影加群である。逆に $\Gamma(E)$ が有限生成射影加群なら、2 により $\Gamma(E)\cong\Gamma(E_P)$ となる $P$ があり、thm-ss-fully-faithful により $E\cong E_P$、したがって $E\oplus E_{1-P}\cong\varepsilon^N$ である。$\square$

コンパクト Hausdorff 空間は Tychonoff 空間である（Tychonoff空間 の記事の命題「コンパクト Hausdorff 空間は Tychonoff 空間」）。

1. lem-ss-evaluation の 1 により、各点 $p$ に、$p$ の開近傍 $W_p$ の上で局所枠となる有限個の大域的な切断がある。$B$ はコンパクトなので有限個の $W_p$ で覆われ、それらの切断を全部並べたもの $\sigma_1,\dots,\sigma_N\in\Gamma(E)$ は、各点 $b$ で $E_b$ を張る。
   $$ g\colon\varepsilon^N\to E,\qquad g(b,a):=\sum_{j=1}^Na_j\sigma_j(b) $$
   は全射な束写像で、その階数 $\dim E_b$ は局所定数である。各 $B_r$ の上で 部分束・商束・双対束 の定理「階数一定の束写像の核と像」を当てると $E':=\ker g$ は $\varepsilon^N$ の部分束である。$\varepsilon^N$ に $\mathbb{K}^N$ の標準内積を計量として入れ、同じ記事の定理「直交補束と商束」と定理「商束の局所自明性と普遍性」の 2 を当てると、
   $$ \varepsilon^N\cong E'\oplus E'^\perp,\qquad E'^\perp\cong\varepsilon^N/E'\cong E $$
   である（$g$ が誘導する $\varepsilon^N/E'\to E$ はファイバーごとに同型な束写像）。
2. 1 と thm-ss-projective の 3 により、$\Gamma(E)$ はつねに有限生成射影加群である。thm-ss-fully-faithful により関手 $\Gamma$ は充満忠実関手であり、thm-ss-projective の 2 により有限生成射影加群はすべてある $\Gamma(E_P)$ と同型である。充満忠実で本質的に全射な関手は圏同値である。$\square$

$\Gamma(\varepsilon^n)=C(B)^n$ である。逆に $\Gamma(E)\cong C(B)^n=\Gamma(\varepsilon^n)$ なら thm-ss-fully-faithful により $E\cong\varepsilon^n$ である。$\Gamma(E)$ が集合 $S$ を基底とする自由加群なら、$p\in B$ について lem-ss-evaluation の 2 により $E_p\cong\Gamma(E)/I_p\Gamma(E)\cong(C(B)/I_p)^{(S)}\cong\mathbb{K}^{(S)}$ であり、$E_p$ は有限次元なので $S$ は有限集合である。$\square$

$E_P$ の切断 $s$ を周期 $1$ の連続写像 $\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$ とみると、$s(t)\in\mathbb{R}u(t)$ なので $s(t)=f(t)u(t)$、$f(t):=\langle s(t),u(t)\rangle$ は連続である。$u(t+1)=-u(t)$ から $f(t+1)=-f(t)$ であり、中間値の定理 により $f$ は $[0,1]$ のどこかで $0$ になる。よって $E_P$ は至るところ $0$ でない切断をもたず、ベクトル束 の記事の命題「自明性の判定」により自明でない。prop-ss-free により $\Gamma(E_P)$ は自由でない。$\square$