Krasnerの補題
概要
Krasnerの補題（Krasner's lemma）とは、非アルキメデス的な絶対値について完備な体 $K$ の代数閉包の元 $\alpha,\beta$ について、$\alpha$ が $K$ 上分離的で、$\beta$ が $\alpha$ の $\alpha$ 以外のどの共役よりも $\alpha$ に近いならば、$K(\alpha)\subset K(\beta)$ が成り立つという主張である。証明は、$K$ 上の埋め込みが絶対値の延長を保つことによる。帰結として、既約で重根のないモニック多項式に係数が十分近い同じ次数のモニック多項式は、既約で、同じ拡大体を定める。
$p$ 進数体 $\mathbb{Q}_p$ の上の代数的な元 $\alpha$ を、別の元 $\beta$ でいくらでも精密に近似したとき、$\beta$ の生成する体は $\alpha$ の生成する体とどう関係するか。実数体の上では、$\sqrt2$ に近い有理数は $\sqrt2$ について何の情報ももたない。ところが非アルキメデス的な絶対値について完備な体 $K$ の上では、事情がまったく違う。$\alpha$ が $K$ 上分離的なら、$\alpha$ に、$\alpha$ のほかの共役のどれよりも近い元 $\beta$ は、それだけで $\alpha$ を生成してしまう（$K(\alpha)\subset K(\beta)$）。これが Krasner の補題 である。
この補題から、重根のない既約なモニック多項式と、係数が十分近い同じ次数のモニック多項式は、同じ拡大体を定めることが分かる。$\mathbb{Q}_p$ の有限次拡大の性質を、係数を少し動かした扱いやすい多項式に移して調べられるのはこのためである。この記事では、非アルキメデス的な絶対値について完備な一般の体の上で Krasner の補題を証明し、多項式の摂動についての帰結、$\mathbb{Q}_2$ での例、仮定を外した反例を述べる。
| 結果 | 内容 |
|---|---|
| lem-krl-conjugate | $K$ 上の埋め込みは、延長した絶対値を保つ |
| thm-krl-main | $K$ が完備、$\alpha$ が分離的で、$\lvert\beta-\alpha\rvert< \lvert\alpha'-\alpha\rvert$（$\alpha'\ne\alpha$ は共役）なら $K(\alpha)\subset K(\beta)$ |
| thm-krl-polynomials | 重根のない既約なモニック多項式に係数が十分近い同じ次数のモニック多項式は、既約で、同じ拡大を定める |
| ex-krl-counterexamples | 不等式が等号のとき、$K$ が完備でないとき、$\alpha$ が分離的でないときに結論が崩れる |
設定と定義
$K$ を体、$|\cdot|$ を $K$ の非アルキメデス的な絶対値、すなわち $|x|=0\iff x=0$、$|xy|=|x|\,|y|$、強三角不等式 $|x+y|\le\max\{|x|,|y|\}$ を満たす写像 $K\to\mathbb{R}_{\ge0}$ とする（付値 の定義「体の絶対値」）。強三角不等式から、$|x|\ne|y|$ なら $|x+y|=\max\{|x|,|y|\}$ である（等号の場合）。$K$ は距離 $|x-y|$ について完備であると仮定する。$\overline{K}$ を $K$ の 代数閉包 とする。
絶対値の延長。 完備な $K$ の上では、$|\cdot|$ は $\overline{K}$ の絶対値にただ 1 通りに延びる。有限次拡大 $L/K$（$[L:K]=n$）の上では、延長は $|x|=|N_{L/K}(x)|^{1/n}$ で与えられ、$L$ はまた完備である（Neu99 Chapter II, (4.8) Theorem, p. 131。この記事では証明しない）。$\overline{K}$ はその有限次部分拡大の合併なので、有限次部分拡大ごとの延長が整合して $\overline{K}$ の絶対値を与える。延長も非アルキメデス的である（整数の像は $K$ の元なので $|m\cdot1|\le1$ であり、付値 の定理「非アルキメデス的であるための条件」による）。以下、この延長も $|\cdot|$ と書く。
$L\subset\overline{K}$ を $K$ の有限次拡大、$\tau\colon L\to\overline{K}$ を $K$ 上の体の準同型とする。このとき、すべての $x\in L$ について $|\tau(x)|=|x|$ である。
$x\mapsto|\tau(x)|$ は $L$ の絶対値である（$\tau$ は単射な環準同型）。$x\in K$ なら $\tau(x)=x$ なので、これは $K$ の上では $|\cdot|$ と一致する。$L$ は $K$ の有限次拡大なので、$|\cdot|$ の $L$ への延長はただ 1 つであり、$|\tau(\cdot)|=|\cdot|$ である。$\square$
とくに、$\alpha\in\overline{K}$ の $K$ 上の共役（最小多項式の根）$\alpha'$ はすべて $|\alpha'|=|\alpha|$ を満たす（$\alpha\mapsto\alpha'$ となる $K$ 上の準同型 $K(\alpha)\to\overline{K}$ がある）。
$\alpha\in\overline{K}$ が $K$ 上分離的で、$K$ 上の次数 $n$ が $2$ 以上のとき、$\alpha$ の $K$ 上の共役を $\alpha=\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$ として
$$
r(\alpha):=\min_{2\le i\le n}|\alpha_i-\alpha|
$$
とおく。$n=1$（$\alpha\in K$）のときは $r(\alpha):=\infty$ とおく。
$\alpha$ が分離的なので共役 $\alpha_i$ は互いに異なり、$r(\alpha)>0$ である。また、$\alpha$ を共役 $\alpha_i$ に替えても $r(\alpha_i)=r(\alpha)$ である。実際、すべての共役を含む有限次拡大 $L=K(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ の上の $K$ 上の準同型 $\tau\colon L\to\overline{K}$ で $\tau(\alpha)=\alpha_i$ となるものがあり（$\alpha\mapsto\alpha_i$ となる $K(\alpha)$ の準同型を延ばす。代数閉包 の定理「代数拡大の埋め込み」）、$\tau$ は共役の集合を自分自身に 1 対 1 に移し、lem-krl-conjugate により距離を保つ。
主定理
$K$ を非アルキメデス的な絶対値について完備な体とし、$\alpha,\beta\in\overline{K}$ とする。$\alpha$ が $K$ 上分離的で、$\alpha$ の $K$ 上の共役 $\alpha'\ne\alpha$ のすべてについて
$$
|\beta-\alpha|<|\alpha'-\alpha|
$$
が成り立つ（すなわち $|\beta-\alpha|< r(\alpha)$）ならば、$K(\alpha)\subset K(\beta)$ である。
$F:=K(\beta)$ とし、$h\in F[X]$ を $\alpha$ の $F$ 上の最小多項式、$f\in K[X]$ を $\alpha$ の $K$ 上の最小多項式とする。$f(\alpha)=0$ なので $h$ は $f$ を割り切り、$h$ の根はすべて $\alpha$ の $K$ 上の共役である。
$\gamma\in\overline{K}$ を $h$ の根とする。$F(\alpha)\cong F[X]/(h)\cong F(\gamma)$ なので、$F$ の元を動かさず $\alpha$ を $\gamma$ に移す体の準同型 $\tau\colon F(\alpha)\to\overline{K}$ がある。$F(\alpha)$ は $K$ の有限次拡大なので、lem-krl-conjugate と $\tau(\beta)=\beta$ により
$$
|\gamma-\beta|=|\tau(\alpha-\beta)|=|\alpha-\beta|
$$
である。強三角不等式により
$$
|\gamma-\alpha|\le\max\{|\gamma-\beta|,|\beta-\alpha|\}=|\beta-\alpha|< r(\alpha)
$$
となる。$\gamma$ は $\alpha$ の $K$ 上の共役で、$\alpha$ との距離が $r(\alpha)$ より小さいので、$r(\alpha)$ の定義により $\gamma=\alpha$ である。
こうして $h$ の根は $\alpha$ だけである。$f$ は分離多項式なので、その因子 $h$ も重根をもたない。重根のない多項式の根が 1 つだけなら次数は $1$ であり、$h=X-\alpha$、すなわち $\alpha\in F=K(\beta)$ である。$\square$
この証明は BGR84 §3.4.2, Proposition 1 と Corollary 2（pp. 148–149）の筋と同じである。証明で使った $K$ の性質は、絶対値が非アルキメデス的であることと、有限次拡大への延長が一意であることだけである。
補題の結論は「$\beta$ は $\alpha$ を生成するのに十分な情報をもつ」と読める。$\beta$ が $\alpha$ の共役のどれよりも $\alpha$ に近ければ、$\beta$ の生成する体の中に $\alpha$ の最小多項式の根が $\alpha$ だけ取り残され、$\alpha$ は $K(\beta)$ の元として決まってしまう。
thm-krl-main の仮定のもとで、さらに $[K(\beta):K]\le[K(\alpha):K]$ ならば $K(\beta)=K(\alpha)$ である。
$K(\alpha)\subset K(\beta)$ なので $[K(\alpha):K]\le[K(\beta):K]\le[K(\alpha):K]$ であり、次数が等しい有限次拡大の包含は等号である。$\square$
多項式の係数の摂動
$K[X]$ の多項式 $g=\sum_ic_iX^i$ について $\|g\|:=\max_i|c_i|$ とおく。
$g\in K[X]$ を $n$ 次のモニック多項式とし、$\overline{K}$ での根を重複をこめて $\beta_1,\dots,\beta_n$ とする。$\alpha\in\overline{K}$ について、ある $j$ で
$$
|\alpha-\beta_j|\le|g(\alpha)|^{1/n}
$$
が成り立つ。とくに $f\in K[X]$ が $f(\alpha)=0$ を満たす $n$ 次のモニック多項式なら、$|g(\alpha)|\le\|g-f\|\cdot\max\{1,|\alpha|\}^n$ である。
$g=\prod_j(X-\beta_j)$ なので $|g(\alpha)|=\prod_{j=1}^n|\alpha-\beta_j|$ であり、$n$ 個の因子のうち最小のものは $|g(\alpha)|^{1/n}$ 以下である。後半は、$f(\alpha)=0$ から $g(\alpha)=(g-f)(\alpha)$ であり、$g-f$ の各項 $c_i\alpha^i$（$i\le n$）が $|c_i\alpha^i|\le\|g-f\|\max\{1,|\alpha|\}^n$ を満たすので、強三角不等式による。$\square$
$K$ を非アルキメデス的な絶対値について完備な体とし、$f\in K[X]$ を $n$ 次のモニックな既約多項式で、重根をもたないものとする。$\alpha\in\overline{K}$ を $f$ の根とし、
$$
\delta:=\frac{r(\alpha)^n}{\max\{1,|\alpha|\}^n}
$$
とおく（$n=1$ のときは $\delta=\infty$）。このとき、$\|g-f\|<\delta$ を満たす $n$ 次のモニック多項式 $g\in K[X]$ はすべて既約で重根をもたず、$g$ の根 $\beta$ で $|\beta-\alpha|< r(\alpha)$ かつ $K(\beta)=K(\alpha)$ となるものがある。とくに $K[X]/(g)\cong K[X]/(f)$ である。
$n=1$ なら $g$ は 1 次式なので明らかである。$n\ge2$ とする。lem-krl-roots により、$g$ の根 $\beta$ で
$$
|\beta-\alpha|\le\bigl(\|g-f\|\max\{1,|\alpha|\}^n\bigr)^{1/n}< \bigl(\delta\max\{1,|\alpha|\}^n\bigr)^{1/n}=r(\alpha)
$$
となるものがある。$f$ は既約で重根をもたないので $\alpha$ は $K$ 上分離的であり、thm-krl-main により $K(\alpha)\subset K(\beta)$ である。$\beta$ は $n$ 次多項式 $g$ の根なので $[K(\beta):K]\le n=[K(\alpha):K]$ であり、cor-krl-equal により $K(\beta)=K(\alpha)$ である。
よって $\beta$ の $K$ 上の最小多項式は $n$ 次で、モニックな $n$ 次式 $g$ を割り切るので $g$ に等しい。したがって $g$ は既約である。$K$ 上分離的な元の全体は部分体をなす（分離拡大 の定理「分離拡大の推移性」の後半）ので、$\beta\in K(\alpha)$ は $K$ 上分離的であり、その最小多項式 $g$ は重根をもたない。最後に $K[X]/(g)\cong K(\beta)=K(\alpha)\cong K[X]/(f)$ である。$\square$
この定理は BGR84 §3.4.2, Proposition 3 と Corollary 4（p. 149）にあたる。$r(\alpha)$ と $|\alpha|$ は $f$ の根の選び方によらない（lem-krl-conjugate）ので、$\delta$ は $f$ だけで決まる。
例
$K=\mathbb{Q}_2$、$f=X^2+1$、$\alpha=i$ とする。$|i|^2=|-1|=1$ なので $|i|=1$ であり、共役 $-i$ との距離は $|2i|=\tfrac12$、すなわち $r(i)=\tfrac12$、$\delta=r(i)^2=\tfrac14$ である。
- $g=X^2-7$ は $\|g-f\|=|8|=\tfrac18<\delta$ なので、thm-krl-polynomials により $\mathbb{Q}_2(\sqrt7)=\mathbb{Q}_2(i)$ である。直接にも確かめられる。$-7$ は $\mathbb{Q}_2$ の平方である（$X^2+7$ と $a=1$ について $v_2(1+7)=3>2v_2(2)=2$ なので、Henselの補題 の命題「Hensel の付値条件」により $\mathbb{Z}_2$ に根がある）。その平方根を $s$ とすると $(is)^2=7$ なので、$\sqrt7=\pm is\in\mathbb{Q}_2(i)$ である。
- $g=X^2+5$ では $\|g-f\|=|4|=\tfrac14=\delta$ で、定理の条件をわずかに満たさない。実際 $\mathbb{Q}_2(\sqrt{-5})\ne\mathbb{Q}_2(i)$ である。$\sqrt{-5}=x+yi$（$x,y\in\mathbb{Q}_2$）とすると $-5=x^2-y^2+2xyi$ から $xy=0$ で、$x^2=-5$ か $y^2=5$ となる。どちらの場合も平方される元は $\mathbb{Z}_2$ の単元で、$\mathbb{Z}_2$ の単元の平方は法 $8$ で $1$ と合同（奇数の平方は法 $8$ で $1$）だが、$-5\equiv3$、$5\equiv5\pmod8$ なので矛盾する。$\beta=\sqrt{-5}$ の側から見ると、$(\beta-i)(\beta+i)=\beta^2+1=-4$ で、$|\beta-i|<\tfrac12$ なら $|\beta+i|=|(\beta-i)+2i|=\tfrac12$ となって積が $\tfrac14$ より小さくなるので、$|\beta-i|\ge\tfrac12=r(i)$ であり、thm-krl-main の条件は成り立っていない。
条件を外したときの反例
thm-krl-main の仮定を 1 つずつ外すと、次のように結論 $K(\alpha)\subset K(\beta)$ が成り立たなくなる。
| 外した条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 不等式が狭義 | $K=\mathbb{Q}_3$、$\alpha=\sqrt3$、$\beta=\sqrt6$（$\lvert\beta-\alpha\rvert=r(\alpha)$） | $\mathbb{Q}_3(\sqrt3)\subset\mathbb{Q}_3(\sqrt6)$ |
| $K$ が完備 | $K=\mathbb{Q}$ と $7$ 進絶対値、$\alpha=\sqrt2$（$\alpha\equiv3\pmod7$ の根）、$\beta=3$ | $\mathbb{Q}(\sqrt2)\subset\mathbb{Q}$ |
| $\alpha$ が分離的 | $K=\mathbb{F}_p(\!(t)\!)$、$\alpha=t^{1/p}$、$\beta=0$ | $K(t^{1/p})\subset K$ |
1 行目：$|\alpha|=|\beta|=3^{-1/2}$ である。$(\beta-\alpha)(\beta+\alpha)=6-3=3$ なので $|\beta-\alpha|\,|\beta+\alpha|=\tfrac13$ で、どちらの因子も強三角不等式により $3^{-1/2}$ 以下なので、ともに $3^{-1/2}$ に等しい。共役 $-\alpha$ との距離は $|2\sqrt3|=3^{-1/2}$ なので $|\beta-\alpha|=r(\alpha)$ である。$3$ も $6$ も $3$ 進付値が奇数なので平方でなく、$\mathbb{Q}_3(\sqrt3)$、$\mathbb{Q}_3(\sqrt6)$ はともに 2 次拡大である。$\sqrt3=x+y\sqrt6$ とすると $3=x^2+6y^2+2xy\sqrt6$ から $xy=0$ で、$x^2=3$（付値が奇数で不可能）か $y^2=\tfrac12$ となる。後者では $y$ は $\mathbb{Z}_3$ の単元で $y^2\equiv1\pmod3$ だが $\tfrac12\equiv2\pmod3$ なので不可能である。よって $\mathbb{Q}_3(\sqrt3)\not\subset\mathbb{Q}_3(\sqrt6)$ である。
2 行目：$3^2-2=7$、$2\cdot3\not\equiv0\pmod7$ なので、Henselの補題 の定理「Hensel の補題：単純根の持ち上げ」により $X^2-2$ は $\mathbb{Z}_7$ に根 $\alpha\equiv3$ をもつ。$\overline{\mathbb{Q}}\subset\overline{\mathbb{Q}_7}$ とみて、$\overline{\mathbb{Q}_7}$ の絶対値を $\overline{\mathbb{Q}}$ に制限して使う。$|\beta-\alpha|\le7^{-1}<1=|2\alpha|$ なので不等式は成り立つが、$\mathbb{Q}(\sqrt2)\not\subset\mathbb{Q}$ である。ここでは lem-krl-conjugate が成り立たない。$\mathbb{Q}$ 上の準同型 $\sqrt2\mapsto-\sqrt2$ について $|-\alpha-3|=|(\alpha-3)+6|=1$ だが $|\alpha-3|<1$ である。
3 行目：$\mathbb{F}_p(\!(t)\!)$ は $t$ 進絶対値について完備である（局所体 の例「有限体上の形式的Laurent級数体」）。$\alpha$ を $X^p-t$ の根とすると $X^p-t=(X-\alpha)^p$ なので、$\alpha$ の共役は $\alpha$ だけで、条件「共役 $\alpha'\ne\alpha$ のすべてについて」は空であり、$\beta=0$ でも成り立つ。$0$ でない $f\in K$ の係数が $0$ でない最低次の項の次数を $\operatorname{ord}_t(f)$ と書く（$t$ 進付値）と、$\alpha\in K$ なら $p\cdot\operatorname{ord}_t(\alpha)=\operatorname{ord}_t(t)=1$ となって矛盾するので、$K(\alpha)\not\subset K=K(0)$ である。
補足
prf-krl-main で使った $K$ の性質は、絶対値が非アルキメデス的であることと、有限次拡大への延長が一意であることだけである。非アルキメデス的な絶対値をもつ体で、すべての代数拡大への延長が一意になるものは、Hensel 体（Hensel の補題が成り立つ体）と同じものである（Neu99 Chapter II, (6.6) Theorem, p. 147。この記事では証明しない）。したがって Krasner の補題は Hensel 体の上でも同じ証明で成り立つ。表の 2 行目の $\mathbb{Q}$ は、$7$ 進絶対値について Hensel 体でない例である。
関連項目
参考文献
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