Krull位相
概要
Krull位相（Krull topology）とは、Galois 拡大 $L/K$ の Galois 群 $G=\operatorname{Gal}(L/K)$ に入れる位相で、$L$ の有限部分集合 $S$ の元をすべて固定する部分群 $G(S)$ の剰余類 $\sigma G(S)$ を開集合の基底とするものである。$L$ の有限個の元への作用が一致する自己同型を近いとみなす各点収束の位相であり、$G$ はコンパクトで Hausdorff かつ全不連結な位相群になる。有限次の拡大では離散位相であり、無限次の拡大では中間体と対応するのは閉部分群に限られる。
前提知識: Galois拡大, Galois群, 位相群, Tychonoffの定理
Krull 位相（Krull topology）とは、Galois 拡大 $L/K$ の Galois 群 $G=\operatorname{Gal}(L/K)$ に入れる位相で、$L$ の有限個の元への作用が一致する自己同型どうしを「近い」とみなすものである。正確には、$L$ の有限部分集合 $S$ ごとに $S$ の元をすべて固定する部分群 $G(S)$ を考え、その剰余類 $\sigma G(S)$ を開集合の基底とする。
有限次の Galois 拡大では Krull 位相は離散位相であり、Galois 群を有限群として扱えば足りる。$\overline{\mathbb Q}/\mathbb Q$ や $\overline{\mathbb F}_p/\mathbb F_p$ のような無限次の Galois 拡大では、Galois 群は無限群になり、部分群と中間体の対応を正しく述べるには位相が要る（無限次Galois理論）。Krull 位相で Galois 群はコンパクトで Hausdorff かつ全不連結な位相群になる。この記事では、Krull 位相の 3 通りの記述が一致すること、それが位相群の位相でありコンパクト・Hausdorff・全不連結であること、開部分群と部分群の閉包の記述、制限写像の連続性を証明する。
| 結果 | 内容 |
|---|---|
| prop-kt-descriptions | 有限集合の固定群、有限次 Galois 部分拡大、各点収束の 3 通りの記述 |
| thm-kt-compact | 位相群であり、コンパクト・Hausdorff・全不連結 |
| prop-kt-open | 開部分群 ＝ 閉で指数有限の部分群 ＝ ある $\operatorname{Gal}(L/E)$ を含む部分群 |
| prop-kt-closure | 部分群の閉包は、有限次の各段への制限で決まる |
| prop-kt-restriction | 制限写像は連続な開写像で、商と Galois 群が同型 |
定義
$L/K$ を Galois 拡大、すなわち正規かつ分離的な代数拡大とする（無限次でもよい。Galois拡大 の記事の定義「Galois拡大」）。$G=\operatorname{Gal}(L/K)$ を $L$ の $K$ 上の自己同型（$K$ の元を固定する体の自己同型）の群とする。$L$ の部分集合 $S$ について
$$
G(S):=\{\sigma\in G\mid \text{すべての }s\in S\text{ について }\sigma(s)=s\}
$$
とおく。これは $G$ の部分群であり、$G(S_1)\cap G(S_2)=G(S_1\cup S_2)$ である。$\sigma\in G$ について、剰余類 $\sigma G(S)$ は
$$
\sigma G(S)=\{\tau\in G\mid \text{すべての }s\in S\text{ について }\tau(s)=\sigma(s)\}
$$
と書ける（$\tau\in\sigma G(S)\iff\sigma^{-1}\tau\in G(S)$ だからである）。
$G$ の部分集合 $U$ が開集合であるとは、各 $\sigma\in U$ について、$L$ の有限部分集合 $S$ で $\sigma G(S)\subset U$ となるものがあることをいう。これで定まる $G$ の位相を Krull 位相という。
空集合と $G$ は開であり、開集合の和集合は開である。$U_1,U_2$ が開で $\sigma\in U_1\cap U_2$ なら、$\sigma G(S_i)\subset U_i$ となる有限集合 $S_1,S_2$ について $\sigma G(S_1\cup S_2)\subset U_1\cap U_2$ なので、共通部分も開である。よってこれは位相である。各 $\sigma G(S)$（$S$ は有限）は開集合である：$\tau\in\sigma G(S)$ なら $\tau G(S)=\sigma G(S)$ だからである。
以下、$K\subset E\subset L$ となる体 $E$ で $E/K$ が有限次 Galois 拡大であるもの全体を $\mathcal E$ と書く。$L$ の有限部分集合はつねにある $E\in\mathcal E$ に含まれ、$\mathcal E$ は包含について有向集合である（Galois群 の記事の補題「有限部分集合を含む有限次Galois部分拡大」）。$E\in\mathcal E$ と $\sigma\in G$ について $\sigma(E)=E$ であり（$x\in E$ の行き先は $x$ の最小多項式の根で、$E/K$ は正規なのでそれは $E$ に入る。$\sigma^{-1}$ にも同じことを使う）、$\operatorname{Gal}(L/E)=G(E)$ は制限写像 $G\to\operatorname{Gal}(E/K)$ の核として $G$ の正規部分群である。
3 通りの記述
$L/K$ を Galois 拡大、$G=\operatorname{Gal}(L/K)$ とする。次の 3 つの位相は一致する。
- Krull 位相。
- 各 $\sigma\in G$ について $\{\sigma\operatorname{Gal}(L/E)\mid E\in\mathcal E\}$ を近傍の基本系とする位相。
- $L$ に離散位相を入れた直積空間 $L^L=\prod_{x\in L}L$（写像 $L\to L$ の全体）の部分空間としての位相。すなわち各点収束の位相。
1 と 2。 $E\in\mathcal E$ は $K$ 上有限個の元 $S_E$ で生成されるので、$\operatorname{Gal}(L/E)=G(S_E)$ であり、$\sigma\operatorname{Gal}(L/E)$ は 1 の位相の開集合である。逆に有限集合 $S$ について $S\subset E$ となる $E\in\mathcal E$ をとれば $\sigma\operatorname{Gal}(L/E)\subset\sigma G(S)$ である。よって 2 つの基本系は互いに相手を含み合い、同じ位相を定める。
1 と 3。 直積位相では、点 $\varphi\in L^L$ の基本近傍は有限個の点 $x_1,\dots,x_n$ を選んで「$x_1,\dots,x_n$ での値が $\varphi$ と一致する写像の全体」とした集合である（各成分は離散なので、値の近傍として 1 点をとれる）。これを $G$ に制限すると、$\sigma\in G$ の基本近傍は $\{\tau\in G\mid\tau(x_i)=\sigma(x_i)\ (i=1,\dots,n)\}=\sigma G(\{x_1,\dots,x_n\})$ であり、Krull 位相の基本近傍そのものである。$\square$
3 の記述では、自己同型の列（有向族）$\sigma_\lambda$ が $\sigma$ に収束することは、$L$ の各元 $x$ について、$\lambda$ が十分先なら $\sigma_\lambda(x)=\sigma(x)$ となることである。「十分先」の範囲は $x$ ごとに違ってよい。
位相群としての性質
$L/K$ を Galois 拡大とする。Krull 位相で $G=\operatorname{Gal}(L/K)$ は位相群であり、コンパクトで Hausdorff かつ全不連結である。
位相群であること。 積が連続であることを示す。$\sigma\tau$ の基本近傍 $\sigma\tau G(S)$（$S$ は有限）をとる。$\sigma'\in\sigma G(\tau(S))$、$\tau'\in\tau G(S)$ とすると、$s\in S$ について $\tau'(s)=\tau(s)$、$\sigma'(\tau(s))=\sigma(\tau(s))$ なので $\sigma'\tau'(s)=\sigma\tau(s)$、すなわち $\sigma'\tau'\in\sigma\tau G(S)$ である。$\tau(S)$ も有限なので、積は $(\sigma,\tau)$ で連続である。逆元については、$\sigma'\in\sigma G(\sigma^{-1}(S))$ なら $s\in S$ について $\sigma'(\sigma^{-1}(s))=s$ なので $\sigma'^{-1}(s)=\sigma^{-1}(s)$、すなわち $\sigma'^{-1}\in\sigma^{-1}G(S)$ である。
Hausdorff であること。 $\sigma\ne\tau$ なら $\sigma(x)\ne\tau(x)$ となる $x\in L$ があり、開集合 $\sigma G(\{x\})$ と $\tau G(\{x\})$ は $x$ での値が違うので交わらない。
コンパクトであること。 $x\in L$ の $K$ 上の最小多項式の $L$ における根の集合を $R_x$ とする。$R_x$ は有限集合で、$x\in R_x$ であり、$\sigma\in G$ について $\sigma(x)\in R_x$ である（$\sigma$ は最小多項式の係数を動かさない）。よって $G\subset P:=\prod_{x\in L}R_x\subset L^L$ である。各 $R_x$ は有限な離散空間なのでコンパクトであり、Tychonoffの定理 により $P$ はコンパクトである。
$G$ が $P$ の閉集合であることを示す。$\varphi\in P$ について、次の条件はどれも有限個の成分しか見ないので、それをみたす $\varphi$ の全体は $P$ の閉集合（離散な成分の有限個の値で決まる集合なので開かつ閉）である。
- $a\in K$ について $\varphi(a)=a$。
- $x,y\in L$ について $\varphi(x+y)=\varphi(x)+\varphi(y)$、$\varphi(xy)=\varphi(x)\varphi(y)$。
これらすべてをみたす $\varphi$ の全体を $Q$ とすると、$Q$ は閉集合の共通部分として閉である。$G\subset Q$ は明らかである。逆に $\varphi\in Q$ は $K$ の元を固定する環準同型 $L\to L$ で、$\varphi(1)=1$ なので体の準同型、とくに単射である。全射であることを示す。$x\in L$ について、$\varphi$ は $R_x$ を $R_x$ の中へ写し（$\varphi$ は最小多項式の係数を固定する）、単射なので有限集合 $R_x$ の上で全単射であり、$x\in R_x$ は $\varphi$ の像に入る。よって $\varphi\in G$ で、$G=Q$ は $P$ の閉集合である。コンパクト空間の閉集合はコンパクトであり、prop-kt-descriptions の 3 により $P$ からの部分空間の位相は Krull 位相なので、$G$ はコンパクトである。
全不連結であること。 $G$ の部分集合 $C$ が 2 点 $\sigma\ne\tau$ を含むとする。$\sigma(x)\ne\tau(x)$ となる $x$ をとると、$\sigma G(\{x\})$ は開集合であり、その補集合は他の剰余類（開集合）の和なので閉集合でもある。この開かつ閉な集合は $\sigma$ を含み $\tau$ を含まないので、$C$ は連結でない。よって連結成分は 1 点だけである。$\square$
Galois群 の記事の定理「副有限群としてのGalois群」は、制限写像が $G$ から有限群 $\operatorname{Gal}(E/K)$（$E\in\mathcal E$、離散位相）の射影極限への位相群の同型を与えることを示している。上の定理はその位相的な帰結を、射影極限を経ずに直接示したものである。コンパクト・Hausdorff・全不連結な位相群は、有限群の射影極限として定義される副有限群と同じものであり（同記事の定理「コンパクトで完全不連結な位相群」）、Galois 群は副有限群の代表例である。
開部分群と閉包
$G=\operatorname{Gal}(L/K)$ の部分群 $H$ について、次は同値である。
- $H$ は開である。
- $H$ は閉で、指数 $[G:H]$ が有限である。
- ある $E\in\mathcal E$ について $\operatorname{Gal}(L/E)\subset H$ である。
とくに $\{\operatorname{Gal}(L/E)\mid E\in\mathcal E\}$ は、単位元の近傍の基本系をなす開正規部分群の族である。
1 ⇒ 2。 $G$ は交わらない開集合 $\sigma H$ の和なので、コンパクト性から剰余類は有限個であり、$H$ の補集合は開集合 $\sigma H$（$\sigma\notin H$）の和なので $H$ は閉である。
2 ⇒ 1。 $H$ の補集合は有限個の剰余類 $\sigma H$（$\sigma\notin H$）の和であり、各剰余類は閉集合 $H$ の同相写像 $\tau\mapsto\sigma\tau$ による像なので閉である。よって補集合は閉で、$H$ は開である。
1 ⇔ 3。 $H$ が開なら、prop-kt-descriptions の 2 を単位元に使って $\operatorname{Gal}(L/E)\subset H$ となる $E\in\mathcal E$ がある。逆に $\operatorname{Gal}(L/E)\subset H$ なら、$H$ は開集合 $h\operatorname{Gal}(L/E)$（$h\in H$）の和なので開である。最後の主張は prop-kt-descriptions の 2 と、$\operatorname{Gal}(L/E)$ が正規部分群であることによる。$\square$
$G$ の部分群 $H$ の Krull 位相に関する閉包 $\overline H$ は部分群であり、
$$
\overline H=\bigcap_{E\in\mathcal E}H\operatorname{Gal}(L/E)=\{\sigma\in G\mid \text{各 }E\in\mathcal E\text{ について }\sigma|_E\in\{h|_E\mid h\in H\}\}
$$
である。
$N_E:=\operatorname{Gal}(L/E)$ とおく。$\sigma\in\overline H$ は、$\sigma$ のすべての基本近傍 $\sigma N_E$（$E\in\mathcal E$）が $H$ と交わることと同値である（prop-kt-descriptions の 2）。$h=\sigma n$（$h\in H$、$n\in N_E$）なら $\sigma=hn^{-1}\in HN_E$ であり、逆に $\sigma=hn$ なら $h=\sigma n^{-1}\in\sigma N_E\cap H$ である。よって $\sigma N_E\cap H\ne\emptyset\iff\sigma\in HN_E$ であり、最初の等式を得る。$N_E$ は制限 $G\to\operatorname{Gal}(E/K)$ の核なので、$\sigma\in HN_E$ は $\sigma|_E=h|_E$ となる $h\in H$ があることと同値であり、2 つ目の等式を得る。$N_E$ は正規なので $HN_E$ は部分群であり、その共通部分 $\overline H$ も部分群である。$\square$
無限次Galois理論 の記事の補題「固定体の群は閉包」は、$\overline H$ が $H$ の固定体 $L^H$ に対する $\operatorname{Gal}(L/L^H)$ に等しいことを示している。そのため、中間体と 1 対 1 に対応するのは閉部分群であり、閉でない部分群は固定体だけでは見分けられない。
中間体と制限写像
$L/K$ を Galois 拡大、$M$ を中間体とする。
- $L/M$ も Galois 拡大であり、$\operatorname{Gal}(L/M)$ の（$L/M$ についての）Krull 位相は、$G$ からの部分空間の位相に一致する。
- $M/K$ が Galois 拡大なら、制限写像 $\mathrm{res}\colon G\to\operatorname{Gal}(M/K)$、$\sigma\mapsto\sigma|_M$ は連続で全射な開写像であり、位相群の同型 $G/\operatorname{Gal}(L/M)\cong\operatorname{Gal}(M/K)$ を引き起こす（左辺は商位相）。
1。 $L/M$ が Galois であることは Galois拡大 の記事の命題「中間体からのGalois性」による。$H:=\operatorname{Gal}(L/M)$ と有限集合 $S\subset L$ について、$L/M$ についての固定群 $H(S)$ は $H\cap G(S)$ であり、$\sigma\in H$ について $\sigma H(S)=H\cap\sigma G(S)$ である。両方の位相の基本近傍が一致するので、位相は等しい。
2。 $\sigma(M)=M$ と全射性は 無限次Galois理論 の記事の補題「自己同型の延長」による。$\Gamma:=\operatorname{Gal}(M/K)$ とし、その基本開集合 $\tau\Gamma(S)$（$S\subset M$ は有限）をとる。$\sigma_0\in\mathrm{res}^{-1}(\tau)$ を 1 つ選ぶと、$\sigma|_M\in\tau\Gamma(S)$ は $\sigma(s)=\tau(s)=\sigma_0(s)$（$s\in S$）と同値なので、逆像は開集合 $\sigma_0G(S)$ である。よって $\mathrm{res}$ は連続である。
$H=\operatorname{Gal}(L/M)$ は $\mathrm{res}$ の核なので、$\mathrm{res}$ は群の同型 $\overline{\mathrm{res}}\colon G/H\to\Gamma$ を引き起こし、商位相の定義により $\overline{\mathrm{res}}$ は連続である。$G/H$ はコンパクト空間 $G$ の連続像なのでコンパクトであり、$\Gamma$ は thm-kt-compact により Hausdorff である。コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全単射は閉写像なので同相写像である。位相群では商への射影 $q\colon G\to G/H$ は開写像である（開集合 $U$ について $q^{-1}(q(U))=\bigcup_{h\in H}Uh$ は開）。よって $\mathrm{res}=\overline{\mathrm{res}}\circ q$ は開写像である。$\square$
例
$L/K$ が有限次なら $L\in\mathcal E$ であり、$\operatorname{Gal}(L/L)=\{1\}$ が開なので、Krull 位相は離散位相である。すべての部分群は開かつ閉である。
$L=\overline{\mathbb F}_p$、$K=\mathbb F_p$ とし、$\phi(x)=x^p$ を Frobenius 写像とする。$\overline{\mathbb F}_p$ の有限部分体は各 $n\ge1$ についてただ 1 つの $\mathbb F_{p^n}$ で、$\operatorname{Gal}(\mathbb F_{p^n}/\mathbb F_p)$ は $\phi|_{\mathbb F_{p^n}}$ が生成する位数 $n$ の巡回群である（有限体 の記事の定理「有限体の自己同型群」）。
- 開部分群。 prop-kt-open により、開部分群は $\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb F}_p/\mathbb F_{p^n})$ を含む部分群である。
- 収束列。 $\phi^{n!}$ は $\mathbb F_{p^m}$（$m\le n$）の元をすべて固定する（$m\mid n!$ だから）。したがって各 $m$ について $n\ge m$ なら $\phi^{n!}\in\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb F}_p/\mathbb F_{p^m})$ であり、列 $\phi^{n!}$ は Krull 位相で恒等写像に収束する。一方、どの $\phi^{n!}$ も $\mathbb F_{p^{n!+1}}$ の生成元を動かすので恒等写像ではない。
- 稠密な部分群。 各 $E=\mathbb F_{p^n}$ について $\langle\phi\rangle$ の制限は $\operatorname{Gal}(E/\mathbb F_p)$ 全体なので、prop-kt-closure により $\overline{\langle\phi\rangle}=G$ である。しかし $G$ は $\widehat{\mathbb Z}=\varprojlim_n\mathbb Z/n\mathbb Z$ と同型な非可算の群であり（Galois群 の記事の例「有限体と $\hat{\mathbb{Z}}$」、MilFT Example 7.17）、可算な $\langle\phi\rangle$ とは一致しない。
$S_0:=\{-1\}\cup\{\text{素数}\}$、$L:=\mathbb Q(\sqrt s\mid s\in S_0)$ とする（$\sqrt{-1}=i$）。$\sigma\in G$ は $\sqrt s$ を $\pm\sqrt s$ に移し、$L$ は $\sqrt s$ たちで生成されるので、
$$
\chi\colon G\to\prod_{s\in S_0}\{\pm1\},\qquad \sigma\mapsto\bigl(\sigma(\sqrt s)/\sqrt s\bigr)_{s\in S_0}
$$
は単射な群準同型である。$s$ 成分が $\sigma$ の値 $\sigma(\sqrt s)$ だけで決まるので、$\chi$ は Krull 位相と直積位相について連続である。$\chi$ は全射であり（無限次Galois理論 の記事の例「平方根をすべて添加した体」）、コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全単射なので同相写像である。こうして Krull 位相は、$\{\pm1\}$ の可算無限個の直積の直積位相と一致する。有限個の $s_1,\dots,s_r$ について $\operatorname{Gal}(L/\mathbb Q(\sqrt{s_1},\dots,\sqrt{s_r}))$ は、$s_1,\dots,s_r$ 成分が $1$ である元の全体に対応する。
反例：条件を外すと成り立たない
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $L/K$ が代数拡大 | $\operatorname{Aut}(\mathbb Q(t)/\mathbb Q)$ に同じ位相を入れる | 群がコンパクト |
| $S$ が有限集合 | $\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb F}_p/\mathbb F_p)$ で、任意の部分集合 $S$ の $\sigma G(S)$ を開とする | 群がコンパクト |
| 部分群が閉（prop-kt-open の 2） | ex-kt-multiquadratic の $G$ の指数 $2$ の部分群で、閉でないもの | 指数が有限の部分群は開 |
1 行目：$L=\mathbb Q(t)$（有理関数体）は $\mathbb Q$ 上の代数拡大でない。$a\in\mathbb Q$ について $t\mapsto t+a$ は $\mathbb Q(t)$ の $\mathbb Q$ 上の自己同型 $\sigma_a$ を定め、$\sigma_a$ は互いに異なるので $\operatorname{Aut}(\mathbb Q(t)/\mathbb Q)$ は無限群である。自己同型は $t$ の行き先で決まるので、$G(\{t\})=\{1\}$ は開であり、同じ定義の位相は離散位相になる。無限の離散空間はコンパクトでない（1 点集合による開被覆が有限部分被覆をもたない）。thm-kt-compact の証明では、$t$ の行き先の候補の集合 $R_t$ が有限であることが崩れている。
2 行目：$S=\overline{\mathbb F}_p$ とすると $G(S)=\{1\}$ が開になり、位相は離散位相である。$G$ は無限群なのでコンパクトでない。$S$ を有限に限ることが、各点収束の位相（prop-kt-descriptions の 3）を与えていた。
3 行目：$G\cong V:=\prod_{s\in S_0}\mathbb F_2$（$\{\pm1\}$ を加法群 $\mathbb F_2$ と書き、$\mathbb F_2$ 上のベクトル空間とみる）とし、有限個の成分を除いて $0$ である元の全体を $W$ とする。$W\ne V$ なので、$W$ の基底を $V$ の基底に延ばし（Zornの補題、したがって選択公理を使う）、$W$ に入らない基底ベクトル $v_0$ で $1$、他の基底ベクトルで $0$ となる線形写像 $\lambda\colon V\to\mathbb F_2$ をとる。$H:=\ker\lambda$ は指数 $2$ の部分群で、$W\subset H\ne V$ である。$V$ の空でない基本開集合は有限個の成分の値を指定した集合であり、それらの成分の値をそのままにして残りを $0$ にした元が $W$ に入るので、$W$ は稠密であり、$H$ も稠密である。$H$ が閉なら $H=\overline H=V$ となって矛盾するので、$H$ は閉でなく、prop-kt-open により開でもない。
補足
$K$ の分離閉包 $K^{\mathrm{sep}}$ について $\operatorname{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K)$ は $K$ の絶対Galois群であり、これも Krull 位相を込めて扱う。$K$ の有限次分離拡大は、絶対 Galois 群の開部分群に対応する（無限次Galois理論 の記事の定理「無限次Galois理論の基本定理」の 2）。Krull 位相は MilFT Proposition 7.6（p. 122）で単位元の近傍の基本系 $G(S)$ によって定義され、制限写像の連続性と全射性は Proposition 7.7、コンパクト性と全不連結性は Proposition 7.8（p. 123）にある。同書はコンパクト性を、有限群の直積の閉部分群として示す。この記事では有限集合 $R_x$ の直積を使い、自己同型の条件が閉条件であることから直接示した。部分群の閉包と固定体の関係は同書 Proposition 7.12（p. 125）にある。
関連項目
参考文献
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