カップ積

1. 球面 $S^n$（$n\ge1$）：$H^*(S^n;R)=R\cdot1\oplus R\cdot u$（$u\in H^n$ は生成元）で、$u\smile u\in H^{2n}(S^n;R)=0$ なので $H^*(S^n;R)\cong R[u]/(u^2)$ である（加法的な構造は 特異コホモロジー の例「球面のコホモロジー」）。
2. $n$ 次元トーラス $T^n$：$H^*(T^n;R)\cong\Lambda_R[\alpha_1,\dots,\alpha_n]$（次数 $1$ の $\alpha_i$ が生成する外積代数）であり、$n=2$ は thm-cup-product-torus である（Hat02 Example 3.16 は Künneth の定理 Theorem 3.15 から導く）。$H^k$ の階数 $\binom nk$ は $T^n$ の Betti数 である。
3. 実射影空間：$H^*(\mathbb{RP}^n;\mathbb{Z}/2)\cong(\mathbb{Z}/2)[\alpha]/(\alpha^{n+1})$（$\deg\alpha=1$）。実射影空間 の定理「$\mathbb{Z}/2$ 係数のコホモロジー環」が証明している（Hat02 Theorem 3.19 も参照）。次数 $1$ の $\alpha$ の平方が $0$ でないのは、係数 $\mathbb{Z}/2$ では $2=0$ だからで、thm-cup-product-graded-commutative と矛盾しない。
4. 複素射影空間：$H^*(\mathbb{CP}^n;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}[\alpha]/(\alpha^{n+1})$（$\deg\alpha=2$）。複素射影空間 の定理「複素射影空間のコホモロジー環」が証明している（Hat02 Theorem 3.19）。

1. thm-cup-product-torus の計算で $(\alpha\smile\beta)(U)=0$、$(-\beta\smile\alpha)(U)=-1$ なので、$\alpha\smile\beta$ と $-\beta\smile\alpha$ は余鎖として異なる。両者の差 $\alpha\smile\beta+\beta\smile\alpha$ は $L,U$ でともに $1$ をとる余鎖で、$\varphi(a)=\varphi(b)=0$、$\varphi(c)=-1$ の $\varphi$ の余境界 $\delta\varphi$ に等しい。特異余鎖で見ても同じで、$\Delta^\bullet$ への制限がそれぞれ $\alpha,\beta$ になる特異余輪体 $\varphi,\psi$（制限はコホモロジーの同型を誘導し、$\Delta^1$ の余境界は $0$ だけなので存在する）について $(\varphi\smile\psi)(U)=\alpha(b)\beta(a)=0$、$(\psi\smile\varphi)(U)=\beta(b)\alpha(a)=1$ である。次数付き可換性（thm-cup-product-graded-commutative）はコホモロジー類についての等式であり、余鎖の等式ではない（特異コホモロジー の定理「コホモロジー環と次数付き可換性」の後の注意と同じ内容）。
2. $H^1(\mathbb{RP}^2;\mathbb{Z}/2)$ の生成元 $\alpha$ は $\alpha\smile\alpha\ne0$ をみたす（ex-cup-product-rings の 3）。thm-cup-product-graded-commutative から出るのは $2\,\alpha\smile\alpha=0$ だけで、$\mathbb{Z}/2$ では $2=0$ なので何も言わない。破るのは「$2$ が可逆」という仮定である。
3. cor-cup-product-distinguish のとおり。満たす性質は「コホモロジー群（したがって Betti 数）がすべて同型」、破る含意は「コホモロジー群が同型なら環として同型」「コホモロジー群が同型ならホモトピー同値」である。
4. と 5. は次の ex-cup-product-non-open である。
   6 行目（被約懸垂）の確かめを開く

   空間と係数環．$Y=\{0\}\cup\{1/m\mid m\ge1\}$ の被約懸垂 $E=(Y\times[0,1])/(Y\times\{0,1\}\cup\{0\}\times[0,1])$ は、$[y,s]\mapsto(y(1-\cos2\pi s),\,y\sin2\pi s)$ により ハワイの耳飾り $H=\bigcup_mC_m$ と同相である（矛盾なく定まる連続な全単射で、$E$ はコンパクト、$H$ は Hausdorff）。基点は原点 $o$ である。被約でない懸垂では prop-cup-product-two-contractible により正次数の積はすべて $0$ である。$M=N=\prod_{i\ge1}\mathbb Z$、$T:=M\otimes_{\mathbb Z}N$（有限和からなるテンソル積）とし、加法群 $R=\mathbb Z\oplus M\oplus N\oplus T$ に積 $(z,m,n,t)(z',m',n',t')=(zz',zm'+z'm,zn'+z'n,zt'+z't+m\otimes n'+m'\otimes n)$ を入れる。これは、$M$ どうしの積を $0$ とする環 $\mathbb Z\oplus M$ と、同様の環 $\mathbb Z\oplus N$ のテンソル積 $(\mathbb Z\oplus M)\otimes_{\mathbb Z}(\mathbb Z\oplus N)$ と同じものなので、単位元 $(1,0,0,0)$ をもつ可換環である。

   余輪体．円周 $S^1=\mathbb R/\mathbb Z$ の特異 1 単体 $\sigma$ について、$\mathbb R$ への持ち上げ $\tilde\sigma$ をとり $w(\sigma):=\lfloor\tilde\sigma(e_1)\rfloor-\lfloor\tilde\sigma(e_0)\rfloor$ とおく。これは持ち上げの取り方によらず、特異 2 単体も持ち上がるので $w(\partial\tau)=0$ である。すなわち $w$ は整数値の 1 余輪体で、定値の単体では $0$、閉じた道ではその巻き数をとる。ハワイの耳飾り の補題「各円周はレトラクトである」のレトラクション $r_m\colon H\to C_m$ と、$C_m$ を正の向きに $S^1$ と同一視する同相を使い、特異 1 単体 $\sigma$ に $a(\sigma):=(w(r_{2i-1}\sigma))_i\in M$、$b(\sigma):=(w(r_{2j}\sigma))_j\in N$ を対応させる。$R$ に値をとる 1 余輪体とみなしたものの類を $\alpha,\beta\in H^1(H;R)$ とする。

   積が 0 だと仮定する．$\alpha\smile\beta=0$ なら、$R$ 値の 1 余鎖 $h_R$ で $\delta h_R=a\smile b$ となるものがある。$(a\smile b)(\tau)=a(\tau|[e_0,e_1])\otimes b(\tau|[e_1,e_2])\in T$ なので、$h_R$ の $T$ 成分 $h$ は、特異 2 単体 $\tau$ について $h(\partial\tau)=a(\tau|[e_0,e_1])\otimes b(\tau|[e_1,e_2])$ を満たす。定値の 2 単体に使うと、定値の 1 単体 $c$ で $h(c)=0$ である。$o$ を基点とするループ $u,v$ の積 $u\cdot v$ と、頂点 $e_0,e_1,e_2$ を $0,\tfrac12,1$ に送るアフィン写像 $\Delta^2\to[0,1]$ との合成を $\tau$ とすると、$\partial\tau=v-u\cdot v+u$ なので、$t:=-h$ について $t(u\cdot v)=t(u)+t(v)+a(u)\otimes b(v)$ である。基点を止めたホモトピー $F\colon[0,1]^2\to H$ の正方形を対角線で 2 つの 2 単体に分けて同じ式を使うと、左右の辺が定値なので、$h$ の値はループのホモトピー類だけで決まる（$a,b$ は余輪体なので同様）。よって $G:=\pi_1(H,o)$ の上で、$a\colon G\to M$ と $b\colon G\to N$ は準同型であり、$t\colon G\to T$ は上の式を満たす。

   Heisenberg 群との比較．$H_{\mathbb Z}:=\mathbb Z^3$ に積 $(m,n,z)(m',n',z')=(m+m',n+n',z+z'+mn')$ を入れた群を考える。$i,j\ge1$ とする。$H$ を $C_{2i-1}\cup C_{2j}$ にレトラクトする写像 $r_{ij}$（ほかの円周を $o$ につぶす。同補題）と、2 つの円周の一点和の基本群が各円周を正の向きに 1 周するループ $A,B$ を基底とする自由群であること（Hat02 Example 1.21、p. 43）から、準同型 $\Phi_{ij}\colon G\to H_{\mathbb Z}$ で、$(r_{ij})_*$ を通して $A,B$ を $(1,0,0)$、$(0,1,0)$ に送るものがある。その第 1・第 2 成分は $C_{2i-1}$、$C_{2j}$ の巻き数、すなわち $a$ の第 $i$ 成分 $a_i$ と $b$ の第 $j$ 成分 $b_j$ に等しい（どちらも準同型で、$A,B$ での値が一致する）。第 3 成分 $t_{ij}$ は $t_{ij}(uv)=t_{ij}(u)+t_{ij}(v)+a_i(u)b_j(v)$ を満たす。$(1,0,0)(0,1,0)(-1,0,0)(0,-1,0)=(0,0,1)$ である。$e_{ij}\colon T\to\mathbb Z$ を $m\otimes n\mapsto m_in_j$ で定めると、$\chi_{ij}:=e_{ij}\circ t-t_{ij}$ は交差の項 $a_i(u)b_j(v)$ が打ち消し合うので準同型 $G\to\mathbb Z$ である。

   準同型 $G\to\mathbb Z$ は小さいループを消す．$H_{\ge n}:=\bigcup_{m\ge n}C_m$ とおく。任意の準同型 $\chi\colon G\to\mathbb Z$ について、ある $n$ があって、$H_{\ge n}$ の中のループはすべて $\chi$ で $0$ に写ることを示す。そうでないとすると、各 $n$ で $H_{\ge n}$ のループ $x_n$ で $a_n:=\chi(x_n)>0$ となるものがとれる（必要なら向きを逆にする）。$k_n:=a_n+2$ とおく。$N\ge1$ について $y^N_{N+1}$ を定値ループとし、$n\le N$ について $y^N_n:=x_n\cdot(y^N_{n+1})^{k_n}$（前半で $x_n$ をたどり、後半を $k_n$ 等分して $y^N_{n+1}$ を並べる）と定める。$N< N'$ なら $y^N_n$ と $y^{N'}_n$ は、両方の値が $H_{\ge N+1}$ に入る区間でしか違わず、$H_{\ge N+1}$ の点は原点から $2/(N+1)$ 以内にある。$H$ はコンパクトで完備なので、$y^N_n$ は $N\to\infty$ で連続なループ $y_n$ に一様に収束し、$y_n=x_n\cdot(y_{n+1})^{k_n}$ が成り立つ。$z_n:=\chi(y_n)$ とおくと $z_n=a_n+k_nz_{n+1}$ なので、$P_0:=1$、$P_N:=\prod_{n\le N}k_n$、$S_N:=\sum_{n\le N}a_nP_{n-1}$ について $z_1=S_N+P_Nz_{N+1}$ である。$S_N\ge N$ であり、$D_N:=P_N-S_N$ は $D_1=2$、$D_N-D_{N-1}=P_{N-1}\ge1$ を満たす。$S_N>\lvert z_1\rvert$ かつ $D_N>\lvert z_1\rvert$ となる $N$ をとると、$z_{N+1}\ge0$ なら $z_1\ge S_N$、$z_{N+1}\le-1$ なら $z_1\le-D_N$ となり、どちらも矛盾する。

   無限個の交換子．$A_n,B_n$ を $C_{2n-1},C_{2n}$ を正の向きに 1 周するループ、$c_n:=A_nB_nA_n^{-1}B_n^{-1}$ とし、ループ $\Gamma$ を、区間 $[1-2^{1-n},1-2^{-n}]$ で $c_n$ をたどり $\Gamma(1)=o$ となるものと定める（$c_n$ の像は原点から $2/(2n-1)$ 以内にあるので $\Gamma$ は連続）。準同型 $\chi\colon G\to\mathbb Z$ に前段の $n$ をとり、$2r-1\ge n$ とする。区切りの時刻を動かす付け替えにより、$\Gamma$ は $c_1\cdots c_{r-1}$ と $H_{\ge2r-1}$ の中のループとの積にホモトピックで、$\mathbb Z$ は可換なので $\chi(\Gamma)=0$ である。一方 $r_{ij}\circ\Gamma$ では、$i\ne j$ なら $A_iA_i^{-1}$ と $B_jB_j^{-1}$ にあたる部分だけが、$i=j$ なら $A_iB_iA_i^{-1}B_i^{-1}$ だけが定値でなく残るので、$t_{ij}(\Gamma)=\delta_{ij}$ である。よって $e_{ij}(t(\Gamma))=\chi_{ij}(\Gamma)+t_{ij}(\Gamma)=\delta_{ij}$ である。

   矛盾．$t(\Gamma)\in T$ は有限和 $\sum_{l=1}^sm^l\otimes n^l$ なので、行列 $(e_{ij}(t(\Gamma)))_{i,j}=(\sum_lm^l_in^l_j)_{i,j}$ の左上の $s+1$ 次の正方部分は $\mathbb Q$ 上の階数が $s$ 以下である。しかしそれは単位行列なので階数は $s+1$ であり、矛盾する。よって $\alpha\smile\beta\ne0$ である。$\square$

$X=\mathbb{RP}^2$、係数を $\mathbb{Z}/2$ とし、$x\in H^1(X;\mathbb{Z}/2)$ を生成元とする（$x\smile x\ne0$。ex-cup-product-rings の 3）。選択公理を使うと、$A\cup B=X$、$A\cap B$ が 1 点で、$A$ も $B$ も連続な道としては定値な道しか含まない部分集合 $A,B\subset X$ が作れる。このとき $H^k(A;\mathbb{Z}/2)=H^k(B;\mathbb{Z}/2)=0$（$k\ge1$）である。

1. 双線形写像 $H^1(X,A)\times H^1(X,B)\to H^2(X,A\cup B)$ で thm-cup-product-relative の 3 の式をみたすものはない。$A,B$ は開集合でなく、それぞれの内部は空である。
2. $A\times[0,1]$ と $B\times[0,1]$ の高さ $1$ の面をそれぞれ $A,B\subset X$ に貼り、高さ $0$ の面をそれぞれ別の 1 点につぶした空間を $Z$、2 つの錐の像を $C_A,C_B$ とする。$C_A,C_B$ は可縮な部分空間で $Z=C_A\cup C_B$ だが、$y\smile y\ne0$ となる $y\in H^1(Z;\mathbb{Z}/2)$ がある。
   構成と確かめを開く

   $A,B$ の構成。$X$ には $d([u],[v]):=\min(\lvert u-v\rvert,\lvert u+v\rvert)$（$u,v\in S^2$）で商位相と同じ位相を与える距離が入り、$X$ はコンパクトで可算な開基をもち、$\lvert X\rvert=\mathfrak{c}$（連続体の濃度）で、孤立点をもたない。孤立点のない空でない閉集合を完全集合という。(a) 完全集合 $K$ は $\mathfrak{c}$ 個の点をもつ：$K$ の空でない相対開集合は 2 点以上を含むので、有限の 0–1 列 $s$ ごとに $K$ の空でない相対開集合 $V_s$ を、閉包 $K_s$ の直径が $2^{-\lvert s\rvert}$ 以下で $K_{s0},K_{s1}\subset V_s$ が交わらないように選べ、無限列 $b$ ごとに $\bigcap_mK_{b|m}$ はただ 1 点からなり、異なる列は異なる点を与える。(b) 閉集合は高々 $\mathfrak{c}$ 個なので（補集合は可算な開基の部分族の和）、空でない完全集合を $K_\alpha$（$\alpha<\kappa$、$\kappa\le\mathfrak{c}$ は始数）と整列して並べられる。超限帰納法で、それまでに選んだ点と異なる 2 点 $a_\alpha\ne b_\alpha\in K_\alpha$ を選ぶ（選んだ点は $2\lvert\alpha\rvert<\mathfrak{c}$ 個以下で、$\lvert K_\alpha\rvert=\mathfrak{c}$ なので選べる）。$B_0:=\{b_\alpha\}$、$A_0:=X\setminus B_0$ とすると、どの $K_\alpha$ も $A_0$ と $B_0$ の両方と交わるので、$A_0$ も $B_0$ も空でない完全集合を含まない。(c) 点 $z$ を 1 つとり、$A:=A_0\cup\{z\}$、$B:=B_0\cup\{z\}$ とおく。$A$ が完全集合 $K$ を含めば、$p\in K\setminus\{z\}$ と $r< d(p,z)/2$ について $V:=\{q\in K\mid d(p,q)< r\}$ の閉包 $K'$ は $z$ を含まない完全集合で（孤立点 $q$ があれば $q\in V$ で、$q$ は $K$ でも孤立する）、$A_0$ に含まれて矛盾する。$B$ も同様である。(d) 定値でない道の像はコンパクトで連結な 2 点以上の距離空間であり、孤立点があればそれは開かつ閉なので孤立点をもたず、完全集合である。よって $A,B$ の道は定値で、$\Delta^m$ は線分で結べるので $A,B$ の特異単体はすべて定値である。特異コホモロジー の例「一点と離散空間」の議論により $k\ge1$ で $H^k(A;\mathbb{Z}/2)=H^k(B;\mathbb{Z}/2)=0$ である。$A$ が内点をもてば、その小さい開球は完全集合（小さい閉球の像）を含むので、内部は空である。

   1 の確かめ。対の長完全列 $H^1(X,A)\to H^1(X)\to H^1(A)=0$（特異コホモロジー の定理「対の長完全列」）により $x=j_A^*a$ となる $a$ があり、同様に $x=j_B^*b$ となる $b$ がある。主張の写像があれば $x\smile x=j^*(a\smile b)$ で、$a\smile b\in H^2(X,X)=0$ なので $x\smile x=0$ となり矛盾する。

   2 の確かめ。$Z$ は $X\sqcup A\times I\sqcup B\times I$ の商で、$X$ の補集合は $A\times[0,1)$ と $B\times[0,1)$ の像の和なので $X$ は閉集合である。$C_A$ が錐 $A\times I/A\times\{0\}$ と同相であることを示す。包含から誘導される写像は連続な単射である。錐の開集合 $V$ について、$V$ の高さ $1$ の部分は $A$ の開集合なので $X$ の開集合 $O$ で $O\cap A$ に等しく、$O\sqcup(V\text{ の逆像})\sqcup(O\cap B)\times(\tfrac12,1]$ は同一視について飽和した開集合で、その像と $C_A$ の共通部分は $V$ である。よって $C_A$ は錐と同相で可縮であり、$C_B$ も同様である。$A\cup B=X$ なので $Z=C_A\cup C_B$ である。

   $U:=X\cup(A\times(\tfrac12,1]\text{ と }B\times(\tfrac12,1]\text{ の像})$ は $X$ の開近傍で、高さを $1$ へ押す写像で $X$ を変位レトラクトにもつ（開かつ飽和な集合への商写像の制限は商写像で、Hat02 Proposition A.17, p. 532 により $I$ との積も商写像なので連続である）。長完全列と五項補題から $H^k(Z,X)\cong H^k(Z,U)$ であり、$X$ は閉で $U$ は開なので、切除（特異コホモロジー の定理「Eilenberg–Steenrod の公理」の (3)）と加法性（同 (5)）により$$H^k(Z,U)\cong H^k(C'_A,A\times(\tfrac12,1))\times H^k(C'_B,B\times(\tfrac12,1))$$である（$C'_A,C'_B$ は $A\times[0,1)$、$B\times[0,1)$ の像で、開いた錐と同相で可縮）。$A\times(\tfrac12,1)\simeq A$ と $H^{k-1}(A)=0$（$k\ge2$）から、長完全列により右辺は $k\ge2$ で $0$ である。よって $H^1(Z)\to H^1(X)\to H^2(Z,X)=0$ は完全で、$y|_X=x$ となる $y$ がある。thm-cup-product-ring の 3 により $(y\smile y)|_X=x\smile x\ne0$ なので $y\smile y\ne0$ である。$\square$