Pontryagin双対

$K$ 上で $\lvert\chi\psi-\chi'\psi'\rvert\le\lvert\chi-\chi'\rvert+\lvert\psi-\psi'\rvert$（$\lvert\chi\rvert=\lvert\psi'\rvert=1$ を使う）、$\lvert\overline\chi-\overline{\chi'}\rvert=\lvert\chi-\chi'\rvert$ なので、積と逆元は連続である。$\chi\neq\psi$ なら $\chi(x)\neq\psi(x)$ となる $x$ があり、$K=\{x\}$、$\varepsilon=\lvert\chi(x)-\psi(x)\rvert/2$ の基本近傍で分離できる。$\square$

$z=e^{i\theta}\neq1$ とし、逆元に取り替えて $0<\theta\le\pi$ としてよい。$n\theta\ge\pi/3$ となる最小の $n\ge1$ をとると $\pi/3\le n\theta<\pi/3+\theta\le4\pi/3$ なので、$z^n$ の偏角は $[\pi/3,5\pi/3]$ に入り $\lvert z^n-1\rvert\ge1$ である。よって $z$ を含む部分群はこの円板に入らない。$\square$

群の同型であることは 離散Fourier変換 の命題「直積の双対群」と同じ計算で分かる（そこでの有限性は使っていない。連続性は射影・包含との合成で保たれる）。位相：$G_1\times G_2$ のコンパクト集合 $K$ は $K_1\times K_2$（$K_i$ は射影の像でコンパクト）に含まれ、$K_1\times K_2$ 上で $\lvert\chi_1\chi_2-\psi_1\psi_2\rvert\le\lvert\chi_1-\psi_1\rvert+\lvert\chi_2-\psi_2\rvert$ なので、写像は連続である。逆写像は $\chi\mapsto(\chi\circ\iota_1,\chi\circ\iota_2)$（$\iota_1(x_1)=(x_1,0)$ など）で、$K_1$ 上の一様収束は $K_1\times\{0\}$ 上の一様収束なので連続である。$\square$

$x$ の位数が無限なら $nx\mapsto(-1)^n$、有限の $m\ge2$ なら $nx\mapsto e^{2\pi in/m}$ と定めると、$\langle x\rangle$ の準同型で値 $\chi(x)\neq1$ となる。$\langle x\rangle$ を含む部分群 $H$ とその上の準同型 $H\to\mathbb{T}$ でこれを延ばすものの組を、延長の関係で順序づける。鎖の和集合は上界なので、Zorn の補題により極大な組 $(H,\chi_H)$ がある。$H\neq G$ と仮定し $y\notin H$ をとる。$\{n\in\mathbb{Z}\mid ny\in H\}$ は $\mathbb{Z}$ の部分群なので $k\mathbb{Z}$（$k\ge0$）の形である。$k=0$ なら $w:=1$、$k\ge1$ なら $w^k=\chi_H(ky)$ となる $w\in\mathbb{T}$ をとり、$\chi'(h+ny):=\chi_H(h)w^n$ と定める。$h+ny=h'+n'y$ なら $n-n'=qk$、$h'-h=qky$ なので $\chi_H(h')w^{n'}=\chi_H(h)w^{qk}w^{n'}=\chi_H(h)w^n$ となり、$\chi'$ は $H+\mathbb{Z}y$ の上で矛盾なく定まる準同型である。これは極大性に反するので $H=G$ である。離散群の上の準同型は連続なので $\chi_H\in\widehat G$ である。$\square$

段 1（連続性と単射性）．$G$ がコンパクトなら $\widehat G$ は離散的（thm-pd-compact-discrete の 1）なので、$\alpha_G(x)$ は連続であり、$\widehat{\widehat G}$ の位相は各点収束で、$x\mapsto\alpha_G(x)(\chi)=\chi(x)$ は連続なので $\alpha_G$ は連続である。$G$ が離散的なら $\widehat G$ の位相は各点収束なので $\alpha_G(x)$ は連続で、$\alpha_G$ は離散空間からの写像として連続である。$\alpha_G(x)=\chi_0$ ならすべての $\chi$ で $\chi(x)=1$ なので、lem-pd-separation により $x=0$ である。

段 2（$G$ が離散的なときの全射性）．$K:=\widehat G$ はコンパクト群である（thm-pd-compact-discrete の 2）。$\alpha_G(G)$ の線形包 $\mathcal A$ は、$\alpha_G(x)\alpha_G(y)=\alpha_G(x+y)$、$\overline{\alpha_G(x)}=\alpha_G(-x)$、$\alpha_G(0)=1$ により積・複素共役で閉じ定数を含む。$\chi\neq\chi'$ なら $\chi(x)\neq\chi'(x)$ となる $x$ があり、$\alpha_G(x)$ が $\chi,\chi'$ を分離する。Stone–Weierstrass の定理（Kna16b Theorem 10.50 (b)、p. 529）により $\mathcal A$ は $C(K)$ で一様稠密である。$\psi\in\widehat K$ が $\alpha_G(G)$ に入らないとすると、lem-pd-orthogonality により $\psi$ は $\mathcal A$ のすべての元と $L^2(K)$ で直交する。$\|\psi-a\|_\infty<1/2$ となる $a\in\mathcal A$ をとると、$\int\psi\overline a\,dx=0$ から $1=\int\psi\overline\psi\,dx=\bigl\lvert\int\psi\,\overline{(\psi-a)}\,dx\bigr\rvert\le1/2$ となって矛盾する。

段 3（$G$ がコンパクトなときの全射性）．$\Gamma:=\widehat G$ は離散群で、$\widehat\Gamma$ はコンパクトである。$\alpha_G(G)$ はコンパクト集合の連続像なので $\widehat\Gamma$ の閉部分群である。$\alpha_G(G)\neq\widehat\Gamma$ と仮定すると、$Q:=\widehat\Gamma/\alpha_G(G)$ は自明でない可換なコンパクト群であり（コンパクト群 の命題「基本的な構成」の 1）、lem-pd-separation により $Q$ の自明でない指標 $\theta$ がある。$\psi:=\theta\circ(\text{射影})$ は $\widehat\Gamma$ の自明でない指標で、$\alpha_G(G)$ の上で $1$ である。段 2 を離散群 $\Gamma$ に当てると、ある $\gamma\in\Gamma$ で $\psi=\alpha_\Gamma(\gamma)$、すなわち $\psi(\varphi)=\varphi(\gamma)$ である。$\psi(\alpha_G(x))=\alpha_G(x)(\gamma)=\gamma(x)=1$ がすべての $x$ で成り立つので $\gamma=\chi_0$ となり、$\psi=\alpha_\Gamma(\chi_0)$ は自明な指標で矛盾する。

段 4（同相性）．$G$ がコンパクトなら、$\alpha_G$ はコンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全単射なので同相写像である。$G$ が離散的なら $\widehat G$ はコンパクトなので $\widehat{\widehat G}$ は離散的で、離散空間の間の全単射は同相写像である。$\square$