スライス圏(∞圏)
概要
スライス圏(∞圏)（slice ∞-category）とは、固定した対象への射と、その射を保つ三角形および高次の整合を集めた∞圏である。余スライス圏は射の向きを逆にした構成であり、通常のスライス圏を高次の可換性へ拡張する。
定義
∞圏のスライス圏は、固定した対象への射を対象として集め、その射を保つ三角形と高次の整合を記録する。余スライス圏は固定した対象から出る射を集める双対の構成である。通常の可換三角形を、指定されたホモトピーを持つ三角形へ拡張する。
準圏 $C$ とは、すべての内角（内部ホーン）$\Lambda_i^n\to C$ が標準単体 $\Delta^n$ へ延長できる単体的集合である。ここで $0< i< n$ とし、角は第 $i$ 面だけを除いた面の集まりである。
0単体は $x\to c$、1単体は頂点 $(x,y,c)$ の三角形である。したがって $p\colon x\to c$ から $q\colon y\to c$ への射は、辺 $u\colon x\to y$ だけでなく、$p$ が $q$ と $u$ の合成になることを示す2単体も含む。2単体は頂点 $(x,y,z,c)$ の3単体であり、複数の三角形の整合を記録する。
準圏になる理由
$C_{/c}$ と $C_{c/}$ はともに準圏である。
$C_{/c}$ の内角 $\Lambda_i^n\to C_{/c}$ を与えると、$(\Lambda_i^n\star\Delta^0)\to C$ が与えられる。まず底の $\Lambda_i^n$ を、$C$ の内角充填で $\Delta^n$ へ延長する。これを付け加えた領域は $\Delta^{n+1}$ のうち第 $i$ 面以外のすべての面、すなわち $\Lambda_i^{n+1}$ である。再び内角を充填すれば、指定された頂点 $c$ を保った全単体を得る。余スライスでは順序を反転し、同じ二段階を用いる。各段階は既に与えられた面を変えない。
この論証は HTT09 Proposition 1.2.9.3 の対象スライスの場合に当たる。元の $C$ が準圏であることを使っており、任意の単体集合のスライスが準圏になるわけではない。
単体的集合の自然な同型
$$
(C_{/c})^{\mathrm{op}}\cong(C^{\mathrm{op}})_{c/}
$$
がある。
各 $n$ において、最後の頂点を $c$ とする $\Delta^{n+1}\to C$ の頂点順を反転する。この写像は $C^{\mathrm{op}}$ への単体となり、最初の頂点が $c$ になる。面と退化の番号も順序反転で対応するので、次数ごとの対応は単体的集合の同型を与える。二度反転すれば元に戻る。
例と通常版の回収
通常の圏 $A$ の脈体 $N(A)$ に対し、$N(A)_{/c}\cong N(A_{/c})$ である。実際、左辺の $n$ 単体は $x_0\to\cdots\to x_n\to c$ という射の列である。右辺の $n$ 単体も $c$ 上の射の列であり、途中の構造射は最後への合成から一意に決まる。面・退化・合成の対応も一致する。余スライスも双対的に回収できる。
集合の圏の脈体を $N(\operatorname{Set})$ とすると、その $B$ 上のスライスは、集合の族 $(X_b)_{b\in B}$ と成分ごとの写像の圏の脈体と同値になる。これは $X\to B$ をファイバーの族へ送る通常の同値による。また順序集合の脈体の $c$ 上のスライスは、$x\leq c$ を満たす元の部分順序集合の脈体に一致する。
$M=N(\mathbb Z)$ を整数群の一対象亜群の脈体とする。局所Kanな単体的豊穣圏 $A_M$ を、二対象 $0,1$、$A_M(0,1)=M$、自己 Hom は一点、逆向き Hom は空として定める。$C=N_{\mathrm{hc}}(A_M)$ で唯一の辺 $p\colon0\to1$ を考える。$C_{/1}$ における $p$ の自己写像空間は、$\operatorname{Map}_C(0,0)\to\operatorname{Map}_C(0,1)$ の $p$ 上のホモトピーファイバーであり、$\Omega M$ と同値になる。したがってその連結成分は $\mathbb Z$ である。一方∞圏のホモトピー圏 $hC$ のスライス $(hC)_{/1}$ で $p$ の自己射は一つだけである。先にホモトピー圏を取ってからスライスを作ると、可換性を示すホモトピーの違いを失う。
豊穣モデルと写像空間
一般に $p\colon x\to c$, $q\colon y\to c$ に対するスライスの写像空間は
$$
\operatorname{Map}_{C_{/c}}(p,q)
\simeq\operatorname{hofib}_{p}\bigl(
\operatorname{Map}_C(x,y)\xrightarrow{q\circ-}
\operatorname{Map}_C(x,c)\bigr)
$$
と記述される。右辺は「$u$ と、$q u$ から $p$ への道」の空間である。$\operatorname{hofib}$ は通常のファイバーではなく、道も含めて作るホモトピーファイバーを表す。合成写像と比較は整合的に選ぶ必要がある。この公式は HTT09 Lemma 5.5.5.12 の双対である。原典は余スライスで前合成を扱っており、ここでは向きを反転して、スライスでの後合成として読んでいる。
局所Kanな単体的豊穣圏 $A$ では、合成 $A(x,y)\to A(x,c)$ は厳密な単体写像として存在する。しかし厳密なファイバーだけを取ると、上の道のデータを失いうる。豊穣 Hom と $N_{\mathrm{hc}}(A)$ の写像空間の比較には、すべての Hom がKan複体である条件を課す。比較の根拠は HTT09 Theorem 2.2.0.1 であり、任意の豊穣スライスを無条件に準圏のスライスと同一視するものではない。
関連項目
参考文献
Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。 支援について ／ 寄付する
