スライス圏(∞圏)
概要
スライス圏(∞圏)（slice ∞-category）とは、準圏 $C$ の対象 $c$ に対し、最後の頂点を $c$ に固定した写像 $\Delta^n\star\Delta^0=\Delta^{n+1}\to C$ を $n$ 単体とする単体的集合 $C_{/c}$ であり、$c$ への射とそれを保つ三角形・高次の整合を記録する。射影 $C_{/c}\to C$ は右ファイブレーションで、ここから $C_{/c}$ が準圏であることが従い、向きを逆にした余スライス $C_{c/}$ も同様である。通常の圏の脈体では通常のスライス圏を回収し、恒等射 $\operatorname{id}_c$ は終対象になり、図式上のスライスの終対象として極限が定まる。一方、先にホモトピー圏をとってからスライスを作ると、可換性を示すホモトピーの違いが失われる。
定義
∞圏のスライス圏は、固定した対象への射を対象として集め、その射を保つ三角形と高次の整合を記録する。余スライス圏は固定した対象から出る射を集める双対の構成である。通常の可換三角形を、指定されたホモトピーを持つ三角形へ拡張する。
準圏 $C$ とは、すべての内角（内部ホーン）$\Lambda_i^n\to C$ が標準単体 $\Delta^n$ へ延長できる単体的集合である。ここで $0< i< n$ とし、角は第 $i$ 面だけを除いた面の集まりである。単体的集合の join $A\star B$ は、$A$ の頂点を先に、$B$ の頂点を後に並べて単体を結合したもので、$\Delta^m\star\Delta^n\cong\Delta^{m+n+1}$ となる（HTT09 Definition 1.2.8.1）。
準圏 $C$ の対象 $c$ に対し、スライス圏 $C_{/c}$ の $n$ 単体は
$$
\sigma\colon\Delta^n\star\Delta^0=\Delta^{n+1}\longrightarrow C,
\qquad\sigma(n+1)=c
$$
という写像である。面写像・退化写像は左の $\Delta^n$ に作用させ、最後の頂点を固定する。
余スライス圏 $C_{c/}$ は、$\Delta^0\star\Delta^n\to C$ で最初の頂点を $c$ に固定して定める。
0単体は $x\to c$、1単体は頂点 $(x,y,c)$ の三角形である。したがって $p\colon x\to c$ から $q\colon y\to c$ への射は、辺 $u\colon x\to y$ だけでなく、$p$ が $q$ と $u$ の合成になることを示す2単体も含む。2単体は頂点 $(x,y,z,c)$ の3単体であり、複数の三角形の整合を記録する。
より一般に、図式 $p:K\to C$ の上のスライス $C_{/p}$ は、$n$ 単体を $K$ 上で $p$ に一致する $\Delta^n\star K\to C$ として定める。任意の単体的集合 $Y$ から $C_{/p}$ への写像は、$K$ 上で $p$ に一致する $Y\star K\to C$ と一対一に対応する（HTT09 Proposition 1.2.9.2）。$K=\Delta^0$ の場合が対象のスライスであり、$C_{/p}$ の終対象が $p$ の極限（極限(∞圏)）である。
$C_{/c}$ から $C$ への射影を、$\Delta^n\star\Delta^0\to C$ を $\Delta^n$ へ制限する写像で定める。これは単体的写像、すなわち関手である。
準圏になる理由
スライスが準圏になることは、射影がある種の持ち上げ性質を持つことから従う。$0< i\le n$ のホーン $\Lambda^n_i$ を右ホーンと呼ぶ（外側の $i=n$ を含む）。
準圏 $C$ と対象 $c$ に対し、射影 $C_{/c}\to C$ は右ファイブレーションである。すなわち、$n\geq1$、$0< i\le n$ と、可換な図式（ホーン $u:\Lambda^n_i\to C_{/c}$ と、その射影を延長する $v:\Delta^n\to C$）に対し、$u$ を延長し射影が $v$ となる $\Delta^n\to C_{/c}$ が存在する。
$u$ は、$\Lambda^n_i\star\Delta^0\to C$ で錐点を $c$ へ送る写像に対応する。$\Delta^{n+1}=\Delta^n\star\Delta^0$ の面を見ると、頂点 $j\le n$ を除く面は $(d_j\Delta^n)\star\Delta^0$、頂点 $n+1$ を除く面は $\Delta^n$ そのものである。join は和集合と交換するので、$\Lambda^n_i\star\Delta^0$ は面 $(d_j\Delta^n)\star\Delta^0$（$j\neq i$、$j\le n$）の和である。
これに $v:\Delta^n\to C$ を面 $\Delta^n$ の上で付け加える。二つは共通部分 $\Lambda^n_i$ の上で一致する（$u$ の射影が $v|_{\Lambda^n_i}$ だから）。こうして得られるのは、$\Delta^{n+1}$ の頂点 $i$ を除くすべての面の和、すなわちホーン $\Lambda^{n+1}_i\to C$ である。$0< i\le n< n+1$ なので、これは内部ホーンであり、$C$ が準圏だから $\Delta^{n+1}\to C$ に延長できる。延長は頂点 $n+1$ を $c$ へ送り、面 $\Delta^n$ で $v$ に一致するので、$C_{/c}$ の $n$ 単体で $u$ を延長し射影が $v$ となるものである。$\square$
鍵は、スライスの外側のホーン（$i=n$）が、一つ上の次元では内部ホーン（$\Lambda^{n+1}_n$）になることである。錐点 $c$ が最後の頂点として加わるので、スライスで「最後」だった頂点が「内側」に移る。この論証は HTT09 Corollary 2.1.2.2（余スライスの場合、左ファイブレーションとして）と Lemma 2.1.2.3 の特別な場合である。
$C_{/c}$ と $C_{c/}$ はともに準圏である。
$C_{/c}$ の内角 $u:\Lambda_i^n\to C_{/c}$（$0< i< n$）を与える。射影した $\Lambda^n_i\to C$ は内角なので、$C$ の内角充填で $v:\Delta^n\to C$ へ延長できる。命題「射影は右ファイブレーション」を $u$ と $v$ に使えば、$u$ を延長する $\Delta^n\to C_{/c}$ を得る。余スライスでは頂点の順序を反転し、同じ二段階を用いる（次の命題を使ってもよい）。$\square$
この論証は HTT09 Proposition 1.2.9.3 の対象スライスの場合に当たる。元の $C$ が準圏であることを使っており、任意の単体的集合のスライスが準圏になるわけではない（下の反例）。一般の図式 $p:K\to C$ に対しても $C_{/p}$ は準圏で、射影 $C_{/p}\to C$ は右ファイブレーションだが、その証明には join と内部anodyne写像についての補題が要るので、この記事では証明しない（HTT09 Corollary 2.1.2.2、Lemma 2.1.2.3）。
右ファイブレーションの頂点 $x$ 上のファイバーは、右ホーンをすべて充填する単体的集合になる。$C_{/c}$ の $x$ 上のファイバーは、$n$ 単体が「頂点 $0,\ldots,n$ の面が $x$ で定値、最後の頂点が $c$」の $\Delta^{n+1}\to C$ であり、これは右写像空間 $\operatorname{Hom}^R_C(x,c)$（写像空間(∞圏)）にほかならない。右ホーンをすべて充填する単体的集合がKan複体であることはJoyalの結果による（HTT09 Proposition 1.2.5.1、Lemma 2.1.3.3 の双対）。
単体的集合の自然な同型
$$
(C_{/c})^{\mathrm{op}}\cong(C^{\mathrm{op}})_{c/}
$$
がある。
各 $n$ において、最後の頂点を $c$ とする $\Delta^{n+1}\to C$ の頂点順を反転する。この写像は $C^{\mathrm{op}}$ への単体となり、最初の頂点が $c$ になる。面と退化の番号も順序反転で対応するので、次数ごとの対応は単体的集合の同型を与える。二度反転すれば元に戻る。$\square$
この命題により、スライスについての主張は余スライスへそのまま移る。特に射影 $C_{c/}\to C$ は左ファイブレーション（$0\le i< n$ のホーンを持ち上げる）である。
スライスを繰り返すと、一本の射の上のスライスになる。これは通常の圏での $(A_{/c})_{/(x,p)}\cong A_{/x}$ の∞圏版である。
準圏 $C$ の辺 $p:x\to c$ を $C_{/c}$ の対象とみなす。$p$ を写像 $\Delta^1\to C$ とみたスライス $C_{/p}$ について、単体的集合の同型 $(C_{/c})_{/p}\cong C_{/p}$ がある。さらに $C_{/p}$ を $x$ の上のスライスへ送る制限 $C_{/p}\to C_{/x}$ がある。
$(C_{/c})_{/p}$ の $n$ 単体は、最後の頂点を $p$ へ送る $\Delta^n\star\Delta^0\to C_{/c}$ である。スライスの普遍性（任意の $Y$ について $Y\to C_{/c}$ は錐点を $c$ へ送る $Y\star\Delta^0\to C$ と対応する）を $Y=\Delta^n\star\Delta^0$ に使うと、これは $(\Delta^n\star\Delta^0)\star\Delta^0\to C$ で、最後の頂点が $c$、最後から二番目の頂点との辺が $p$ となるものと同じである。join は結合的で $(\Delta^n\star\Delta^0)\star\Delta^0=\Delta^n\star(\Delta^0\star\Delta^0)=\Delta^n\star\Delta^1$ なので、これは $\Delta^1$ 上で $p$ に一致する $\Delta^n\star\Delta^1\to C$、すなわち $C_{/p}$ の $n$ 単体である。面・退化はどちらも $\Delta^n$ 側への前合成なので、対応は単体的同型である。最後の制限は $\Delta^n\star\Delta^{\{0\}}\subseteq\Delta^n\star\Delta^1$ への制限である。$\square$
例と通常版の回収
左辺の $n$ 単体は、最後の頂点が $c$ である $N(A)$ の $(n+1)$ 単体、すなわち射の列 $x_0\xrightarrow{g_1}x_1\to\cdots\xrightarrow{g_n}x_n\xrightarrow{f}c$ である。右辺の $n$ 単体は、$A_{/c}$ の射の列 $(x_0,f_0)\to\cdots\to(x_n,f_n)$、すなわち射 $g_i:x_{i-1}\to x_i$ と $f_i:x_i\to c$ で $f_i\circ g_i=f_{i-1}$ を満たすものである。
左辺の列に対し $f_n=f$、$f_{i-1}=f_i\circ g_i$ と後ろから定めれば右辺の列が得られる。逆に右辺の列からは $(g_1,\ldots,g_n,f_n)$ が左辺の列を与え、条件 $f_{i-1}=f_i\circ g_i$ により $f_i$ は $f_n$ と $g$ から決まる。二つの対応は互いに逆である。面（途中の対象を消して射を合成する、あるいは端を落とす）と退化（恒等射を挿入する）はどちらの記述でも同じ操作なので、対応は単体的同型である。$\square$
これは HTT09 Remark 1.2.9.6 の主張である。余スライスも双対的に回収できる。
Kan複体 $X$ を∞圏とみなし、頂点 $c$ を固定する。$X_{/c}$ の対象は $c$ で終わる道であり、その射は道の間の三角形である。$X_{/c}$ はKan複体で可縮になる。$X_{/c}\to X$ は右ファイブレーションで、$X$ がKan複体なので $X_{/c}$ もKan複体であり（HTT09 Lemma 2.1.3.3 の双対）、終対象 $\operatorname{id}_c$ を持つKan複体は可縮だからである。一方、始点も $x$ に固定した部分は写像空間（写像空間(∞圏)）$\operatorname{Map}_X(x,c)$ のモデルであり、一般に可縮でない。例えば $X=\operatorname{Sing}(S^1)$、$x=c$ なら、それはループ空間であり、連結成分が $\mathbb Z$ 個ある。始点を動かせるかどうかが、可縮なスライスと可縮でない写像空間を分ける。
反例
$M=N(\mathbb Z)$ を整数群の一対象亜群の脈体とする。局所Kanな単体的豊穣圏 $A_M$ を、二対象 $0,1$、$A_M(0,1)=M$、自己 Hom は一点、逆向き Hom は空として定める。$C=N_{\mathrm{hc}}(A_M)$ で唯一の辺 $p\colon0\to1$ を考える。$C_{/1}$ における $p$ の自己写像空間は、$\operatorname{Map}_C(0,0)\to\operatorname{Map}_C(0,1)$ の $p$ 上のホモトピーファイバーであり、$\Omega M$ と同値になる。したがってその連結成分は $\mathbb Z$ である。一方∞圏のホモトピー圏 $hC$ のスライス $(hC)_{/1}$ で $p$ の自己射は一つだけである。先にホモトピー圏を取ってからスライスを作ると、可換性を示すホモトピーの違いを失う。
$C=\partial\Delta^3$ とする（∞圏の命題「2次元の条件だけでは準圏にならない」により準圏でない）。$C_{/3}$ の頂点 $0\to3$、$1\to3$、$2\to3$ と、2単体 $(0,1,3)$、$(1,2,3)$ が表す辺 $(0\to3)\to(1\to3)$、$(1\to3)\to(2\to3)$ は、内角 $\Lambda^2_1\to C_{/3}$ を定める。その充填は頂点 $0,1,2,3$ を持つ $C$ の3単体でなければならないが、$\partial\Delta^3$ の単体は全射でない順序写像 $[m]\to[3]$ だけなので、そのような3単体はない。よって $C_{/3}$ は準圏でない。命題「スライスの内角充填」の仮定（$C$ が準圏）は外せない。
条件を外したときに崩れることを表にまとめる。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 元の単体的集合が準圏 | $(\partial\Delta^3)_{/3}$ | スライスは準圏である |
| 可換性の証言（先にホモトピー圏をとる） | $N_{\mathrm{hc}}(A_M)$ と $(hC)_{/1}$ | ホモトピー圏のスライスが∞圏のスライスの情報を保つ |
| 始点を動かせること | $\operatorname{Sing}(S^1)$ の $\operatorname{Map}(c,c)$ | 終点を固定した道の空間は可縮である |
豊穣モデルと写像空間
一般に $p\colon x\to c$, $q\colon y\to c$ に対するスライスの写像空間は
$$
\operatorname{Map}_{C_{/c}}(p,q)
\simeq\operatorname{hofib}_{p}\bigl(
\operatorname{Map}_C(x,y)\xrightarrow{q\circ-}
\operatorname{Map}_C(x,c)\bigr)
$$
と記述される。右辺は「$u$ と、$q u$ から $p$ への道」の空間である。$\operatorname{hofib}$ は通常のファイバーではなく、道も含めて作るホモトピーファイバーを表す。合成写像と比較は整合的に選ぶ必要がある。この公式は HTT09 Lemma 5.5.5.12 の双対である。原典は余スライスで前合成を扱っており、ここでは向きを反転して、スライスでの後合成として読んでいる。
局所Kanな単体的豊穣圏 $A$ では、合成 $A(x,y)\to A(x,c)$ は厳密な単体写像として存在する。しかし厳密なファイバーだけを取ると、上の道のデータを失いうる。豊穣 Hom と $N_{\mathrm{hc}}(A)$ の写像空間の比較には、すべての Hom がKan複体である条件を課す。比較の根拠は HTT09 Theorem 2.2.0.1 であり、任意の豊穣スライスを無条件に準圏のスライスと同一視するものではない。
関連項目
参考文献
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