普遍被覆

段 1（$f$ の存在と一意性）：$\tilde X$ と $E$ は局所弧状連結な $X$ の被覆空間なので局所弧状連結であり（局所弧状連結空間の記事の系「被覆写像と局所弧状連結性」）、ともに弧状連結である。$\tilde X$ は単連結なので $p_*\pi_1(\tilde X,\tilde x_0)$ は自明な部分群であり、$q_*\pi_1(E,e_0)$ に含まれる。したがって持ち上げの判定法（被覆変換群の記事の補題「持ち上げの判定法」を、被覆 $q$ と写像 $p\colon\tilde X\to X$ に当てる）により、$p$ の $q$ に沿った持ち上げ $f\colon\tilde X\to E$ で $f(\tilde x_0)=e_0$ となるものがただ一つ存在する。$q\circ f=p$ は持ち上げであることの言い換えである。
段 2（$f$ は全射）：$e\in E$ をとり、$E$ の中の $e_0$ から $e$ への道 $\beta$ をとる。$q\circ\beta$ は $X$ の中の $x_0$ から出る道なので、$p$ に沿った持ち上げ $\tilde\beta$ で $\tilde\beta(0)=\tilde x_0$ となるものがある（被覆空間の記事の定理「道の持ち上げ」）。$f\circ\tilde\beta$ は $q\circ f\circ\tilde\beta=p\circ\tilde\beta=q\circ\beta$ を満たし $e_0$ から始まるので、$q\circ\beta$ の $q$ に沿った持ち上げで始点が $\beta$ と同じである。持ち上げの一意性により $f\circ\tilde\beta=\beta$ であり、$e=\beta(1)=f(\tilde\beta(1))$ である。
段 3（$f$ は被覆写像）：$e\in E$ をとり、$x:=q(e)$ とおく。$x$ の均一被覆近傍を $p$ と $q$ のそれぞれについてとり、その共通部分の中に、局所弧状連結性により弧状連結な開集合 $W\ni x$ をとる。均一被覆近傍の開部分集合は均一に被覆される（被覆空間の記事の注意「定義の流儀」）ので、$W$ は $p$ についても $q$ についても均一に被覆される。$q$ についての $W$ 上のシートで $e$ を含むものを $W_e$ とする。
$p$ についての $W$ 上のシート $V$ を一つとる。$V$ は $W$ と同相なので弧状連結であり、$q(f(V))=p(V)=W$ なので $f(V)\subset q^{-1}(W)$ である。$q^{-1}(W)$ は $q$ のシートたちの互いに交わらない開集合の和であり、弧状連結な $f(V)$ はそのうちの一つのシート $W'$ に含まれる。$V$ の上では $q|_{W'}\circ f|_V=p|_V$ なので
$$ f|_V=(q|_{W'})^{-1}\circ p|_V\colon V\to W' $$
であり、これは同相写像 $p|_V\colon V\to W$ と $(q|_{W'})^{-1}\colon W\to W'$ の合成なので同相写像である。
$f^{-1}(W_e)\subset p^{-1}(W)$ であり、$p^{-1}(W)$ は $p$ のシートの和で、各シートは丸ごと一つの $q$ のシートに写る。よって $f^{-1}(W_e)$ は、$f(V)\subset W_e$ となる $p$ のシート $V$ 全体の和であり、それらは互いに交わらない $\tilde X$ の開集合で、それぞれ $f$ により $W_e$ の上へ同相に写る。すなわち $W_e$ は $f$ について均一に被覆される。$E$ の各点がこのような開近傍をもち、段 2 により $f$ は全射なので、$f$ は被覆写像である。$\square$

1：thm-ucov-universal により、基点を保つ被覆の射 $f\colon\tilde X_1\to\tilde X_2$ と $g\colon\tilde X_2\to\tilde X_1$ がある。$g\circ f$ と $\mathrm{id}$ はどちらも $p_1$ の $p_1$ に沿った持ち上げで、$\tilde x_1$ で一致するので、$\tilde X_1$ が連結であることから $g\circ f=\mathrm{id}$ である（被覆空間の記事の定理「持ち上げの一意性」）。同様に $f\circ g=\mathrm{id}$ なので、$f$ は同相写像である。一意性は thm-ucov-universal の一意性による。
2：$E$ が単連結なら、$E\to X$ は普遍被覆なので thm-ucov-universal による。逆に、後者の性質をもつとし、$p\colon\tilde X\to X$ を普遍被覆とする。性質を $Y=\tilde X$ に当てて、被覆の射 $h\colon E\to\tilde X$ をとる。$e_0\in E$ を一つとり $\tilde x_1:=h(e_0)$ とおくと、thm-ucov-universal により被覆の射 $f\colon\tilde X\to E$ で $f(\tilde x_1)=e_0$ となるものがある。$h\circ f$ と $\mathrm{id}$ はどちらも $p$ の $p$ に沿った持ち上げで $\tilde x_1$ で一致するので、$h\circ f=\mathrm{id}$ である。よって $f$ は単射であり、thm-ucov-universal により全射な被覆写像、したがって連続な全単射の開写像（被覆写像は開写像）なので同相写像である。$E$ は単連結な $\tilde X$ と同相なので単連結である。$\square$

$p\colon\tilde X\to X$ を普遍被覆とする。$X=p(\tilde X)$ は弧状連結な $\tilde X$ の連続像なので弧状連結である。$x\in X$ の均一被覆近傍 $U$ と、$x$ の上の点 $\tilde x$ を含むシート $\tilde U$ をとる。$\lambda$ を $U$ の中の $x$ を基点とするループとすると、$\tilde\lambda:=(p|_{\tilde U})^{-1}\circ\lambda$ は $\tilde U$ の中の $\tilde x$ を基点とするループである。$\tilde X$ は単連結なので、$\tilde\lambda$ から定値ループへの道のホモトピー $\tilde H$ がある。$p\circ\tilde H$ は $\lambda=p\circ\tilde\lambda$ から定値ループへの $X$ の中の道のホモトピーである。$\square$

道の積・逆の道・道のホモトピーは道(位相)と基本群の記事の記法で書く。道の積は道のホモトピー類の上で矛盾なく定まり、類の上では結合的で、$[\gamma\cdot\bar\gamma]$ は定値道の類である（基本群の記事の命題「道の積はホモトピー類の上で矛盾なく定まる」と定理「基本亜群の公理と基本群の群構造」）。以下この性質は断らずに使う。$p$ は、道のホモトピーが終点を止めるので矛盾なく定まり、$X$ が弧状連結なので全射である。
段 1（よい開集合）：$X$ の開集合 $U$ で、弧状連結であり、$U$ の中のループ（基点は $U$ のどの点でもよい）がすべて $X$ の中で定値道とホモトピックになるものをよい開集合と呼び、その全体を $\mathcal{U}$ とする。よい開集合に含まれる弧状連結な開集合はよい開集合である。$\mathcal{U}$ は $X$ の開基である。

• (a) $p$ の $U_{[\gamma]}$ への制限は $U$ の上への全単射である。全射性は $U$ が弧状連結であることから、単射性は、$U$ の中の $\gamma(1)$ から同じ点への道 $\eta,\eta'$ について ($\ast$) から $[\gamma\cdot\eta]=[\gamma][\eta]=[\gamma][\eta']=[\gamma\cdot\eta']$ となることから従う。
• (b) $[\gamma']\in U_{[\gamma]}$ ならば $U_{[\gamma']}=U_{[\gamma]}$ である。
• (c) $V,U\in\mathcal{U}$、$V\subset U$、$\gamma(1)\in V$ ならば $V_{[\gamma]}=U_{[\gamma]}\cap p^{-1}(V)$ である。
  (b) と (c) の確かめを開く

  (b)：$[\gamma']=[\gamma\cdot\eta]$（$\eta$ は $U$ の中の道）とする。$U_{[\gamma']}$ の元 $[\gamma'\cdot\mu]$ は $[\gamma\cdot(\eta\cdot\mu)]$ に等しく、$\eta\cdot\mu$ は $U$ の中の $\gamma(1)$ から出る道なので $U_{[\gamma]}$ に属する。逆に $U_{[\gamma]}$ の元 $[\gamma\cdot\mu]$ は $[\gamma\cdot\eta\cdot\bar\eta\cdot\mu]=[\gamma'\cdot(\bar\eta\cdot\mu)]$ に等しく、$\bar\eta\cdot\mu$ は $U$ の中の $\gamma'(1)=\eta(1)$ から出る道なので $U_{[\gamma']}$ に属する。

  (c)：$V_{[\gamma]}\subset U_{[\gamma]}\cap p^{-1}(V)$ は定義から明らか。逆に $[\gamma\cdot\eta]\in U_{[\gamma]}$ で $\eta(1)\in V$ とする。$V$ は弧状連結なので $V$ の中の $\gamma(1)$ から $\eta(1)$ への道 $\eta'$ があり、$\eta,\eta'$ はよい開集合 $U$ の中の同じ端点の道なので、($\ast$) により $[\gamma\cdot\eta]=[\gamma\cdot\eta']\in V_{[\gamma]}$ である。

段 3（位相）：$\mathcal{B}:=\{U_{[\gamma]}\}$ は $\tilde X$ のある位相の開基になる。実際、各 $[\gamma]\in\tilde X$ は $\gamma(1)$ を含む $U\in\mathcal{U}$ について $U_{[\gamma]}$ に属する（$\eta$ を定値道にとる）。また $[\gamma'']\in U_{[\gamma]}\cap V_{[\gamma']}$ なら、(b) により $U_{[\gamma]}=U_{[\gamma'']}$、$V_{[\gamma']}=V_{[\gamma'']}$ であり、段 1 により $W\in\mathcal{U}$ で $\gamma''(1)\in W\subset U\cap V$ となるものをとれば、(c) により $[\gamma'']\in W_{[\gamma'']}\subset U_{[\gamma]}\cap V_{[\gamma']}$ である。$\tilde X$ にはこの開基の生成する位相を入れる。
段 4（$p$ は被覆写像）：まず $p$ は連続である。$X$ の開集合 $O$ と $[\gamma]\in p^{-1}(O)$ に対し、$\gamma(1)\in V\subset O$ となる $V\in\mathcal{U}$ をとれば $[\gamma]\in V_{[\gamma]}\subset p^{-1}(O)$ だからである。次に、$p|_{U_{[\gamma]}}\colon U_{[\gamma]}\to U$ は同相写像である。(a) により全単射で、連続であり、$U_{[\gamma]}$ の開集合は開基の元 $W_{[\gamma']}\subset U_{[\gamma]}$ の和で、その像 $p(W_{[\gamma']})=W$ は開集合だから、開写像でもある。最後に $U\in\mathcal{U}$ について、$p^{-1}(U)$ は $\gamma(1)\in U$ となる $[\gamma]$ についての $U_{[\gamma]}$ の和であり、(b) により二つの $U_{[\gamma]}$、$U_{[\gamma']}$ は一致するか交わらない。よって $p^{-1}(U)$ は互いに交わらない開集合の和で、各々が $U$ の上へ同相に写る。$\mathcal{U}$ は $X$ を覆うので、$p$ は被覆写像である。
段 5（$\tilde X$ は弧状連結）：$\tilde x_0:=[c_{x_0}]$ とおく。$x_0$ から出る道 $\gamma$ と $t\in I$ に対し $\gamma_t(s):=\gamma(ts)$ とおき、$\Gamma(t):=[\gamma_t]$ と定める。$\Gamma$ は $\tilde X$ の中の $\tilde x_0$ から $[\gamma]$ への道であり、$p\circ\Gamma=\gamma$ を満たす。

普遍被覆をもてば半局所単連結であることは prop-ucov-necessary、逆は thm-ucov-existence による。$\square$