ラック

任意の $u$ について $g(S_x(g^{-1}(u)))=g(g^{-1}(u)\ast x)=u\ast g(x)=S_{g(x)}(u)$ である。$g=S_y$ と置けば後半になる。$\square$

1：prop-rack-conj で $y=x$ と置くと $S_{x\ast x}=S_x\circ S_x\circ S_x^{-1}=S_x$ である。
2：単射。$\pi(x)=\pi(x')=:z$ とすると、1 により $S_x=S_z=S_{x'}$ である。$S_x(x)=z=S_{x'}(x')=S_x(x')$ で $S_x$ は単射なので $x=x'$ である。全射。$z\in X$ に対し $x:=z\ast^{-1}z$ と置くと $x\ast z=z$ である。prop-rack-conj から $S_z=S_{x\ast z}=S_z\circ S_x\circ S_z^{-1}$、したがって $S_x=S_z$ で、$\pi(x)=S_x(x)=S_z(x)=z$ である。この計算は逆写像が $z\mapsto z\ast^{-1}z$ であることも示している。
3：右自己分配律で $y=x$ と置くと $(x\ast x)\ast z=(x\ast z)\ast(x\ast z)$、すなわち $S_z\circ\pi=\pi\circ S_z$ である。これと 1 から
$$ \pi(x\ast y)=\pi(S_y(x))=S_y(\pi(x))=S_{\pi(y)}(\pi(x))=\pi(x)\ast\pi(y) $$
であり、2 と合わせて $\pi$ は自己同型である。$\square$

上の線は円板の中で 1 本の弧で、色を $c$ とする。下の線は 3 本の弧に分かれ、両端の 2 本 $a,a'$ は上の線の同じ側に、中央の 1 本 $m$ は反対側にある。両端が右側なら条件は $m=a\ast c=a'\ast c$ で、$S_c$ の単射性から $a=a'$、$m$ は $a$ から決まる。両端が左側なら条件は $a=m\ast c$ と $a'=m\ast c$ なので $a=a'$ で、$S_c$ の全射性から $m=a\ast^{-1}c$ がただ 1 つ決まる。どちらの場合も $D'$ の彩色は円板の外の色（$a=a'$ と $c$）で決まり、どの色からも作れる。移動前の図式では両端が 1 本の弧なので、これが全単射を与える。$\square$

上・中・下の線を $T,M,B$ とする。$T$ は 1 本の弧で色を $z$ とする。$M$ は $T$ の下で 2 本に分かれ、$T$ の右側の弧の色を $y$ とすると左側の弧の色は $y\ast z$ である。$y_{\mathrm R}:=y$、$y_{\mathrm L}:=y\ast z$ と書く。円板は $M$ と $T$ で 4 つの象限 $Q(\sigma,\tau)$ に分かれる（$\sigma$ は $M$ のどちら側か、$\tau$ は $T$ のどちら側か、$\sigma,\tau\in\{\mathrm L,\mathrm R\}$）。
4 つの値 $\beta(\sigma,\tau)\in X$ で
$$ \beta(\mathrm L,\tau)=\beta(\mathrm R,\tau)\ast y_\tau,\qquad \beta(\sigma,\mathrm L)=\beta(\sigma,\mathrm R)\ast z $$
をみたすものを正方形の彩色と呼ぶ。正方形の彩色は、$x:=\beta(\mathrm R,\mathrm R)$ を任意に選んで $\beta(\mathrm L,\mathrm R)=x\ast y$、$\beta(\mathrm R,\mathrm L)=x\ast z$、$\beta(\mathrm L,\mathrm L)=(x\ast y)\ast z$ と定めればよく、$\beta(\mathrm L,\mathrm L)$ の 2 通りの求め方 $(x\ast y)\ast z$ と $(x\ast z)\ast(y\ast z)$ は右自己分配律で一致する。逆に、どれか 1 つの象限の値から $\ast^{-1}$ を使って $x$ が一意に決まる。
$B$ は 3 本の弧に分かれ、両端の弧と中央の弧は 3 つの続いた象限にある（中央の弧の象限と各端の象限は座標が 1 つだけ違う）。$B$ が $M$ と交わる点は中央の象限と同じ $T$ の側 $\tau$ にあり、そこでの上の弧の色は $y_\tau$ である。$B$ が $T$ と交わる点での上の弧の色は $z$ である。したがって $B$ の 2 つの交差の条件は正方形の彩色の 2 つの関係式そのもので、$B$ の彩色は正方形の彩色を 3 つの象限に制限したものと 1 対 1 に対応する。
III 型の移動では、$T$ と $M$ と $B$ の端点を保ったまま $B$ が $M$ と $T$ の交点の反対側へ移るので、$B$ の中央の部分は $M$ と $T$ の両方について反対側へ移り、反対の象限に入る。両端の弧の象限は変わらない。したがって $D$ と $D'$ の彩色はどちらも $(y,z,\text{正方形の彩色})$ と 1 対 1 に対応し、この対応は円板の外へ出る弧（$T$、$M$ の 2 本、$B$ の両端）の色を保つ。$\square$

よじれでは、下の線の 2 本の弧のうち一方が上の線を兼ねる。入る弧を $a$、出る弧を $b$ とする。$\varepsilon=1$ なら下の線は右から左へくぐるので、$a$ が右、$b$ が左の弧で、$b=a\ast o$（$o$ は上の弧）である。$o=a$ なら $b=a\ast a=\pi(a)$、$o=b$ なら $b=a\ast b$ から $a=b\ast^{-1}b=\pi^{-1}(b)$（prop-rack-kink の 2）、すなわち $b=\pi(a)$ である。$\varepsilon=-1$ なら $a$ が左、$b$ が右で $a=b\ast o$ である。$o=b$ なら $a=\pi(b)$、$o=a$ なら $b=a\ast^{-1}a=\pi^{-1}(a)$ で、どちらも $b=\pi^{-1}(a)$ である。逆に $b=\pi^{\varepsilon}(a)$ と塗れば条件をみたす。
符号が反対の 2 つのよじれを続けて通ると色は $\pi^{-\varepsilon}\pi^{\varepsilon}=\mathrm{id}$ で戻り、途中の色は入る色から一意に決まるので、移動 I' で全単射がある。カンドルでは $\pi=\mathrm{id}$（prop-rack-kink）なので、よじれ 1 つでも同じである。$\square$

平面イソトピーは弧・交差・左右を保つ。thm-rack-moves の全単射は、円板の外の色を保ち円板の中の色を外の色から $\ast$、$\ast^{-1}$、$\pi^{\pm1}$ で決めるだけなので、ラックの準同型 $X\to X'$ と両立する。したがって $\operatorname{Hom}(R(D),-)\cong\operatorname{Col}_{-}(D)\cong\operatorname{Col}_{-}(D')\cong\operatorname{Hom}(R(D'),-)$ はラックの圏での自然同型であり、米田の補題 の系「表現可能関手による同型判定」により $R(D)\cong R(D')$ である。I 型で同型でない例は ex-rack-unknot である。$\square$

$W(D)$ を Wirtinger表示 の群とする。群 $G$ について、随伴群の普遍性、$R(D)$ の普遍性、$\operatorname{Conj}(G)$ による彩色の条件が Wirtinger の関係式と同じ形であること、群の表示 の普遍性を順に使うと
$$ \operatorname{Hom}(\operatorname{As}(R(D)),G)\cong\operatorname{Hom}(R(D),\operatorname{Conj}(G))\cong\operatorname{Col}_{\operatorname{Conj}(G)}(D)\cong\operatorname{Hom}(W(D),G) $$
で、どれも $G$ について自然である。米田の補題 の系「表現可能関手による同型判定」により $\operatorname{As}(R(D))\cong W(D)$ であり、Wirtinger表示 の定理「Wirtinger 表示の定理」とその後の注意「絡み目と $S^3$」により $W(D)\cong\pi_1(\mathbb{R}^3\setminus L)$ である。$\square$