コエンド(豊穣圏)

同義語：豊穣コエンド

概要

定義

$\mathcal V$ は局所小で完備・余完備な対称モノイダル閉圏とする。テンソル積は $\otimes$、単位は $I$、内部Homは $[U,V]$ であり、
$$\operatorname{Hom}_{\mathcal V}(T\otimes U,V)\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal V}(T,[U,V])$$
が自然に成り立つ。この仮定は以下の構成を一括して行う十分条件であり、個別のコエンドに必要な最小条件ではない。
小さい $\mathcal V$-豊穣圏（豊穣圏）$\mathcal A$ は、小さい対象集合とHom対象 $\mathcal A(a,b)$、合成 $\mathcal A(b,c)\otimes\mathcal A(a,b)\to\mathcal A(a,c)$、単位 $I\to\mathcal A(a,a)$ を持ち、結合律・単位律を満たす。通常の射集合は $\operatorname{Hom}_{\mathcal V}(I,\mathcal A(a,b))$ である。
豊穣関手（関手(豊穣圏)）$H:\mathcal A^{\mathrm{op}}\otimes\mathcal A\to\mathcal V$ は、第1変数に反変、第2変数に共変な豊穣作用を持つ。作用は合成と単位を保ち、互いに可換する。

豊穣コエンド

豊穣コエンドは、$\mathcal V$ の中で取る余等化子
$$ \int^aH(a,a)= \operatorname{Coeq}\left( \coprod_{a,b}\mathcal A(a,b)\otimes H(b,a) \rightrightarrows \coprod_aH(a,a)\right) $$
である。$\coprod$ は $\mathcal V$ の余積(圏論)を表す。二本の射は反変作用によって $H(a,a)$ 成分へ進むものと、共変作用によって $H(b,b)$ 成分へ進むものである。
同値に、コエンドから $T$ への射は、$\iota_a:H(a,a)\to T$ の族で、$\mathcal A(a,b)\otimes H(b,a)\to T$ への二つの合成が一致するものに一対一に対応する。

「同一視」は元の集合上ではなく、$\mathcal V$ の中で行う。例えば $\mathbf{Ab}$ なら、関係式で生成される部分群を割る。この定義は Kel82 §3.10 のコエンドと、Rie14 §7.3 の構成の双対に対応する。

直感：構造を保った和と釣り合い

コエンドでは、片側に作用させたものと反対側に作用させたものを同じとみなす。環上のテンソル積の関係 $nr\otimes m=n\otimes rm$ は、この「作用をもう一方へ移せる」ことの代表例である。
積分記号は添字の消去と作用の釣り合いを表す。数値積分で積分変数を介して二つの関数を組み合わせるように、豊穣コエンドではHom対象を介して二つの関手を組み合わせる。ただし結果は数とは限らず、加群や単体的集合などになる。

例

集合への帰着

$\mathcal V=\mathbf{Set}$、$\otimes=\times$ なら、余等化子は通常のコエンドの商集合になる。$\mathcal A(a,b)$ の各元が通常の射であり、各射に由来する関係を課す構成と一致する。

環上のテンソル積

$\mathcal V=\mathbf{Ab}$ とし、単位的環 $R$ を一対象豊穣圏とみなす。右 $R$-加群（右加群）$N$ と左 $R$-加群（左加群）$M$ から $H(a,b)=N(a)\otimes_{\mathbb Z}M(b)$ を作ると、
$$\int^aH(a,a)\cong N\otimes_RM.$$
ここで $N\otimes_RM$ は、$N\otimes_{\mathbb Z}M$ を $nr\otimes m-n\otimes rm$ で生成される部分群で割った加法群である。

両側加群の可換化

同じ一対象豊穣圏で $H$ が $R$-両側加群 $M$ を表す場合、
$$\int^aH(a,a)\cong M/\langle rm-mr\mid r\in R,m\in M\rangle_{\mathbb Z}.$$
これは0次Hochschildホモロジーとして現れる加法群である。正の次数のHochschildホモロジーを得るには導来化が必要であり、この商だけでは得られない。

反例：通常のテンソル積は導来テンソル積ではない

$R=\mathbb Z$、$N=M=\mathbb Z/2$ なら、普通のコエンドから得るテンソル積は $\mathbb Z/2$ である。一方、射影分解 $0\to\mathbb Z\xrightarrow{2}\mathbb Z\to\mathbb Z/2\to0$ に $\mathbb Z/2$ をテンソルすると、次数1から0への微分が零の二項複体になる。従って導来テンソル積は次数0だけでなく次数1にも $\mathbb Z/2$ のホモロジーを持つ。厳密なコエンドだけではこの情報を保持しない。

性質

普遍性と豊穣構造

任意の $T\in\mathcal V$ について、自然な内部Homの同型
$$ \left[\int^aH(a,a),T\right]\cong\int_a[H(a,a),T] $$
がある。右辺は豊穣エンド（エンド(豊穣圏)）で、その混合分散の関手は $(a,b)\mapsto[H(b,a),T]$ とする。Kel82 §3.10。

余等化子と随伴

任意のパラメータ $S$ から左辺への射は、$S\otimes\int^aH(a,a)\to T$ と同じである。$S\otimes-$ は左随伴（随伴関手）なので余積・余等化子を保つ。この射は、$S\otimes H(a,a)\to T$ の族で二つの作用に関する等式を満たすものと同じになる。随伴転置すれば、これは $S$ から右辺のエンドへの射である。すべての $S$ で自然なので、内部Hom対象の同型が従う。

環上のテンソル積の計算

定義の余等化子は、対称性で因子を並べ替えると
$$N\otimes_{\mathbb Z}R\otimes_{\mathbb Z}M\rightrightarrows N\otimes_{\mathbb Z}M$$
となる。二本の射は $n\otimes r\otimes m$ を $nr\otimes m$ と $n\otimes rm$ に送る。$\mathbf{Ab}$ の余等化子は二本の射の差の像を割った群なので、例で定義した $N\otimes_RM$ と一致する。

一般の値域と反復計算

値域が $\mathcal V$-豊穣圏 $\mathcal B$ の場合、コエンド $Q$ は
$$ \mathcal B(Q,T)\cong\int_a\mathcal B(H(a,a),T) $$
という豊穣自然な同型を与える普遍的な余楔で定義する。右辺では反変性のため変数を交換してエンドを作る。例えば $\mathcal B$ にテンソル $U\odot X$ と必要な豊穣的余積・余等化子があれば、定義の $\mathcal A(a,b)\otimes H(b,a)$ を $\mathcal A(a,b)\odot H(b,a)$ に替えて構成できる。テンソルとは $\mathcal B(U\odot X,T)\cong[U,\mathcal B(X,T)]$ を表す対象である。Kel82 §3.10。
二つの添字に関するコエンドは、必要なものが存在すればFubini型に交換できる。各添字に関する作用の関係を課す順序を変えても同じ普遍的余楔を得るためである。$\mathcal V$ 値の核の合成
$$ (Q\odot P)(a,c)=\int^bP(a,b)\otimes Q(b,c) $$
はこの交換則とテンソルの余極限保存によって結合的になる。豊穣版の余米田公式 $\int^bP(a,b)\otimes\mathcal A(b,c)\cong P(a,c)$ がHom対象を恒等核にする。通常版（$\mathcal V=\mathbf{Set}$）の余米田公式はコエンドの記事で証明されており、豊穣版はここでは証明せず Kel82 §3.10 に委ねる。Kel82 §§2.1, 3.10。

∞圏への接続

単体的集合で豊穣化した場合も、厳密な余等化子はそのままホモトピー不変な構成とは限らない。導来コエンドは、関係を付けるホモトピーと、その間の高次の整合性を残す。コエンド(∞圏)では準圏のねじれ矢印圏を用いて、モデルの選択に依存しない普遍性を定義する。厳密な豊穣計算との比較では、適切な重みのcofibrant置換を使う。Hau21 Remark 4.7。
単体的モデル圏での置換と二側bar構成は導来計算の方法を与える。ただし「対象ごとの置換だけで任意の厳密な余等化子が正しくなる」とはしない。Rie14 §9.2 の仮定と構成が必要である。
加群の例では、同じ区別が通常のテンソル積と導来テンソル積の差として見える。従って本概念は、豊穣圏から安定∞圏・ホモロジー代数へつなぐ際にも重要になる。一般の豊穣圏を自動的に∞圏と同一視するわけではない。