Cisinskiモデル構造

$M$ が集合であること。$a$ からのエピ射の終域は、その核にあたる $a\times a$ の部分前層で同型を除いて決まるので、商の同型類は集合をなし、各商の部分前層も集合をなす。

1. 単射は像への同型と包含の合成なので、部分前層 $K\subset L$ について示せばよい。$L$ の元の全体 $\coprod_aL(a)$ を順序数 $\lambda$ で整列し $(y_\beta)_{\beta< \lambda}$、$y_\beta\in L(a_\beta)$ とする。$L_0=K$、$L_{\beta+1}=L_\beta\cup\langle y_\beta\rangle$、極限順序数では和とおく。ここで $\langle y\rangle$ は、米田の補題で $y$ に対応する射 $a\to L$ の像で、$a$ の商である。部分前層 $U,V$ の和 $U\cup V$ は $U\cap V$ に沿った押し出しである（各対象で、集合の和は共通部分に沿った押し出し）から、$L_\beta\to L_{\beta+1}$ は $M$ の射と同型な $L_\beta\cap\langle y_\beta\rangle\subset\langle y_\beta\rangle$ の押し出しである。すべての元が加わるので $\bigcup_\beta L_\beta=L$ である。

2. 前層 $X$ の元の総数と $A$ の射の個数より大きい正則基数 $\kappa$ をとる。$\kappa$ 以上の正則基数 $\lambda$ と $\lambda$ 列 $Z$ について、射 $X\to\operatorname{colim}Z_\beta$ は、$X$ の各元 $x$ に元 $z_x$ を対応させる族で、$A$ の各射 $u$ について $u^*z_x=z_{u^*x}$ をみたすものである。各 $z_x$ はある段の元の像で、各等式はある段で成り立つ（小対象論法 の例「集合は小さい」の証明と同じく、集合の余極限による）。元と等式の個数は $\kappa$ 未満なので、$\lambda$ の正則性からある段で全部がそろい、射はその段を経由する。二つの射が余極限で一致する場合も同様にある段で一致する。よって $X$ は小さい。$M$ は単射からなり、単射の押し出しと超限合成は単射なので、1 と合わせると、相対 $M$ 胞体複体と同型な射の全体は単射の全体に一致する。同記事の系「I コファイブレーションの特徴づけ」により ${}^{\square}(M^{\square})$ はそのレトラクトの全体で、単射のレトラクトは単射だから $\mathrm{Cof}={}^{\square}(M^{\square})$ である。両辺の $\square$ をとって $\mathrm{Cof}^{\square}=({}^{\square}(M^{\square}))^{\square}=M^{\square}$ を得る。分解は同記事の定理「小対象論法」による。$\square$

1. $\emptyset\to Y$ は単射なので、$p$ に対する持ち上げとして切断 $s$ がある。正方形 $(1_X,sp)\colon X\sqcup X\to X$、$p\sigma_X\colon I\otimes X\to Y$ は、$p(1_X,sp)=(p,p)=p\sigma_X(\partial^0_X,\partial^1_X)$ により可換で、左の辺 $(\partial^0_X,\partial^1_X)$ は単射なので、持ち上げ $k$ がある。$ps=1_Y$ と $1_X\simeq sp$ により $p$ は $I$ ホモトピー同値である。

2. 単射 $i\colon K\to L$ と $pa=bi$ をみたす $a\colon K\to X$、$b\colon L\to Y$ をとる。$I\otimes K\cup\{1\}\otimes L$ から $X$ への射を、$I\otimes K$ の上で $k(1_I\otimes a)$、$\{1\}\otimes L$ の上で $sb$ と定める。共通部分 $\{1\}\otimes K$ の上では $k(1_I\otimes a)\partial^1_K=k\partial^1_Xa=spa=sbi$ で一致する。この射と $b\sigma_L\colon I\otimes L\to Y$ は、$pk(1_I\otimes a)=p\sigma_X(1_I\otimes a)=pa\sigma_K=bi\sigma_K=b\sigma_L(1_I\otimes i)$ と $psb=b=b\sigma_L\partial^1_L$ により正方形をなす。左の辺は (An1) により $\mathrm{An}$ に属するので持ち上げ $H\colon I\otimes L\to X$ があり、$l:=H\partial^0_L$ は $pl=b\sigma_L\partial^0_L=b$、$li=H(1_I\otimes i)\partial^0_K=k\partial^0_Xa=a$ をみたす。$\square$

$u\sigma_K$ は $u$ から $u$ へのホモトピーである。$h$ を $u$ から $v$ へ、$k$ を $u$ から $w$ へのホモトピーとする。単射 $\partial I\otimes K=K\sqcup K\to I\otimes K$ に (An1) を当てると、$I\otimes\partial I\otimes K\cup\{0\}\otimes I\otimes K\to I\otimes I\otimes K$ は $\mathrm{An}$ に属する。始域から $T$ への射を、$I\otimes\partial I\otimes K=(I\otimes K)\sqcup(I\otimes K)$ の上で $(h,k)$、$\{0\}\otimes I\otimes K\cong I\otimes K$ の上で $u\sigma_K$ と定めると、共通部分 $\{0\}\otimes\partial I\otimes K$ の上ではどちらも $(u,u)$ で一致する。$T$ はファイブラントなので延長 $H\colon I\otimes I\otimes K\to T$ があり、$l:=H\partial^1_{I\otimes K}$ とおくと、$\partial^\varepsilon$ の自然性から $l\partial^0_K=H(1_I\otimes\partial^0_K)\partial^1_K=h\partial^1_K=v$、$l\partial^1_K=k\partial^1_K=w$ であり、$l$ は $v$ から $w$ へのホモトピーである。$w=u$、$k=u\sigma_K$ とすると対称性が、対称性とこの結果から推移性が従う。$\square$

1. $j\colon K\to L$ をアノダイン拡大、$T$ をファイブラントとする。$K\to T$ は $j$ に沿って延びるので $j^*$ は全射である。$l_0j=l_1j$ が $[K,T]$ で成り立つとき、lem-cms-homotopy によりホモトピー $h\colon I\otimes K\to T$ があり、$(h,(l_0,l_1))\colon I\otimes K\cup\partial I\otimes L\to T$ は (An2) のアノダイン拡大に沿って $I\otimes L$ へ延びる。これは $l_0$ から $l_1$ へのホモトピーなので $j^*$ は単射である。

2. $I$ ホモトピー同値は弱同値である（prf-cms-main の段 1）。逆に $f\colon X\to Y$ がファイブラントな前層の間の弱同値なら、$h\widehat A$ のファイブラントな前層からなる充満部分圏のすべての $T$ について $[Y,T]\to[X,T]$ が全単射なので、米田の補題により $f$ の類はその部分圏で同型である。

3. 自明ファイブレーションは弱同値である（prf-cms-main の段 2）。逆を示す。$X\to Y\to1$ は素朴なファイブレーションの合成なので $X$ もファイブラントで、2 により $p$ は $I$ ホモトピー同値である。$pt\simeq1_Y$ となる $t$ をとり、lem-cms-homotopy により $k\partial^0_Y=1_Y$、$k\partial^1_Y=pt$ をみたす $k\colon I\otimes Y\to Y$ をとる。$\partial^1_Y\in\mathrm{An}$ に対する持ち上げで $k'\partial^1_Y=t$、$pk'=k$ をみたす $k'$ があり、$s:=k'\partial^0_Y$ は $ps=1_Y$ をみたす。$p$ の類は同型なので $sp\simeq1_X$ で、$h\partial^0_X=1_X$、$h\partial^1_X=sp$ をみたす $h$ がある。次に $\{1\}\otimes I\otimes X\cup I\otimes\partial I\otimes X\to I\otimes I\otimes X$（(An1) によりアノダイン拡大）から $X$ への射を $\{1\}\otimes I\otimes X$ の上で $sp\sigma_X$、$I\otimes\partial I\otimes X$ の上で $(h,sph)$ とし（共通部分では $spsp=sp$ により一致）、$I\otimes I\otimes X$ から $Y$ への射を $ph(1_I\otimes\sigma_X)$ とすると、$psp=p$ により正方形が可換になる。その持ち上げ $H$ について $g:=H\partial^0_{I\otimes X}$ とおくと、$\partial^0$ の自然性から $g\partial^0_X=h\partial^0_X=1_X$、$g\partial^1_X=sph\partial^0_X=sp$、$pg=ph\partial^0_X\sigma_X=p\sigma_X$ である。lem-cms-trivial-fibration の 2 により $p$ は自明ファイブレーションである。$\square$

1. アノダイン拡大は弱同値である（lem-cms-anodyne-fibrant の 1）。逆に、単射 $i\colon K\to L$ が弱同値で $L$ がファイブラントとする。(An0) の $\Lambda$ に小対象論法を当てて $i=qj$（$j\in\mathrm{An}$、$q\in\mathrm{An}^{\square}$）と分解する。$j$ と $i$ は弱同値なので $q$ も弱同値で、$q$ の終域 $L$ はファイブラントだから、lem-cms-anodyne-fibrant の 3 により $q$ は自明ファイブレーションである。単射 $i$ は $q$ に対して左持ち上げ性質をもつので、小対象論法 の補題「レトラクト論法」により $i$ は $j$ のレトラクトであり、$\mathrm{An}$ に属する。

2. 単射 $i\colon K\to L$ について、$L\to1$ を分解してアノダイン拡大 $j\colon L\to L'$ で $L'$ がファイブラントなものをとる。$j$ は弱同値なので、1 により、$i$ が弱同値であることと $ji$ がアノダイン拡大であることは同値である。$i$ が弱同値で、$p\colon X\to Y$ が終域がファイブラントな素朴なファイブレーション、$pa=bi$ とする。$Y$ はファイブラントなので $b=b'j$ となる $b'\colon L'\to Y$ があり、アノダイン拡大 $ji$ の持ち上げ $l$（$lji=a$、$pl=b'$）について $lj$ が求める持ち上げである。逆に $i$ がこの持ち上げ性質をもつとき、$ji=pk$（$k\in\mathrm{An}$、$p\in\mathrm{An}^{\square}$）と分解すると、$p$ の終域 $L'$ はファイブラントなので $i$ と $j$ は $p$ に対して左持ち上げ性質をもち、$ji$ ももつ。レトラクト論法により $ji$ は $k$ のレトラクトでアノダイン拡大であり、$i$ は弱同値である。

3. 2 により、終域がファイブラントな素朴なファイブレーションは $\mathrm{Cof}\cap\mathcal W$ に対して右持ち上げ性質をもつ。逆に $\mathrm{An}\subset\mathrm{Cof}\cap\mathcal W$ なので、ファイブレーションは素朴なファイブレーションである。$\square$

$\mathcal W$ は $\mathrm{An}$ を含み（lem-cms-anodyne-fibrant の 1）、2 out of 3 をみたす。$\mathcal C$ を $\mathrm{An}$ を含み 2 out of 3 をみたすクラスとし、$f\colon X\to Y$ を弱同値とする。$Y\to1$ を分解してアノダイン拡大 $j\colon Y\to Y'$（$Y'$ はファイブラント）をとり、$jf=pi$（$i\colon X\to X'$ はアノダイン拡大、$p$ は素朴なファイブレーション）と分解する。$jf$ と $i$ は弱同値なので $p$ も弱同値で、終域 $Y'$ はファイブラントだから、lem-cms-anodyne-fibrant の 3 により $p$ は自明ファイブレーションであり、切断 $s$ をもつ。$s$ は単射で、$ps=1$ と 2 out of 3 により弱同値であり、$X'$ はファイブラントなので、prop-cms-trivial-cofibration の 1 により $s$ はアノダイン拡大である。よって $s$、恒等射（同型はアノダイン拡大）、$i$、$j$ は $\mathcal C$ に属し、$ps=1$ から $p\in\mathcal C$、$pi=jf\in\mathcal C$ から $f\in\mathcal C$ である。

局所化について、関手 $\widehat A\to\mathrm{An}^{-1}\widehat A$ が同型に写す射の全体は $\mathrm{An}$ を含み 2 out of 3 をみたすので $\mathcal W$ を含み、局所化の普遍性（圏の局所化）からこの関手は $\mathcal W^{-1}\widehat A$ を経由する。逆向きの関手も普遍性から得られ、両者は互いに逆である（局所化の存在は、必要なら宇宙を大きくとって保証する）。$\square$