局所ホモロジー

切除定理（切除定理(特異ホモロジー) の記事の定理（切除定理）の (1)）を 2 回使う。
段 1．$A:=X\setminus\{x\}$、$Z:=X\setminus\operatorname{int}W$ とおく。$x\in\operatorname{int}W$ なので $Z\subset A$ である。$Z$ は閉集合なので $\operatorname{cl}Z=Z$ であり、$\{x\}$ が閉集合なので $A$ は開集合、$\operatorname{int}A=A$ である。よって $\operatorname{cl}Z\subset\operatorname{int}A$ であり、切除定理から包含
$$ (X\setminus Z,A\setminus Z)=(\operatorname{int}W,\operatorname{int}W\setminus\{x\})\hookrightarrow(X,X\setminus\{x\}) $$
はホモロジーの同型を誘導する。
段 2．同じ議論を $W$ の中で行う。$W$ の部分空間として、$\{x\}$ は閉集合、$W\setminus\{x\}$ は開集合であり、$\operatorname{int}W$ は $X$ の開集合なので $W$ の開集合でもある。$Z':=W\setminus\operatorname{int}W$ は $W$ の閉集合で $W\setminus\{x\}$ に含まれるので、切除定理から包含 $(\operatorname{int}W,\operatorname{int}W\setminus\{x\})\hookrightarrow(W,W\setminus\{x\})$ も同型を誘導する。
段 3．段 1 の包含は、段 2 の包含と主張の包含 $(W,W\setminus\{x\})\hookrightarrow(X,X\setminus\{x\})$ の合成である。2 つの同型の合成と逆写像により、主張の包含も同型を誘導する。

$h$ は対の同相 $(U,U\setminus\{x\})\to(U',U'\setminus\{y\})$ なので $H_n(U\mid x)\cong H_n(U'\mid y)$ である。両辺を prop-lh-local で $H_n(X\mid x)$、$H_n(Y\mid y)$ に取り替えればよい。

$H_0(X,A)$ は、$X$ の弧状連結成分のうち $A$ と交わらないものを基底とする自由アーベル群である（相対ホモロジーと長完全列 の記事の命題（0 次の相対ホモロジー））。$A=X\setminus\{x\}$ と交わらない弧状連結成分は $\{x\}$ に含まれ、空でないので $\{x\}$ そのものである。

$\mathbb{H}^n$ は凸集合なので可縮であり、$\tilde H_k(\mathbb{H}^n)=0$ である。$p:=x+e_n$（$e_n=(0,\dots,0,1)$）とおく。$y\in\mathbb{H}^n\setminus\{x\}$ と $s\in[0,1]$ について、点 $(1-s)y+sp$ の第 $n$ 座標は $(1-s)y_n+s\ge0$ なので $\mathbb{H}^n$ に入り、$s>0$ なら第 $n$ 座標が正なので $x$ と異なり、$s=0$ なら $y\ne x$ である。よって $G(y,s):=(1-s)y+sp$ は $\mathbb{H}^n\setminus\{x\}$ の中のホモトピーで、恒等写像と定値写像 $p$ を結ぶ。したがって $\mathbb{H}^n\setminus\{x\}$ も可縮で、被約ホモロジーはすべて $0$ である。
$\mathbb{H}^n\setminus\{x\}\ne\emptyset$ なので被約ホモロジーの対の長完全列（相対ホモロジーと長完全列 の記事の命題（被約ホモロジーの対の長完全列））が使え、その部分
$$ \tilde H_k(\mathbb{H}^n)\to H_k(\mathbb{H}^n,\mathbb{H}^n\setminus\{x\})\to\tilde H_{k-1}(\mathbb{H}^n\setminus\{x\}) $$
の両端は $0$ である（$k=0$ では右端の代わりに列が $0$ で終わる）。よって $H_k(\mathbb{H}^n\mid x)=0$ である。$\mathbb{H}^n$ の点は閉集合なので、後半は prop-lh-local による。

$M$ は Hausdorff なので点は閉集合である。$x$ のまわりの座標近傍 $(U,\varphi)$、すなわち開集合 $U\ni x$ から $\mathbb{H}^n$ の開集合 $\varphi(U)$ への同相写像をとる。prop-lh-local と cor-lh-homeomorphism の証明と同じく、$H_n(M\mid x)\cong H_n(\varphi(U)\mid \varphi(x))$ である。$\varphi(x)\in\partial\mathbb{H}^n$ なら、$\varphi(U)$ は $\mathbb{H}^n$ の開集合なので thm-lh-halfspace の後半から $0$ である。$\varphi(x)$ の第 $n$ 座標が正なら、$\varphi(U)\cap\{y_n>0\}$ は $\varphi(x)$ を含む $\mathbb{R}^n$ の開集合で、$\varphi(U)$ の中での $\varphi(x)$ の開近傍なので、prop-lh-local と Euclid 空間の局所ホモロジーから $\mathbb{Z}$ である。
$\mathbb{Z}\ne0$ なので、どの座標近傍で見ても 1 の 2 つの場合が同時に起こることはない。同相写像 $f$ は $H_n(M\mid x)\cong H_n(N\mid f(x))$ を与えるので（cor-lh-homeomorphism）、$H_n=0$ で特徴づけられる境界の点を境界の点へ写す。$f^{-1}$ にも同じことを使えば $f(\partial M)=\partial N$ である。

同型：$D^n\setminus\{0\}$ は $H(y,s):=(1-s)y+s\,y/\|y\|$ で $S^{n-1}$ に強変位レトラクトするので、包含 $S^{n-1}\hookrightarrow D^n\setminus\{0\}$ はホモトピー同値で、ホモロジーの同型を誘導する。$D^n$ の上では $f$ は恒等写像である。2 つの対の長完全列の間の可換な梯子（相対ホモロジーと長完全列 の記事の定理（対の長完全列）の自然性）に五項補題を使えば、$f_*\colon H_k(D^n,S^{n-1})\to H_k(D^n,D^n\setminus\{0\})$ は同型である。
対のホモトピー同値でないこと：そのような $g$ があったとする。$g$ は連続で、稠密な部分集合 $D^n\setminus\{0\}$ を閉集合 $S^{n-1}$ の中に写すので、$g(D^n)\subset S^{n-1}$ である。$g\circ f$ と $\mathrm{id}$ を結ぶ対のホモトピーは各時刻で $S^{n-1}$ を $S^{n-1}$ に写すので、$S^{n-1}$ に制限すると $g|_{S^{n-1}}\simeq\mathrm{id}_{S^{n-1}}$（$S^{n-1}$ の中のホモトピー）となる。$g$ を $D^n\to S^{n-1}$ とみると $g|_{S^{n-1}}=g\circ i$（$i\colon S^{n-1}\hookrightarrow D^n$）なので、$\tilde H_{n-1}(S^{n-1})$ の恒等写像は $g_*\circ i_*$ に等しく、$\tilde H_{n-1}(D^n)=0$ を経由する。ところが $\tilde H_{n-1}(S^{n-1})\cong\mathbb{Z}\ne0$ である（$n=1$ では $S^0$ は 2 点で $\tilde H_0\cong\mathbb{Z}$）。これは矛盾である。