弱位相の距離化可能性

1 は 弱位相(関数解析) の節「有限次元では一致し、無限次元では真に粗い」で証明されている。そこでは $0$ が可算個の弱近傍からなる基本近傍系をもつと仮定し、$X^*$ が有限次元部分空間の可算和になることを導いて、Baire の範疇定理に矛盾させている。2 も同じ筋で、今度は $X$ の側に Baire の範疇定理を使う。
2 を示す。弱スター位相がある距離で定まると仮定すると、$0\in X^*$ は可算個の弱スター近傍からなる基本近傍系をもつ。弱スター位相 の定義「弱スター位相」の基本近傍に取り替えて、それらを
$$ V_k=\{\varphi\in X^*:|\varphi(x)|<\varepsilon_k\ (x\in F_k)\}\qquad(k\ge1) $$
（$F_k\subset X$ は有限集合、$\varepsilon_k>0$）としてよい。$L_k=\operatorname{span}F_k$ とおく。
（i）$X=\bigcup_kL_k$ である。$x\in X$ を取ると、$\{\varphi:|\varphi(x)|<1\}$ は $0$ の弱スター近傍なので、ある $k$ で $V_k$ に含まれる。$\varphi\in X^*$ が $F_k$ の上で $0$ なら、すべての実数 $t$ について $t\varphi\in V_k$ なので $|t|\,|\varphi(x)|<1$ となり、$\varphi(x)=0$ である。$L_k$ は有限次元なので閉部分空間である（ノルム空間 の系「有限次元ノルム空間の性質」の 4）。もし $x\notin L_k$ なら、Hahn–Banachの定理 の系「閉部分空間の外の点を検出する汎関数」により、$L_k$ の上で $0$ で $\varphi(x)\ne0$ となる $\varphi\in X^*$ がある。これは今示したことに反するので、$x\in L_k$ である。
（ii）$X$ は完備なので、Baireの範疇定理 の系「閉集合による可算被覆」により、ある $L_k$ は内点をもつ。内点のまわりの球を含む部分空間は、平行移動と拡大によって $X$ 全体を含むので $X=L_k$ となり、$X$ が無限次元であることに反する。

1：$\ell^2$ 上の連続線形汎関数は、ある $y\in\ell^2$ との内積 $x\mapsto\langle y,x\rangle$ で表される（Rieszの表現定理）。$0$ の基本近傍 $V=\{x:|\langle y_i,x\rangle|<\varepsilon\ (1\le i\le m)\}$ を取り、$s_n=\sum_{i=1}^m|y_i(n)|^2$ とおく（$y_i(n)$ は $y_i$ の第 $n$ 座標）。$\sum_ns_n=\sum_i\|y_i\|_2^2<\infty$ である。もしある $N$ 以降のすべての $n$ で $ns_n\ge\varepsilon^2$ なら、$\sum_{n\ge N}s_n\ge\varepsilon^2\sum_{n\ge N}1/n=\infty$ となって矛盾する。よって $ns_n<\varepsilon^2$ となる $n$ があり、各 $i$ について
$$ |\langle y_i,\sqrt n\,e_n\rangle|=\sqrt n\,|y_i(n)|\le\sqrt{ns_n}<\varepsilon $$
である。すなわち $\sqrt n\,e_n\in V$ であり、$0$ の基本近傍はどれも $A$ と交わる。
3：$\|\sqrt n\,e_n\|_2=\sqrt n$ なので、$A\cap\{\|x\|_2\le r\}$ は $n\le r^2$ の元だけからなる。
2：$A$ の点列 $(a_k)$ が $0$ に弱収束したとする。弱収束する列はノルム有界なので（弱位相(関数解析) の命題「弱収束列の基本性質」）、3 により $(a_k)$ は有限集合の中の値しか取らない。すると、ある元 $a\in A$ が無限回現れ、その部分列は定数列 $a$ である。弱極限はただ一つなので $a=0$ となるが、$0\notin A$ である。これは矛盾である。

$X^*$ の稠密な列 $(g_n)$ を取る。$\|g_n\|=\sup_{x\in B_X}g_n(x)$ なので、$y_n\in B_X$ を $g_n(y_n)\ge\|g_n\|/2$ となるように選べる（$g_n=0$ なら $y_n=0$ とする）。$L$ を $\{y_n\}$ の張る部分空間とし、$f\in X^*$ が $L$ の上で $0$ であるとする。$\varepsilon>0$ に対し $\|f-g_n\|<\varepsilon$ となる $n$ を取ると
$$ \tfrac12\|g_n\|\le g_n(y_n)=(g_n-f)(y_n)<\varepsilon $$
なので、$\|f\|\le\|f-g_n\|+\|g_n\|<3\varepsilon$ である。$\varepsilon$ は任意なので $f=0$ となる。Hahn–Banachの定理 の系「稠密性の判定」により $L$ は稠密であり、有理数を係数とする $y_n$ の有限一次結合の全体が $X$ の可算な稠密集合になる。

1 ⇒ 2 は 弱スター位相 の命題「可分な空間の双対閉球」（$R=1$ の場合）である。
2 ⇒ 1：$d$ を $B_{X^*}$ の弱スター位相を定める距離とし、$U_n=\{\varphi\in B_{X^*}:d(\varphi,0)<1/n\}$ とおく。$U_n$ は $B_{X^*}$ の中の $0$ の近傍なので、有限集合 $F_n\subset X$ と $\varepsilon_n>0$ で
$$ \{\varphi\in B_{X^*}:|\varphi(x)|<\varepsilon_n\ (x\in F_n)\}\subset U_n $$
となるものがある。$D=\bigcup_nF_n$ は可算集合である。$D$ の張る部分空間が $X$ で稠密であることを示す。$\varphi\in X^*$ が $D$ の上で $0$ であるとし、$\psi=\varphi/\max\{1,\|\varphi\|\}\in B_{X^*}$ とおく。$\psi$ も $D$ の上で $0$ なので、すべての $n$ で上の左辺に属し、$\psi\in U_n$ である。よって $d(\psi,0)=0$、$\psi=0$、したがって $\varphi=0$ である。Hahn–Banachの定理 の系「稠密性の判定」により $D$ の張る部分空間は稠密であり、その有理数係数の一次結合の全体が可算な稠密集合になる。

1 ⇒ 2：$X^*$ の可算な稠密集合 $\{h_m\}$ を取る。各 $m,k$ について、$h_m$ からの距離が $1/k$ 未満の $B_{X^*}$ の元があれば一つ選ぶ。選んだ元は可算個で、$B_{X^*}$ で稠密である。実際、$g\in B_{X^*}$ と $k$ に対し $\|g-h_m\|<1/(2k)$ となる $m$ を取れば、$(m,2k)$ について選んだ元 $g'$ は $\|g'-g\|<1/(2k)+1/(2k)=1/k$ を満たす。こうして $B_{X^*}$ で稠密な列 $(g_n)_{n\ge1}$ が得られる。$x,y\in B_X$ に対し
$$ d(x,y)=\sum_{n=1}^\infty2^{-n}|g_n(x-y)| $$
とおく。$|g_n(x-y)|\le2$ なので級数は収束する。$d$ は対称で三角不等式を満たす。$d(x,y)=0$ ならすべての $n$ で $g_n(x-y)=0$ であり、$(g_n)$ は $B_{X^*}$ で稠密だから、すべての $g\in B_{X^*}$ で $g(x-y)=0$ となる。ノルムは $\|x-y\|=\sup_{g\in B_{X^*}}|g(x-y)|$ で復元されるので（連続双対空間 の系「双対ノルムによる元のノルムの復元」）、$x=y$ である。よって $d$ は $B_X$ 上の距離である。各点 $x_0\in B_X$ で、$d$ の球と弱位相の基本近傍が互いに他を含むことを示す。
（i）$d$ の球は弱近傍を含む。$r>0$ に対し $2^{1-m}< r/2$ となる $m$ を取り、$V=\{x\in B_X:|g_n(x-x_0)|< r/2\ (n\le m)\}$ とおく。$x\in V$ なら
$$ d(x,x_0)<\sum_{n\le m}2^{-n}\frac r2+\sum_{n>m}2^{-n}\cdot2<\frac r2+\frac r2=r $$
である。
（ii）弱近傍は $d$ の球を含む。$x_0$ の基本近傍 $W=\{x\in B_X:|f_i(x-x_0)|<\varepsilon\ (1\le i\le k)\}$ を取る。$f_i$ と $\varepsilon$ を同じ正の数で割っても $W$ は変わらないので、$\|f_i\|\le1$ としてよい。各 $i$ について $\|f_i-g_{n_i}\|<\varepsilon/4$ となる $n_i$ を取り、$r>0$ を $2^{n_i}r<\varepsilon/2$（$1\le i\le k$）となるように選ぶ。$d(x,x_0)< r$ なら $|g_{n_i}(x-x_0)|\le2^{n_i}d(x,x_0)<\varepsilon/2$ であり、$\|x-x_0\|\le2$ から
$$ |f_i(x-x_0)|\le\|f_i-g_{n_i}\|\,\|x-x_0\|+|g_{n_i}(x-x_0)|<\frac\varepsilon4\cdot2+\frac\varepsilon2=\varepsilon $$
となる。よって $d$ の半径 $r$ の球は $W$ に含まれる。
（i）（ii）により、$d$ の定める位相は $B_X$ 上の弱位相と一致する。
2 ⇒ 1：$d$ を $B_X$ の弱位相を定める距離とし、$U_n=\{x\in B_X:d(x,0)<1/n\}$ とおく。有限集合 $\Phi_n\subset X^*$ と $\varepsilon_n>0$ で
$$ V_n\cap B_X\subset U_n,\qquad V_n=\{x\in X:|f(x)|<\varepsilon_n\ (f\in\Phi_n)\} $$
となるものがある。$F$ を $\bigcup_n\Phi_n$ の張る部分空間とし、$F$ が $X^*$ で稠密であることを示す。
稠密でないと仮定すると、閉包 $\overline F$ は $X^*$ と異なる閉部分空間である。$h\in X^*\setminus\overline F$ を取り、Banach 空間 $X^*$ に Hahn–Banachの定理 の系「閉部分空間の外の点を検出する汎関数」を使うと、$\xi\in X^{**}$ で $\|\xi\|=1$、$\overline F$ の上で $\xi=0$、$\xi(h)=\delta>0$ となるものがある。$f_0=2h/\delta$ とおくと $\xi(f_0)=2$ である。
$W=\{x\in B_X:|f_0(x)|<1/2\}$ は $B_X$ の中の $0$ の弱近傍なので、$d$ の球を含む。すなわち $U_{n_0}\subset W$ となる $n_0$ があり、$V_{n_0}\cap B_X\subset W$ である。$J\colon X\to X^{**}$ を評価写像とする。$\xi\in B_{X^{**}}$ なので、Goldstineの定理 の定理「Goldstineの定理」により、$\xi$ の弱スター近傍
$$ \{\eta\in X^{**}:|\eta(f)-\xi(f)|<\varepsilon_{n_0}\ (f\in\Phi_{n_0}),\ |\eta(f_0)-\xi(f_0)|<1/2\} $$
は $J(B_X)$ と交わる。その点を $J(x_1)$（$x_1\in B_X$）とする。$f\in\Phi_{n_0}\subset F$ なら $\xi(f)=0$ なので $|f(x_1)|<\varepsilon_{n_0}$ であり、$x_1\in V_{n_0}\cap B_X\subset W$、つまり $|f_0(x_1)|<1/2$ である。一方 $f_0(x_1)>\xi(f_0)-1/2=3/2$ である。これは矛盾である。
よって $F$ は稠密であり、$\bigcup_n\Phi_n$ の有理数係数の一次結合の全体は $X^*$ の可算な稠密集合である。

点列 $a_k\in A$ が $x$ に弱収束すれば、$x$ の弱近傍はどれも十分先の $a_k$ を含むので、$x$ は弱閉包に属する。
逆に $x$ が $A$ の弱閉包に属するとする。$A\subset rB_X$ となる $r>0$ を取る。$rB_X=\bigcap_{\|f\|\le1}\{y:|f(y)|\le r\}$ は弱閉集合なので（弱位相(関数解析) の系「単位球面の弱閉包」の証明と同じ）、$x\in rB_X$ であり、$x$ は部分空間 $rB_X$ の中で $A$ の閉包に属する。$y\mapsto y/r$ は $rB_X$ から $B_X$ への弱位相についての同相写像なので、thm-mwt-ball により $rB_X$ の弱位相はある距離 $d$ で定まる。$d$ について $x$ を中心とする半径 $1/k$ の球から $a_k\in A$ を選べば、$a_k$ は $rB_X$ の弱位相で $x$ に収束し、したがって $a_k\rightharpoonup x$ である。