Hahn–Banachの定理

$G_1$ の元は $x+tx_0$（$x\in G$、$t\in\mathbb R$）と一意に書けるから、$\alpha\in\mathbb R$ を選んで $g_1(x+tx_0)=g(x)+t\alpha$ と定めれば線形な延長になる。条件 $g_1\le p$ を確かめる。$t>0$ のとき、$x$ を $tx$ に取り替えて $t$ で割れば（$p$ の正斉次性）、条件は
$$ g(x)+\alpha\le p(x+x_0)\qquad(x\in G) $$
と同値である。$t<0$ のときは同様に $-t$ で割って
$$ g(y)-\alpha\le p(y-x_0)\qquad(y\in G) $$
と同値になる。$t=0$ では仮定 $g\le p$ そのものである。したがって
$$ \sup_{y\in G}\{g(y)-p(y-x_0)\}\le\alpha\le\inf_{x\in G}\{p(x+x_0)-g(x)\} $$
を満たす $\alpha$ を選べればよい。任意の $x,y\in G$ について、劣線形性から
$$ g(x)+g(y)=g(x+y)\le p(x+y)\le p(x+x_0)+p(y-x_0) $$
なので $g(y)-p(y-x_0)\le p(x+x_0)-g(x)$ である。左辺を $y$ について、右辺を $x$ について動かせば、上限は下限以下である。$G\ne\emptyset$（$0\in G$）なので上限と下限はともに有限の実数であり、その間に $\alpha$ がとれる。

$\mathcal P$ を、組 $(D,h)$（$D$ は $G\subset D$ を満たす $E$ の線形部分空間、$h\colon D\to\mathbb R$ は $g$ を延長する線形汎関数で $D$ 上 $h\le p$）全体の集合とする。$(D_1,h_1)\le(D_2,h_2)$ を「$D_1\subset D_2$ かつ $h_2$ は $h_1$ の延長」で定めると半順序であり、$(G,g)\in\mathcal P$ だから $\mathcal P$ は空でない。
$\mathcal P$ の空でない全順序部分集合 $\{(D_i,h_i)\}_{i\in I}$ をとる。$D=\bigcup_iD_i$ は線形部分空間である。実際 $x\in D_i$、$y\in D_j$ なら全順序性からどちらかが他方を含み、$x+y$ と $tx$ も同じ $D_i$ か $D_j$ に入る。$x\in D_i$ のとき $h(x)=h_i(x)$ と定めると、$x\in D_i\cap D_j$ なら大きい方が小さい方の延長なので $h_i(x)=h_j(x)$ であり、$h$ は矛盾なく定まる。同じ理由で $h$ は線形、$g$ の延長で、$h\le p$ を満たす。よって $(D,h)$ はこの全順序部分集合の上界である。空の全順序部分集合には $(G,g)$ が上界になる。Zornの補題 の記事の定理「鎖の上界から得られる極大元」により、$\mathcal P$ は極大元 $(D,f)$ をもつ。
$D\ne E$ と仮定すると、$x_0\in E\setminus D$ がとれ、lem-hb-one-step により $(D,f)$ より真に大きい $(D+\mathbb Rx_0,f_1)\in\mathcal P$ が得られて極大性に反する。よって $D=E$ であり、$f$ が求める延長である。

$\mathbb K=\mathbb R$ のとき：半ノルムは劣線形なので、thm-hb-analytic により $f\le p$ を満たす延長 $f$ がある。$-f(x)=f(-x)\le p(-x)=p(x)$ と合わせて $|f|\le p$ である。
$\mathbb K=\mathbb C$ のとき：$E$ と $G$ を実ベクトル空間とみる。$u_0=\operatorname{Re}g$ は $G$ 上の実線形汎関数で、$u_0\le|g|\le p$ を満たす。thm-hb-analytic により、$E$ 上の実線形汎関数 $u$ で $u_0$ を延長し $u\le p$ となるものがある。$f(x):=u(x)-iu(ix)$ とおくと、lem-hb-real-part の 2 により $f$ は複素線形で $\operatorname{Re}f=u$ である。$x\in G$ なら $ix\in G$ なので、lem-hb-real-part の 1 を $g$ に用いて $f(x)=u_0(x)-iu_0(ix)=g(x)$ となり、$f$ は $g$ の延長である。最後に $f(x)\ne0$ なら $e^{i\theta}f(x)=|f(x)|$ となる $\theta$ をとると、
$$ |f(x)|=f(e^{i\theta}x)=u(e^{i\theta}x)\le p(e^{i\theta}x)=p(x) $$
である。$f(x)=0$ なら $|f(x)|\le p(x)$ は $p\ge0$ から明らか。

$p(x)=\|g\|\,\|x\|$ は $X$ 上の半ノルムで、$G$ 上で $|g(x)|\le\|g\|\,\|x\|=p(x)$ である。thm-hb-seminorm により $|f|\le p$ を満たす延長 $f$ がある。これは $\|f\|\le\|g\|$ を意味し、$f$ は連続である。逆に $f$ は $g$ の延長なので $\|f\|\ge\|g\|$ である。

$M$ は閉で $x_0\notin M$ だから、$x_0$ のある球は $M$ と交わらず $d>0$ である。$G=M+\mathbb Kx_0$ 上で $g(m+\lambda x_0)=\lambda d$ と定める（表し方は一意なので well-defined で線形）。$\lambda\ne0$ なら $-m/\lambda\in M$ なので
$$ \|m+\lambda x_0\|=|\lambda|\,\bigl\|x_0-(-m/\lambda)\bigr\|\ge|\lambda|d=|g(m+\lambda x_0)| $$
であり、$\lambda=0$ でも $|g(m)|=0$ だから $\|g\|\le1$ である。$\|x_0-m_n\|\to d$ となる $m_n\in M$ をとると $g(x_0-m_n)=d$ なので $\|g\|\ge d/\|x_0-m_n\|\to1$、よって $\|g\|=1$ である。cor-hb-norm-extension で $g$ をノルム $1$ のまま延長したものが $f$ である。

凸集合 $C\ni0$ の Minkowski 汎関数の正の斉次性・劣加法性と、包含 $\{p_C<1\}\subset C$ は、Minkowski汎関数 の記事の命題「凸集合の Minkowski 汎関数の性質」の 1・2・3 で、位相を使わずに示されている。同じ命題の 4 により、$p_C$ が有限値であることは $C$ が吸収的であること（各 $x$ にある $t>0$ で $x\in tC$）と同値である。ここでは位相を使う部分だけを示す。
1：$x$ を固定すると $s\mapsto sx$ は連続で $0\cdot x=0\in C$、$C$ は開だから、十分小さい $s>0$ で $sx\in C$、すなわち $x\in s^{-1}C$ である。よって $C$ は吸収的で $p_C$ は有限値であり、上の命題と合わせて劣線形である。
2：$x\in C$ なら、$s\mapsto sx$ の $s=1$ での連続性と $C$ が開であることから、ある $\varepsilon>0$ で $(1+\varepsilon)x\in C$ である。よって $p_C(x)\le1/(1+\varepsilon)<1$。逆向きの包含 $\{p_C<1\}\subset C$ は上の命題の 3 である。
3：$x\ne0$ と $0< s< r$ について $sx/\|x\|\in C$ なので $p_C(x)\le\|x\|/s$。$s\to r$ とする。$x=0$ では $p_C(0)=0$。

$c_0\in C$ をとり、$D=C-c_0$、$z_0=x_0-c_0$ とおく。$D$ は $0$ を含む開凸集合で $z_0\notin D$ だから、lem-hb-gauge の 2 により $p_D(z_0)\ge1$ であり、特に $z_0\ne0$ である。$G=\mathbb Rz_0$ 上で $g(tz_0)=t$ とおくと、$t>0$ なら $g(tz_0)=t\le tp_D(z_0)=p_D(tz_0)$、$t\le0$ なら $g(tz_0)\le0\le p_D(tz_0)$ なので $g\le p_D$ である。thm-hb-analytic により、$g$ を延長し $f\le p_D$ を満たす線形汎関数 $f$ がある。
$f$ の連続性：$x\in D$ なら $f(x)\le p_D(x)<1$、$x\in-D$ なら $f(x)=-f(-x)>-1$ だから、$D\cap(-D)$ 上で $|f|<1$ である。$D\cap(-D)$ は $0$ の開近傍なので、$\varepsilon>0$ に対し $\varepsilon(D\cap(-D))$ 上で $|f|<\varepsilon$ となり、$f$ は $0$ で連続である。線形写像は $0$ で連続なら連続である（位相ベクトル空間 の記事の定理「線形写像の原点での判定」）。
最後に $x\in C$ なら $f(x)-f(c_0)=f(x-c_0)\le p_D(x-c_0)<1=f(z_0)=f(x_0)-f(c_0)$ であり、$f(x)< f(x_0)$ を得る。

$C=A-B=\{a-b:a\in A,\ b\in B\}$ とおく。$C$ は凸であり（$(1-t)(a-b)+t(a'-b')=\bigl((1-t)a+ta'\bigr)-\bigl((1-t)b+tb'\bigr)$）、$C=\bigcup_{b\in B}(A-b)$ は開集合の和なので開であり、$A\cap B=\emptyset$ から $0\notin C$ である。lem-hb-point-open を $x_0=0$ に用いると、連続線形汎関数 $f$ で $f(a-b)< f(0)=0$、すなわち $f(a)< f(b)$（$a\in A$、$b\in B$）となるものがある。$f\ne0$ である。$\alpha=\sup_Af$ とおくと $\alpha\le\inf_Bf$ である。$A$ は開で $f\ne0$ だから、$a\in A$ に対し $f(v)>0$ となる $v$ をとれば十分小さい $s>0$ で $a+sv\in A$、$f(a+sv)>f(a)$ となる。よって上限 $\alpha$ は $A$ 上で達成されず、$f(a)<\alpha$ である。

$C=A-B$ は凸で $0\notin C$ である。$C$ は閉である：$a_n-b_n\to z$（$a_n\in A$、$b_n\in B$）とすると、$B$ はコンパクトな距離空間の部分集合なので部分列で $b_{n_k}\to b\in B$ となり、$a_{n_k}=(a_{n_k}-b_{n_k})+b_{n_k}\to z+b$ である。$A$ は閉なので $z+b\in A$、すなわち $z\in C$ である。よってある $r>0$ で開球 $U=\{\|x\|< r\}$ は $C$ と交わらない。thm-hb-first-geometric を開凸集合 $U$ と凸集合 $C$ に用いると、$0$ でない $f\in X^*$ と $\beta$ で $f(u)<\beta\le f(c)$（$u\in U$、$c\in C$）となるものがある。$\sup_Uf=r\|f\|$ なので、$a\in A$、$b\in B$ に対し $f(a)-f(b)\ge r\|f\|$ である。$\varepsilon=r\|f\|/2>0$ とし、$\alpha$ を $\sup_Bf+\varepsilon\le\alpha\le\inf_Af-\varepsilon$ と選べば（$\sup_Bf$ はコンパクト性から有限）、$[f=\alpha]$ は $B$ と $A$ を強く分離する。

thm-hb-second-geometric を $A=C$、$B=\{x_0\}$ に用いると、$f(x_0)<\inf_Cf$ となる $f\in X^*$ が得られる（証明中の向き）。$-f$ に替えればよい。後半：$C$ を含む閉半空間の共通部分は $C$ を含み、$x_0\notin C$ は前半の $f$ と $\alpha=\sup_Cf$ の半空間に入らない。