Grothendieck宇宙

1. $x\in U$ をとる。(U3) により $\mathcal{P}(x)\in U$ であり、$\emptyset\in\mathcal{P}(x)$ なので (U1) により $\emptyset\in U$ である。$y\subset x\in U$ なら $y\in\mathcal{P}(x)\in U$ なので、(U1) により $y\in U$ である。
2. $\{x\}=\{x,x\}$ は (U2) により $U$ に属する。(U4) を $I=x$、$x_i=i$（(U1) により $i\in U$）に当てはめると $\bigcup x=\bigcup_{i\in x}i\in U$ である。$x\cup y=\bigcup\{x,y\}$、$x\cup\{x\}=\bigcup\{x,\{x\}\}$ はこれと (U2) から $U$ に属する。$(x,y)$ は (U2) を 3 回使えば $U$ に属する。$a\in x$、$b\in y$ なら $(a,b)\subset\mathcal{P}(x\cup y)$ なので $x\times y\subset\mathcal{P}(\mathcal{P}(x\cup y))$ であり、右辺は (U3) を 2 回使って $U$ に属するから、1 により $x\times y\in U$ である。
3. $\{f(i)\}\in U$ なので、(U4) により $f[I]=\bigcup_{i\in I}\{f(i)\}\in U$ である。$f$ のグラフは $I\times f[I]$ の部分集合なので、2 と 1 により $U$ に属する。和 $S:=\bigcup_{i\in I}f(i)$ は (U4) により $U$ に属する。直積は写像 $I\to S$ のグラフのうち条件を満たすものの集合なので $\mathcal{P}(I\times S)$ の部分集合であり、2・(U3)・1 により $U$ に属する。各 $\{i\}\times f(i)$ は 2 により $U$ に属するので、直和は (U4) により $U$ に属する。
4. $y^x\subset\mathcal{P}(x\times y)$ であり、商集合は同値類の集合として $\mathcal{P}(x)$ の部分集合なので、どちらも 2・(U3)・1 により $U$ に属する。
5. 数の体系は 2 と 4 の構成を繰り返して作られる。
   詳細

   $\mathbb{Z}$ を $\omega\times\omega$ の同値関係 $(m,n)\sim(m',n')\iff m+n'=m'+n$ による商集合として作れば、2 と 4 により $\mathbb{Z}\in U$ である。$\mathbb{Q}$ は $\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\setminus\{0\})$ の商集合なので同様に $U$ に属する。$\mathbb{R}$ を Dedekind の切断（$\mathbb{Q}$ の部分集合で条件を満たすもの）の集合として作れば $\mathbb{R}\subset\mathcal{P}(\mathbb{Q})$ なので $U$ に属し、$\mathbb{C}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ も $U$ に属する。和や積などの演算も直積の部分集合（グラフ）なので $U$ に属する。$\square$

全単射 $h\colon x\to U$（$x\in U$）があったとする。thm-gu-closure の 3 により $U=h[x]\in U$ である。(U3) により $\mathcal{P}(U)\in U$ であり、(U1) により $\mathcal{P}(U)\subset U$ である。すると包含写像は $\mathcal{P}(U)$ から $U$ への単射であり、Cantorの定理（冪集合から元の集合への単射は存在しない）に反する。よって $U$ は $U$-小でない。$U\in U$ なら恒等写像により $U$ は $U$-小になるので、$U\notin U$ である。$\square$

$U:=\bigcap\mathcal{U}$ とおく。(U1)：$x\in U$、$y\in x$ なら、各 $U'\in\mathcal{U}$ について $x\in U'$ なので $y\in U'$、よって $y\in U$。(U2)・(U3) も同様に、各 $U'$ で条件を使えばよい。(U4)：$I\in U$ で各 $x_i\in U$ なら、各 $U'\in\mathcal{U}$ について $I\in U'$、$x_i\in U'$ なので $\bigcup_ix_i\in U'$、よって $\bigcup_ix_i\in U$。
後半：$x\in U_0$ となる宇宙 $U_0$ をとり、$\mathcal{U}_0:=\{U'\in\mathcal{P}(U_0)\mid U'\text{ は宇宙で }x\in U'\}$ とおく。$U_0\in\mathcal{U}_0$ なので空でなく、前半により $U_{\min}:=\bigcap\mathcal{U}_0$ は $x$ を元にもつ宇宙である。$x$ を元にもつ任意の宇宙 $U$ について、$U\cap U_0$ は前半により宇宙で $x$ を元にもち $U_0$ に含まれるので、$U\cap U_0\in\mathcal{U}_0$ であり、$U_{\min}\subset U\cap U_0\subset U$ である。$\square$

thm-gu-classification の 2 により、到達不能基数 $\kappa,\lambda$ で $U=V_\kappa$、$U'=V_\lambda$ となるものがある。順序数は比較可能なので $\kappa=\lambda$、$\kappa < \lambda$、$\lambda < \kappa$ のどれか一つが成り立つ。$\kappa < \lambda$ なら、$\lambda$ は極限順序数なので $\kappa+1 < \lambda$ であり、$V_\kappa\in\mathcal{P}(V_\kappa)=V_{\kappa+1}\subset V_\lambda$、すなわち $U\in U'$ である。$\lambda < \kappa$ なら同様に $U'\in U$ である。$U\in U'$ と $U'\in U$ は同時には成り立たない（成り立てば (U1) により $U\in U$ となり、cor-gu-not-small に反する）。同じ理由で $U=U'$ のとき $U\in U'$ は成り立たない。
後半は前半と (U1) から従う。

関手 $F,G\colon\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ を固定する。自然変換 $\eta\colon F\Rightarrow G$ は成分の族 $(\eta_c)_{c\in\operatorname{Ob}\mathcal{C}}$ で決まるので、$\eta\mapsto(\eta_c)_c$ は $\operatorname{Nat}(F,G)$ から $\prod_{c\in\operatorname{Ob}\mathcal{C}}\operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(Fc,Gc)$ への単射である。
$\mathcal{C}$ は $U$-小なので、$I\in U$ と全単射 $\varphi\colon I\to\operatorname{Ob}\mathcal{C}$ がある。各 $i\in I$ について $\operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(F\varphi(i),G\varphi(i))$ は $U$-小なので、選択公理により、各 $i$ ごとに $y_i\in U$ と全単射 $\psi_i\colon\operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(F\varphi(i),G\varphi(i))\to y_i$ を一斉にとる。すると $(h_c)_c\mapsto(\psi_i(h_{\varphi(i)}))_{i\in I}$ は $\prod_c\operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(Fc,Gc)$ から $\prod_{i\in I}y_i$ への全単射であり、$i\mapsto y_i$ は $I$ から $U$ への写像なので、thm-gu-closure の 3 により $\prod_{i\in I}y_i\in U$ である。
合成すると、$\operatorname{Nat}(F,G)$ は $U$ の元 $P:=\prod_iy_i$ への単射 $j$ をもつ。像 $j[\operatorname{Nat}(F,G)]$ は $P$ の部分集合なので thm-gu-closure の 1 により $U$ に属し、$j$ はそれへの全単射である。よって $\operatorname{Nat}(F,G)$ は $U$-小である。前層の圏については、$\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ が $U$-小で $\mathbf{Set}_U$ が $U$-圏であることから従う。$\square$

$\mathcal{C}$ の Hom 集合は空集合か恒等射一つからなる集合なので、$U$-小である（thm-gu-closure の 1・2 により $\emptyset,\{\emptyset\}\in U$）。$2:=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\in U$ とおき、すべての対象を $2$ に送る関手を $F$ とする。$\mathcal{C}$ には恒等射しかないので、成分の族 $(\eta_c)_{c\in U}$（$\eta_c\colon2\to2$）はどれも自然変換である。$S\subset U$ に対し、$c\in S$ なら $\eta_c$ を $2$ の二元の入れ替え、$c\notin S$ なら恒等写像とする族を対応させると、$\mathcal{P}(U)$ から $\operatorname{Nat}(F,F)$ への単射が得られる。
$\operatorname{Nat}(F,F)$ が $U$-小なら、全単射 $\operatorname{Nat}(F,F)\to x$（$x\in U$）があり、(U1) により $x\subset U$ なので、合成して $\mathcal{P}(U)$ から $U$ への単射が得られる。これは Cantorの定理 に反する。よって $\operatorname{Nat}(F,F)$ は $U$-小でない。$\square$

1. (U1) により $U\subset V$。(U3) により $\mathcal{P}(U)\in V$ なので、$U$ の部分集合は (U1) により $V$ に属する。$U$-小な集合は $U$ の元と、したがって $V$ の元と全単射で結べる。
2. 対象の集合 $O\subset U$ は 1 により $V$ に属する。射は三つ組 $(x,y,f)$（$f\in\operatorname{Hom}(x,y)$）で表せ、$x,y\in U$、$f\in\operatorname{Hom}(x,y)\in U$ から (U1) により $f\in U$ なので、射の集合は $U\times U\times U$ の部分集合である。$U\in V$ と thm-gu-closure の 2 により $U\times U\times U\in V$ なので、射の集合も $V$ に属する。$\square$