対角行列

同義語：diagonal matrixスカラー行列scalar matrix対角成分

概要

前提知識: 行列, 体, 固有値, 正則行列

行列 $D=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$ でベクトル $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ を移すと $\begin{pmatrix}2x\\3y\end{pmatrix}$ になる。$x$ 座標は $2$ 倍、$y$ 座標は $3$ 倍されるだけで、2 つの座標は互いに混ざらない。このように対角線の外の成分がすべて $0$ の正方行列を 対角行列 という。対角行列どうしの和・積・冪は対角成分ごとの計算で済み、固有値と固有ベクトルは見ただけでわかる。そのため、一般の行列 $A$ をうまい基底で見て対角行列に直すこと（対角化）が、行列の冪や線形微分方程式を計算する基本の方法になる。この記事では、対角行列の定義と演算、固有値と固有空間、どんな行列が対角行列と可換になるか、2 つの対角行列がいつ相似になるかを証明し、対角行列に関するよくある思い込みを反例で確かめる。

定義

以下、$K$ は体とし、$K$ の元を成分とする $n$ 次正方行列の全体を $M_n(K)$、$m\times n$ 行列の全体を $M_{m,n}(K)$ と書く。$K^n$ の元は列ベクトルとし、$e_1,\dots,e_n$ を標準基底（$e_i$ は第 $i$ 成分だけが $1$ でほかが $0$）とする。

対角行列

$A=(a_{ij})\in M_n(K)$ の成分 $a_{11},a_{22},\dots,a_{nn}$ を $A$ の 対角成分 という。$i\ne j$ ならば $a_{ij}=0$ であるとき、$A$ を 対角行列（diagonal matrix）という。対角成分が $d_1,\dots,d_n$ の対角行列を
$$ \operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)=\begin{pmatrix}d_1&&&\\&d_2&&\\&&\ddots&\\&&&d_n\end{pmatrix} $$
と書く（空白の成分は $0$）。対角成分がすべて等しい対角行列 $\operatorname{diag}(c,\dots,c)=cI_n$ を スカラー行列 という。

対角成分のいくつかが $0$ でもよい。零行列 $O$ と単位行列 $I_n$ は対角行列であり、どちらもスカラー行列である。定義は Axl24 5.48（§5D、p. 163）、Bee15 Section SD の Definition DIM（p. 314）と同じである。対角行列は上三角行列でも下三角行列でもあり、逆に上三角かつ下三角の行列は対角行列である。また対角行列は転置行列をとっても変わらない対称行列である。
$D=\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)$ の $(i,j)$ 成分は、Kronecker のデルタ（$i=j$ なら $1$、$i\ne j$ なら $0$）$\delta_{ij}$ を使って $d_i\delta_{ij}$ と書ける。このことから $De_j=d_je_j$、すなわち $D$ の第 $j$ 列は $d_je_j$ である。

直感

対角行列 $\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)$ が表す線形写像は、第 $i$ 座標軸の方向を $d_i$ 倍するだけの写像であり、座標どうしが互いに影響しない。そのため $n$ 次元の問題が $n$ 個の 1 次元の問題（数の掛け算）に分かれる。冪 $D^k$ は各座標を $d_i^k$ 倍するだけであり、方程式 $Dx=b$ は $d_ix_i=b_i$ を 1 つずつ解けばよい。一般の行列を扱う多くの方法は、「基底を取り替えて対角行列に直す」か「対角行列に近い形（三角行列・Jordan標準形）に直す」ことを目指している。ただし、対角行列であることは基底の選び方による性質であり、同じ線形写像でも基底を変えれば対角行列でなくなる。

例と反例

対角行列の計算

$D=\operatorname{diag}(2,-1,3)$、$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}$ とすると
$$ D^{5}=\operatorname{diag}(32,-1,243),\qquad DA=\begin{pmatrix}2&4&6\\-4&-5&-6\\21&24&27\end{pmatrix},\qquad AD=\begin{pmatrix}2&-2&9\\8&-5&18\\14&-8&27\end{pmatrix} $$
である。$DA$ は $A$ の各行に $2,-1,3$ を掛けたもの、$AD$ は $A$ の各列に $2,-1,3$ を掛けたものであり（prop-dm-operations の 2）、$DA\ne AD$ である。$\det D=-6\ne0$ なので $D$ は正則で $D^{-1}=\operatorname{diag}(1/2,-1,1/3)$ である（正則行列の記事の例「対角行列」）。

対角化できる行列

$A=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$ は対角行列でないが、固有ベクトル $(1,0)^{\top}$（固有値 $1$）、$(1,1)^{\top}$（固有値 $2$）を並べた $P=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ について
$$ P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix} $$
となる。したがって $A^k=P\operatorname{diag}(1,2^k)P^{-1}=\begin{pmatrix}1&2^k-1\\0&2^k\end{pmatrix}$ である。逆に、対角行列 $\operatorname{diag}(1,2)$ を $P$ で共役にした $PDP^{-1}=A$ は対角行列でない。対角行列であることは相似で保たれない。

反例：零でない冪零行列は対角行列に相似でない

$N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ は $N^2=O$ を満たす。$N$ がある対角行列 $D$ に相似なら、$D^2$ は $N^2=O$ に相似なので $D^2=O$ であり、prop-dm-operations の 1 から $D$ の対角成分の 2 乗がすべて $0$、したがって $D=O$、$N=PDP^{-1}=O$ となって矛盾する。$N$ の固有多項式は $x^2$ で、$K$ 上で 1 次式の積に分解している。この例は「固有多項式が 1 次式の積に分解する」を満たすが「対角行列に相似」を満たさないことを示す（対角化の記事の系「冪零行列は零行列でなければ対角化できない」）。

反例：同じ固有値の集合でも相似とは限らない

$D=\operatorname{diag}(1,1,2)$ と $D'=\operatorname{diag}(1,2,2)$ は、固有値の集合がともに $\{1,2\}$ で、どちらも $(D-I)(D-2I)=O$ を満たす（最小多項式(線形代数) が同じ $(x-1)(x-2)$）。しかし跡が $4$ と $5$ で異なるので相似でない（相似な行列の跡は等しい。固有値の記事の命題「固有多項式の相似不変性」）。この例は「固有値の集合と最小多項式が等しい」を満たすが「相似である」を満たさない。相似かどうかは、対角成分を重複度こめて比べて決まる（thm-dm-similar）。

外す条件	反例	成り立たなくなること
対角成分が相異なる	$D=I_2$	$D$ と可換な行列は対角行列に限る（thm-dm-commutant）
基底を取り替えない	ex-dm-diagonalizable の $PDP^{-1}$	対角行列であること（相似で保たれない）
幾何重複度と代数重複度が一致	$\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$	固有多項式が 1 次式の積なら対角行列に相似
重複度まで比べる	$\operatorname{diag}(1,1,2)$ と $\operatorname{diag}(1,2,2)$	固有値の集合と最小多項式が同じなら相似
対角行列どうし	$\operatorname{diag}(1,2)$ と $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$	積が可換であること

最後の行は、$\operatorname{diag}(1,2)\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\operatorname{diag}(1,2)=\begin{pmatrix}0&2\\1&0\end{pmatrix}$ が異なることによる。対角行列どうしは可換だが（prop-dm-operations）、片方が対角行列でなければ一般に可換でない。

性質

以下 $D=\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)$、$D'=\operatorname{diag}(d_1',\dots,d_n')$ とする。

演算

対角行列の演算

$D+D'=\operatorname{diag}(d_1+d_1',\dots,d_n+d_n')$、$cD=\operatorname{diag}(cd_1,\dots,cd_n)$（$c\in K$）、$DD'=D'D=\operatorname{diag}(d_1d_1',\dots,d_nd_n')$ である。とくに整数 $k\ge0$ について $D^k=\operatorname{diag}(d_1^k,\dots,d_n^k)$ であり、多項式 $f\in K[x]$ について $f(D)=\operatorname{diag}(f(d_1),\dots,f(d_n))$ である。
$A\in M_{n,p}(K)$ について、$DA$ は $A$ の第 $i$ 行を $d_i$ 倍した行列である。$B\in M_{p,n}(K)$ について、$BD$ は $B$ の第 $j$ 列を $d_j$ 倍した行列である。
$\det D=d_1d_2\cdots d_n$、$\operatorname{tr}D=d_1+\cdots+d_n$ である。$D$ が正則であることと、すべての $d_i$ が $0$ でないことは同値で、このとき $D^{-1}=\operatorname{diag}(d_1^{-1},\dots,d_n^{-1})$ である。

成分をデルタで書く

2 から示す。$D$ の $(i,k)$ 成分は $d_i\delta_{ik}$ なので
$$ (DA)_{ij}=\sum_{k=1}^n d_i\delta_{ik}a_{kj}=d_ia_{ij},\qquad (BD)_{ij}=\sum_{k=1}^n b_{ik}d_k\delta_{kj}=b_{ij}d_j $$
である。これは主張そのものである。
1：和とスカラー倍は成分ごとの演算なので明らかである。2 を $A=D'$ に当てはめると、$DD'$ の $(i,j)$ 成分は $d_i\cdot d_j'\delta_{ij}$ であり、これは $i=j$ のとき $d_id_i'$、$i\ne j$ のとき $0$ である。$K$ の積は可換なので $DD'=D'D$ である。$D^k$ は $k$ についての帰納法で得られ（$D^0=I_n=\operatorname{diag}(1,\dots,1)$）、$f(x)=\sum_kc_kx^k$ なら和とスカラー倍の規則により $f(D)=\sum_kc_kD^k=\operatorname{diag}\bigl(\sum_kc_kd_1^k,\dots\bigr)=\operatorname{diag}(f(d_1),\dots,f(d_n))$ である。
3：対角行列は三角行列なので、行列式は対角成分の積である（行列式の記事の命題「三角行列と区分三角行列の行列式」）。跡は定義から対角成分の和である。正則性の判定と逆行列は正則行列の記事の例「対角行列」にある。$\square$

1 から、$n$ 次の対角行列の全体は和と積について閉じた可換な部分環であり、$D\mapsto(d_1,\dots,d_n)$ によって成分ごとの演算をもつ $K^n$ と同じ構造になる。$n\ge2$ なら $M_n(K)$ 自体は可換でない（行列環の記事の命題「行列環が可換になる場合」）ので、対角行列は非可換な行列の世界の中の可換な部分である。2 は、行列に左から対角行列を掛けると「行ごとの倍率の変更」、右から掛けると「列ごとの倍率の変更」になることを言っている。
1 から、多項式 $f$ について $f(D)=O$ となるのは $f(d_1)=\cdots=f(d_n)=0$ のときである。したがって $D$ を零にする最低次の最高次係数 $1$ の多項式（最小多項式）は、対角成分に現れる相異なる値 $c_1,\dots,c_k$ について $(x-c_1)\cdots(x-c_k)$ である（最小多項式(線形代数) の記事の定理「対角化の判定」の証明の前半）。重複する値は 1 回だけ数えることに注意する（ex-dm-multiset）。

固有値と固有空間

対角行列の固有値と固有空間

$D$ の固有値は $d_1,\dots,d_n$ に現れる値であり、固有多項式は $(x-d_1)\cdots(x-d_n)$ である。$c\in K$ について
$$ \ker(D-cI_n)=\operatorname{span}\{e_i:\ d_i=c\} $$
であり、$c$ の幾何重複度（固有空間の次元）と代数重複度は、ともに $d_i=c$ となる $i$ の個数に等しい。

座標ごとの方程式に分ける

$D-cI_n=\operatorname{diag}(d_1-c,\dots,d_n-c)$ なので、$x\in K^n$ について $(D-cI_n)x=0$ は $(d_i-c)x_i=0$（$i=1,\dots,n$）と同値である。$d_i\ne c$ なら $x_i=0$ であり、$d_i=c$ なら $x_i$ は任意である。よって $\ker(D-cI_n)$ は $d_i=c$ となる $e_i$ の張る空間であり、その次元は $d_i=c$ となる $i$ の個数である。とくに $\ker(D-cI_n)\ne\{0\}$、すなわち $c$ が固有値であることは、$c$ がある $d_i$ に等しいことと同値である。固有多項式は $\det(xI_n-D)=\det\operatorname{diag}(x-d_1,\dots,x-d_n)=\prod_i(x-d_i)$（prop-dm-operations の 3）である。$d_i=c$ となる $i$ の個数を $m$ とすると $\prod_i(x-d_i)=(x-c)^m g(x)$、$g(x):=\prod_{d_i\ne c}(x-d_i)$ で、$g(c)\ne0$ なので $x-c$ は $g$ を割り切らない（因数定理）。よって $c$ の根としての重複度は $m$ である。$\square$

とくに標準基底 $e_1,\dots,e_n$ は $D$ の固有ベクトルからなる基底である。逆に、線形変換がある基底の各ベクトルを定数倍するなら、その基底に関する表現行列は対角行列である。これが「対角化可能＝固有ベクトルからなる基底をもつ」の意味である（固有値の記事の定義「対角化可能な線形変換」、Axl24 5.55、§5D、p. 165）。

対角行列と可換な行列

$A=(a_{ij})\in M_n(K)$ について、次は同値である。

$AD=DA$。
$d_i\ne d_j$ となるすべての $(i,j)$ について $a_{ij}=0$。
とくに $d_1,\dots,d_n$ が相異なるなら、$D$ と可換な行列は対角行列に限る。

成分ごとに比べる

prop-dm-operations の 2 により $(AD)_{ij}=a_{ij}d_j$、$(DA)_{ij}=d_ia_{ij}$ である。よって $AD=DA$ は、すべての $(i,j)$ について $(d_i-d_j)a_{ij}=0$ であることと同値である。$K$ は体なので、これは「$d_i\ne d_j$ なら $a_{ij}=0$」と同値である。$d_1,\dots,d_n$ が相異なるなら、$i\ne j$ のとき $d_i\ne d_j$ なので $a_{ij}=0$、すなわち $A$ は対角行列である。$\square$

対角成分に等しい値があると、可換な行列はもっと多い。$D=\operatorname{diag}(1,1,2)$ なら条件 2 は $a_{13}=a_{23}=a_{31}=a_{32}=0$ であり、$D$ と可換な行列は $\begin{pmatrix}*&*&0\\ *&*&0\\0&0&*\end{pmatrix}$ の形の行列（左上の $2\times2$ の部分は任意）である。極端な場合 $D=cI_n$ はすべての行列と可換である。一般に、対角成分を等しい値ごとにまとめて $D=\operatorname{diag}(c_1I_{m_1},\dots,c_kI_{m_k})$（$c_1,\dots,c_k$ は相異なる）と並べると、$D$ と可換な行列は、対角線上の $m_1\times m_1,\dots,m_k\times m_k$ の区画の外がすべて $0$ の行列（区分対角行列）である。

可換な行列は多項式で書ける

$d_1,\dots,d_n$ が相異なるとき、$D$ と可換な行列 $A$ は、次数 $n-1$ 以下のある多項式 $f\in K[x]$ によって $A=f(D)$ と書ける。

Lagrange の補間

thm-dm-commutant により $A=\operatorname{diag}(a_1,\dots,a_n)$ は対角行列である。
$$ f(x):=\sum_{i=1}^na_i\prod_{j\ne i}\frac{x-d_j}{d_i-d_j} $$
とおく（分母は $d_i\ne d_j$ なので $0$ でない）。$f$ の次数は $n-1$ 以下で、$x=d_k$ を代入すると $i\ne k$ の項は因子 $d_k-d_k=0$ を含むので消え、$i=k$ の項は $a_k\prod_{j\ne k}\frac{d_k-d_j}{d_k-d_j}=a_k$ である。よって $f(d_k)=a_k$ であり、prop-dm-operations の 1 により $f(D)=\operatorname{diag}(f(d_1),\dots,f(d_n))=A$ である。$\square$

対角成分が相異なるという仮定は外せない。$D=I_2$ はすべての行列と可換だが、$f(I_2)=f(1)I_2$ はスカラー行列なので、$\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ は $I_2$ の多項式で書けない。
すべての対角行列と可換な行列は対角行列である。実際、$d_i$ が相異なる対角行列がとれれば thm-dm-commutant から従い、$K$ の元が $n$ 個より少ない有限体のときでも、各 $E_{ii}:=\operatorname{diag}(0,\dots,1,\dots,0)$（第 $i$ 成分だけ $1$）との可換性を thm-dm-commutant に当てはめると、$j\ne i$ について $a_{ij}=a_{ji}=0$ が出る。さらにすべての行列と可換な行列はスカラー行列に限る（行列環の記事の命題「行列環の中心」）。

対角行列の相似

対角行列が相似になる条件

2 つの対角行列 $D=\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)$ と $D'=\operatorname{diag}(d_1',\dots,d_n')$ について、次は同値である。

$D$ と $D'$ は相似である。すなわち $D'=P^{-1}DP$ となる正則行列 $P$ がある。
$\{1,\dots,n\}$ の置換 $\sigma$ で、すべての $i$ について $d_i'=d_{\sigma(i)}$ となるものがある。すなわち、$d_1',\dots,d_n'$ は $d_1,\dots,d_n$ を並べ替えたものである。

置換行列で並べ替える

2 ならば 1：置換 $\sigma$ について、第 $i$ 列が $e_{\sigma(i)}$ である行列を $P_\sigma$ とする。$P_\sigma$ の列は標準基底を並べ替えたものなので $K^n$ の基底をなし、$P_\sigma$ は正則である（正則行列の記事の定理「正則性の同値条件」の 8）。$P_\sigma e_i=e_{\sigma(i)}$ なので
$$ DP_\sigma e_i=De_{\sigma(i)}=d_{\sigma(i)}e_{\sigma(i)}=P_\sigma\bigl(d_{\sigma(i)}e_i\bigr)=P_\sigma D'e_i $$
がすべての $i$ で成り立つ。両辺の第 $i$ 列が一致するので $DP_\sigma=P_\sigma D'$、すなわち $P_\sigma^{-1}DP_\sigma=D'$ である。
1 ならば 2：相似な行列の固有多項式は等しい（固有値の記事の命題「固有多項式の相似不変性」）ので、prop-dm-eigen により
$$ (x-d_1)\cdots(x-d_n)=(x-d_1')\cdots(x-d_n') $$
である。各 $c\in K$ について、$d_i=c$ となる $i$ の個数と $d_i'=c$ となる $i$ の個数は、どちらもこの多項式の根 $c$ の重複度（$(x-c)^m$ が割り切る最大の $m$）に等しい（prop-dm-eigen の証明の後半）。したがって値ごとに個数がそろっており、$d_i'=c$ となる添字を $d_j=c$ となる添字に 1 対 1 に対応させていけば、求める置換 $\sigma$ が得られる。$\square$

たとえば $\operatorname{diag}(1,2,3)$ と $\operatorname{diag}(3,1,2)$ は、$\sigma(1)=3$、$\sigma(2)=1$、$\sigma(3)=2$ の置換行列 $P_\sigma=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}$ で $P_\sigma^{-1}\operatorname{diag}(1,2,3)P_\sigma=\operatorname{diag}(3,1,2)$ となる。1 ならば 2 の向きは、対角化の記事の命題「対角化の結果の一意性」（対角化したときの対角行列は並べ方を除いて決まる）と同じことを、対角行列どうしについて言ったものである。
この定理により、対角化できる行列の相似の類は、固有値を重複度こめて並べた組（並べ方は問わない）で完全に決まる。対角化できる 2 つの行列が相似であることは、固有多項式が等しいことと同値である。対角化できない行列では固有多項式だけでは相似の類は決まらず、Jordan標準形が必要になる（ex-dm-nilpotent の $N$ と $O$ は固有多項式が同じ $x^2$ だが相似でない）。

補足

長方形の対角行列

$m\times n$ 行列 $A$ で $i\ne j$ なら $a_{ij}=0$ となるものも、対角行列と呼ぶ流儀がある。このときの「対角成分」は $a_{11},\dots,a_{rr}$（$r=\min(m,n)$）である。この記事では、とくに断らない限り対角行列は正方行列とする（Axl24・Bee15 の定義も正方行列に限っている）。長方形の対角行列 $\Sigma$ を左から掛けると、$\Sigma x$ の第 $i$ 成分は $i\le r$ なら $a_{ii}x_i$、$i>r$ なら $0$ になり、座標を拡大・縮小したうえで次元を合わせる写像になる。

同時対角化

対角行列どうしは可換なので、同じ正則行列 $P$ で同時に対角行列に直せる行列 $A,B$（$P^{-1}AP$、$P^{-1}BP$ がともに対角行列）は、$P^{-1}ABP=(P^{-1}AP)(P^{-1}BP)=(P^{-1}BP)(P^{-1}AP)=P^{-1}BAP$ より可換である。逆に、可換な対角化可能行列は同時に対角化できる（対角化の記事の定理「可換な対角化可能行列の同時対角化」）。その証明の中心は、thm-dm-commutant の「区分対角行列」の考え方を固有空間の分解に当てはめることである。

文献

対角行列の定義は Axl24 5.48（§5D、p. 163）と Bee15 Section SD の Definition DIM（p. 314）、対角化可能性の同値条件は Axl24 5.55（p. 165）と Bee15 Section SD の Theorem DC（p. 314）による。