Eberlein–Šmulianの定理

2 ⇒ 1 と最後の主張は下の節「点列から弱コンパクトへ」で、1 ⇒ 2 は節「弱コンパクトから点列へ」で示す。

相対弱点列コンパクトで有界でないなら、$\|x_n\|\ge n$ となる $x_n\in A$ がとれるが、弱収束する部分列は有界である（弱位相(関数解析) の記事の命題「弱収束列の基本性質」の 2）から矛盾する。相対弱コンパクトなら、各 $f\in X^*$ は弱連続なので弱コンパクト集合 $\overline A^{\,w}$ 上で有界であり、$\{J(x):x\in A\}$ は Banach 空間 $X^*$ 上で各点有界な連続線形汎関数の族になる。一様有界性原理 により $\sup_{x\in A}\|J(x)\|< \infty$ で、$J$ は等長なので $A$ は有界である。$\square$

$Y$ の稠密列 $(y_k)$ をとり、$\|g_k\|=1$、$g_k(y_k)=\|y_k\|$ となる $g_k\in Y^*$ を選ぶ（連続双対空間 の記事の定理「点でノルムを実現する汎関数」。$y_k=0$ なら任意の $\|g_k\|=1$ でよい）。$x\ne0$ なら $\|x-y_k\|< \|x\|/3$ となる $k$ があり、
$$ \bigl|g_k(x)\bigr|\ge|g_k(y_k)|-\|x-y_k\|=\|y_k\|-\|x-y_k\|\ge\|x\|-2\|x-y_k\|>\|x\|/3>0 $$
なので、$(g_k)$ は $Y$ の点を分離する。そこで
$$ d(x,y)=\sum_{k=1}^\infty2^{-k}\min\{1,|g_k(x-y)|\} $$
とおくと $d$ は $Y$ 上の距離である。各項は弱連続で、級数は一様収束するから、$d(\cdot,y)$ は弱連続であり、$d$ の定める位相は弱位相より粗い。したがって恒等写像 $(K,\sigma(Y,Y^*))\to(K,d)$ は連続な全単射で、コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続全単射なので同相写像である。$K$ は弱位相でコンパクトな距離空間とみなせるから、点列コンパクト の記事の定理「距離空間における同値性」により点列コンパクトである。$\square$

$M=\{0\}$ なら明らかなので、$M\ne\{0\}$ とする。$M$ の単位球面 $S$ は有限次元ノルム空間の有界閉集合なのでコンパクトであり、有限個の $\eta_1,\ldots,\eta_m\in S$ で $S\subset\bigcup_i\{\eta:\|\eta-\eta_i\|<1/4\}$ となる。双対ノルムの定義から $|\eta_i(f_i)|\ge3/4$ となる $f_i\in B_{X^*}$ を選ぶ。$\eta\in S$ について $\|\eta-\eta_i\|<1/4$ となる $i$ をとれば $|\eta(f_i)|\ge|\eta_i(f_i)|-\|\eta-\eta_i\|>1/2$ である。一般の $\eta\ne0$ は $\eta/\|\eta\|$ に当てはめればよい。$\square$

点列の構成：$M_0=\mathbb K\xi$ とおく。$k=0,1,2,\ldots$ について順に、$M_k$ に lem-es-finite-norming を用いて有限集合 $F_{k+1}\subset B_{X^*}$ を選び、$G_{k+1}=F_1\cup\cdots\cup F_{k+1}$ とする。$\xi$ は $J(A)$ の弱スター閉包の点で、$G_{k+1}$ は有限集合なので、
$$ \bigl|\xi(f)-f(x_{k+1})\bigr|< \frac1{k+1}\qquad(f\in G_{k+1})\qquad(1) $$
となる $x_{k+1}\in A$ がとれる。$M_{k+1}=\operatorname{span}\{\xi,J(x_1),\ldots,J(x_{k+1})\}$ とおいて続ける。作り方から
$$ \max_{f\in F_{k+1}}|\eta(f)|\ge\tfrac12\|\eta\|\qquad(\eta\in M_k)\qquad(2) $$
である。
ノルムを測る可算集合：$G=\bigcup_kF_k$、$M=\bigcup_kM_k$ とおく。(2) から、$\eta\in M$ なら $\sup_{f\in G}|\eta(f)|\ge\frac12\|\eta\|$ である。$\|f\|\le1$ なので $\eta\mapsto\eta(f)$ は $1$-Lipschitz であり、この不等式は $M$ のノルム閉包 $\overline M$ の元にもそのまま延びる（$\eta_n\to\eta$ なら $\sup_G|\eta(f)|\ge\frac12\|\eta_n\|-\|\eta-\eta_n\|$）。
極限の同定：仮定から $(x_k)$ の部分列 $x_{k_j}$ と $x\in X$ で $x_{k_j}\rightharpoonup x$ となるものがある。$\{x_k\}$ の張る部分空間の閉包 $L$ は閉凸集合なので弱閉であり（Mazurの補題 の記事の定理「凸集合の強閉と弱閉」）、$x\in L$ である。$J$ は線形等長なので $J(L)\subset\overline M$ であり、$\xi\in M$ と合わせて $\eta=\xi-J(x)\in\overline M$ である。$f\in G$ をとると、$f\in G_{k+1}$ がすべての大きな $k$ で成り立つので、(1) から
$$ \xi(f)=\lim_{j\to\infty}f(x_{k_j})=f(x) $$
であり、$\eta(f)=0$ である。したがって $\|\eta\|\le2\sup_{f\in G}|\eta(f)|=0$ で、$\xi=J(x)$ である。$\square$

必要性は 反射的Banach空間 の記事の定理「有界列の弱収束部分列」である。十分性：仮定は $B_X$ が相対弱点列コンパクトであることを言うので、thm-es により $\overline{B_X}^{\,w}$ は弱コンパクトである。$B_X$ はノルムで閉じた凸集合なので弱閉であり（Mazurの補題 の記事の定理「凸集合の強閉と弱閉」）、$B_X$ 自身が弱コンパクトになる。反射的Banach空間 の記事の定理「角谷の定理」により $X$ は反射的である。$\square$

$K$ が弱コンパクトなら、弱位相は Hausdorff なので $K$ は弱閉で $\overline K^{\,w}=K$ である。thm-es の 1 ⇒ 2 で得た部分列の弱極限は、弱閉集合 $K$ の点の弱極限なので $K$ に属する。逆を仮定すると thm-es により $\overline K^{\,w}$ は弱コンパクトである。$y\in\overline K^{\,w}$ は $K$ の点列 $(x_n)$ の弱極限であり、仮定からその部分列は $K$ の点に弱収束する。弱極限は一意なので $y\in K$ となり、$K=\overline K^{\,w}$ は弱コンパクトである。$\square$