Hodge数

前提知識: Dolbeaultコホモロジー, Dolbeaultラプラシアン, Betti数, Hodge分解, スペクトル系列

Hodge数（Hodge number）とは、コンパクト複素多様体 $X$ に対して
$$ h^{p,q}(X):=\dim_{\mathbb C}H^q(X,\Omega^p_X)=\dim_{\mathbb C}H^{p,q}_{\bar\partial}(X)\qquad(0\le p,q\le n=\dim_{\mathbb C}X) $$
で定まる非負整数である。ここで $\Omega^p_X$ は正則 $p$ 形式の層、$H^{p,q}_{\bar\partial}(X)$ は Dolbeault コホモロジー（Dolbeaultコホモロジー）で、両者は Dolbeault の定理（Dolbeaultの定理）で同型である。$h^{p,q}$ は複素構造だけで決まり、計量によらない。$h^{p,q}$ たちを菱形に並べた図を Hodge 菱形（Hodge ダイヤモンド、Hodge diamond）という。
Hodge 数は、位相不変量である Betti 数（Betti数）$b_k$ を複素構造に応じて細かく分けたものである。どのコンパクト複素多様体でも、Euler 標数は $\chi(X)=\sum_{p,q}(-1)^{p+q}h^{p,q}$ と Hodge 数で書け（thm-hnum-euler）、$b_k\le\sum_{p+q=k}h^{p,q}$ が成り立つ。コンパクト Kähler 多様体では等号 $b_k=\sum_{p+q=k}h^{p,q}$ が成り立ち（Hodge分解）、Hodge 菱形は縦軸・横軸・中心のそれぞれについて対称になる。Kähler でない多様体では、これらの等号と対称性が崩れうる（ex-hnum-hopf、ex-hnum-iwasawa）。

定義

$X$ を複素次元 $n$ のコンパクト複素多様体とする。

$h^{p,q}(X)$ は有限で、計量によらない（Dolbeaultラプラシアン の主定理「Dolbeault コホモロジーの Hodge の定理」の 4）。定義に使うのは Dolbeault コホモロジーなので、Hermite 計量を選ぶ必要はない。有限性の証明には Hermite 計量と楕円型作用素の理論を使う。この定義は Wel08 Ch. IV Example 5.5（p. 150）、Dem12 Ch. VI (8.11)（p. 312）と同じである。
$h^{p,0}(X)$ は正則 $p$ 形式の空間 $\Omega^p(X)$ の次元である（$H^{p,0}_{\bar\partial}(X)=\Omega^p(X)$）。$h^{0,q}(X)=\dim H^q(X,\mathcal O_X)$ は構造層のコホモロジーの次元で、$q(X):=h^{0,1}(X)$ を不正則数、$p_g(X):=h^{n,0}(X)=\dim H^0(X,K_X)$（$K_X=\Omega^n_X$ は標準束）を幾何種数という。
de Rham コホモロジーの成分との関係．Hodge分解 の記事は、型 $(p,q)$ の $d$ 閉形式で代表される de Rham コホモロジー類の空間 $H^{p,q}(X)$ の次元を Hodge 数と呼んでいる。$X$ が $\partial\bar\partial$-補題をみたせば（とくにコンパクト Kähler 多様体なら）、計量によらない同型 $H^{p,q}_{\bar\partial}(X)\cong H^{p,q}(X)$ がある（∂∂̄-補題 の定理「Bott–Chern コホモロジーとの比較」）ので、2 つの定義は一致する。Kähler でなければ一致するとは限らない。Hopf 曲面では $H^{0,1}(X)=0$ だが $H^{0,1}_{\bar\partial}(X)\neq0$ である（Hodge分解 の例「反例：Hopf 曲面」）。この記事では Hodge 数をつねに上の定義（Dolbeault コホモロジーの次元）の意味で使う。
Betti 数は $b_k(X):=\dim_{\mathbb C}H^k_{dR}(X;\mathbb C)$ とし、Euler 標数を $\chi(X):=\sum_{k=0}^{2n}(-1)^kb_k(X)$ とおく。$b_k$ はコンパクト多様体では有限である（Hodgeの定理、War83 Theorem 6.11 の系、p. 226）。

Hodge 菱形

$h^{p,q}$ を、$p+q=k$ のものを下から $k$ 段目に、$h^{k,0}$ を左端・$h^{0,k}$ を右端にして並べる。$n=2$ なら
$$ \begin{array}{ccccc} &&h^{2,2}&&\\ &h^{2,1}&&h^{1,2}&\\ h^{2,0}&&h^{1,1}&&h^{0,2}\\ &h^{1,0}&&h^{0,1}&\\ &&h^{0,0}&& \end{array} $$
である。$k$ 段目の和 $\sum_{p+q=k}h^{p,q}$ が Betti 数 $b_k$ と比べられる量になる。この並べ方では、$(p,q)\mapsto(q,p)$ は縦軸についての折り返し、$(p,q)\mapsto(n-p,n-q)$ は中心についての点対称、その合成 $(p,q)\mapsto(n-q,n-p)$ は横軸についての折り返しである。

対称性

3 の対称性は、写像 $(p,q)\mapsto(q,p)$ と $(p,q)\mapsto(n-p,n-q)$ の生成する位数 4 の群（2 つの折り返しと点対称と恒等写像）による対称性である。コンパクト Kähler 多様体ではさらに、Hard Lefschetz 定理（Hard Lefschetz定理）から $p+q\le n$ のとき $h^{p,q}\ge h^{p-1,q-1}$ が従う（Dem12 Ch. VI Corollary (8.16)、p. 313。この記事では証明しない）。

Betti 数との関係

不等式と Kähler の場合の等式

$X$ 上の $(p,q)$ 形式のなす二重複体 $(\mathcal A^{\bullet,\bullet}(X),\partial,\bar\partial)$ から得られる Hodge–de Rham スペクトル系列（Frölicher スペクトル系列）
$$ E_1^{p,q}=H^{p,q}_{\bar\partial}(X)\Longrightarrow H^{p+q}_{dR}(X;\mathbb C) $$
がある（Hodge分解 の節「Hodge–de Rham スペクトル系列の退化」、Dem12 Ch. VI §11 (11.1)、p. 322）。$r$ 番目の微分は $d_r\colon E_r^{p,q}\to E_r^{p+r,q-r+1}$ で、$E_{r+1}$ は $(E_r,d_r)$ のコホモロジーであり、極限 $E_\infty^{p,q}$ は $H^{p+q}_{dR}(X;\mathbb C)$ の有限なフィルトレーションの次数商である。したがって Hodge分解 の命題「Betti 数と $E_1$ 項の次元の不等式」により、任意のコンパクト複素多様体で
$$ b_k(X)\le\sum_{p+q=k}h^{p,q}(X) $$
が成り立ち、すべての $k$ で等号が成り立つことはスペクトル系列が $E_1$ で退化することと同値である。コンパクト Kähler 多様体では Hodge 分解により等号 $b_k=\sum_{p+q=k}h^{p,q}$ が成り立つ（Hodge分解 の命題「Hodge 数の関係」、Wel08 Ch. V Corollary 5.2、p. 198）。
個々の $b_k$ については不等式しか言えないが、交代和をとると、どのコンパクト複素多様体でも等式になる。

Euler 標数

この補題は Dem12 Ch. VI Lemma (11.6)（p. 323）にある。

定理は Dem12 Ch. VI Theorem (11.7)（p. 323）、Wel08 Ch. IV Theorem 5.6（p. 151。証明は省略されている）にある。$\chi_p(X):=\sum_q(-1)^qh^{p,q}(X)=\sum_q(-1)^q\dim H^q(X,\Omega^p_X)$ を $\Omega^p_X$ の正則 Euler 標数とすると、定理は $\chi(X)=\sum_p(-1)^p\chi_p(X)$ と書ける。位相的な量 $\chi(X)$ が、正則な層のコホモロジーだけから計算できるということである。

この系は Kähler の仮定を使っていないが、Riemann 面はつねに Kähler なので、Hodge分解 の例「コンパクト Riemann 面」の結論と同じである。ここでの証明は Hodge 分解の代わりに、Serre 双対性と Euler 標数の等式だけを使っている。

コンパクト Kähler 曲面

例

Hopf 曲面では Hodge–de Rham スペクトル系列は $E_1$ で退化する（各 $k$ で等号が成り立つ）が、Hodge 対称性は成り立たない。退化と Kähler 性は別のことである。次の例では、退化も成り立たない。

$dx$、$dy$ は $d$ 閉なので実際には $c=2$ である。$\theta$ が $d$ 閉でないこと（$d\theta=-dx\wedge dy$）が、$h^{1,0}$ と $b_1$ の関係を Kähler の場合から狂わせている。

反例と注意

1 行目：$\mathbb C$ 上の正則 1 形式 $z^m\,dz$（$m\ge0$）は一次独立なので $H^{1,0}_{\bar\partial}(\mathbb C)=\Omega^1(\mathbb C)$ は無限次元で、Hodge 数は定義できない。破る含意は「複素多様体の Dolbeault コホモロジーは有限次元」であり、有限性にはコンパクト性が要る（Dolbeaultラプラシアン の節「反例と注意」）。
注意を 3 つ挙げる。

• Hodge 構造の Hodge 数．コンパクト Kähler 多様体では $H^k(X,\mathbb C)=\bigoplus_{p+q=k}H^{p,q}(X)$ が重さ $k$ の Hodge 構造を与え、その Hodge 数（Hodge構造 の定義「重さ $n$ の純 Hodge 構造」）は $h^{p,q}(X)$（$p+q=k$）である。Hodge 菱形の $k$ 段目は、$H^k$ の Hodge 構造の Hodge 数の並びである。
• 代数的な計算．$X$ が複素射影多様体なら、GAGA により $h^{p,q}(X)=\dim H^q(X,\Omega^p_{X/\mathbb C})$ が代数的な層コホモロジーで計算できる（Dolbeaultコホモロジー の注意「GAGAによる代数的な計算」）。この式は任意の体上の滑らかな射影多様体で Hodge 数を定義するのにも使われる。
• 複素構造への依存．$h^{p,q}$ は複素構造の不変量で、Betti 数と違って位相だけでは決まらない。ただしコンパクト Kähler 多様体では、$b_{2k+1}$ の偶数性や prop-hnum-surface の $b_2-h^{1,1}$ の偶数性のように、Betti 数と Hodge 数の間に位相的な制約が生じる。

関連項目

• 前提: Dolbeaultコホモロジー, Dolbeaultラプラシアン, Betti数, スペクトル系列
• 比較: Hodge分解, Hodge構造, Serre双対性
• 直後に読む: Hodge対称性, ∂∂̄-補題, Hard Lefschetz定理
• 発展: K3曲面, Hopf曲面, Hodge–Riemann双線形関係