Erdős–Mordellの不等式

方針：$P$ を折り返した点 $P'$ では、辺 $AB$ までの距離が $p_b$、辺 $AC$ までの距離が $p_c$ になる。三角形 $ABP'$ と $ACP'$ の面積の和を、辺 $AB$、$AC$ を底辺にして書くと $\dfrac12(c\,p_b+b\,p_c)$、線分 $AP'$ を底辺にして書くと $\dfrac12AP'\,(u+v)$ になる（$u$、$v$ は $B$、$C$ から直線 $AP'$ までの距離）。$u+v$ は $a$ 以下である。
段 1（$P=A$ のとき）。$PA=0$、$p_b=p_c=0$（$A$ は直線 $CA$ と $AB$ の上にある）なので、両辺とも $0$ で成り立つ。以下 $P\ne A$ とする。
段 2（折り返し）。角 $A$ の二等分線を $m$ とする。$m$ は直線 $AB$ とも直線 $AC$ とも角 $\dfrac A2$ をなし、2 本は $m$ の反対側にあるので、$m$ に関する折り返しは直線 $AB$ を直線 $AC$ に、直線 $AC$ を直線 $AB$ に移す。折り返しは 2 点の距離を変えないので、点から直線までの距離も変えない。よって $P'$ から直線 $AB$ までの距離は、$P$ から直線 $AC$ までの距離 $p_b$ に等しく、$P'$ から直線 $AC$ までの距離は $p_c$ である。また $A$ は $m$ の上にあるので $AP'=AP$ である。$P$ は角 $\angle BAC$ の内部または周にあり、折り返しはこの角を自分自身に移すので、$P'$ も角 $\angle BAC$ の内部または周にある（図 2）。
段 3（辺 $AB$、$AC$ を底辺にする）。三角形 $ABP'$ の面積は、底辺 $AB$（長さ $c$）と高さ $p_b$ から $\dfrac12c\,p_b$、三角形 $ACP'$ の面積は $\dfrac12b\,p_c$ である。
段 4（線分 $AP'$ を底辺にする）。直線 $AP'$ を $\ell$ とし、$B$、$C$ から $\ell$ までの距離を $u$、$v$ とする。三角形 $ABP'$ と $ACP'$ は底辺 $AP'$ を共有するので、面積は $\dfrac12AP'\cdot u$ と $\dfrac12AP'\cdot v$ である。段 3 と比べて 2 倍すると
$$ c\,p_b+b\,p_c=AP'\,(u+v) $$
である。
段 5（$u+v\le a$）。$P'$ は角 $\angle BAC$ の中にあるので、$A$ から $P'$ へ向かう半直線は辺 $BC$ と点 $D$ で交わる。直線 $\ell$ と直線 $BC$ のなす角を $\theta$（$0^\circ<\theta\le90^\circ$）とすると、$B$ から $\ell$ に下ろした垂線を考えて $u=BD\sin\theta$、同じく $v=CD\sin\theta$ である（$D=B$ なら $u=0$、$D=C$ なら $v=0$ で、式はそのまま成り立つ）。$D$ は線分 $BC$ の上にあるので $BD+CD=a$ で、
$$ u+v=(BD+CD)\sin\theta=a\sin\theta\le a $$
である。等号は $\sin\theta=1$、つまり $\theta=90^\circ$ のときに限る。
段 6（まとめ）。段 4、段 5 と $AP'=AP$ から
$$ c\,p_b+b\,p_c=AP'\,(u+v)\le AP'\cdot a=a\cdot PA $$
である。$AP'>0$ なので、等号は段 5 の等号、つまり $\ell=AP'$ が $BC$ に垂直なときに限る。$\square$

方針：lem-em-key を 3 つの頂点で使い、辺の長さで割って足す。$p_a$、$p_b$、$p_c$ の係数は $\dfrac xy+\dfrac yx$ の形になり、どれも $2$ 以上である。等号の条件は、使った不等式がすべて等号になる条件として調べる。
段 1（3 つの補題）。lem-em-key と、その文字を $A\to B\to C\to A$（したがって $a\to b\to c\to a$、$p_a\to p_b\to p_c\to p_a$）と回したものから
$$ a\cdot PA\ge c\,p_b+b\,p_c,\qquad b\cdot PB\ge a\,p_c+c\,p_a,\qquad c\cdot PC\ge b\,p_a+a\,p_b $$
である。
段 2（割って足す）。それぞれ $a$、$b$、$c$ で割って足し、$p_a$、$p_b$、$p_c$ ごとにまとめると
$$ PA+PB+PC\ge\underbrace{\left(\frac cb+\frac bc\right)}_{\ge2}p_a+\underbrace{\left(\frac ca+\frac ac\right)}_{\ge2}p_b+\underbrace{\left(\frac ba+\frac ab\right)}_{\ge2}p_c $$
である。
段 3（係数は $2$ 以上）。正の数 $x,y$ について $(x-y)^2\ge0$ を展開すると $x^2+y^2\ge2xy$ で、両辺を $xy>0$ で割ると $\dfrac xy+\dfrac yx\ge2$ である。等号は $x=y$ のときに限る（相加平均と相乗平均）。$p_a,p_b,p_c\ge0$ なので、段 2 の右辺は $2p_a+2p_b+2p_c$ 以上で、
$$ PA+PB+PC\ge2(p_a+p_b+p_c) $$
が成り立つ。
段 4（等号：$P$ が内部の点のとき）。等号が成り立つとすると、段 1 の 3 つの不等式と、段 3 で係数を $2$ でおさえたところが、すべて等号である（どこか 1 か所でも真に大きければ、全体も真に大きくなる）。$P$ が内部の点なら $p_a,p_b,p_c>0$ なので、3 つの係数がすべて $2$ で、$b=c$、$c=a$、$a=b$ である。よって三角形は正三角形である。正三角形では角 $A$ の二等分線は辺 $BC$ に垂直である（二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺の垂直二等分線）。lem-em-key の等号から直線 $AP'$ も $BC$ に垂直で、$A$ を通り $BC$ に垂直な直線は 1 本しかないので、直線 $AP'$ は二等分線 $m$ である。$P'$ が $m$ の上にあるので、$P'$ を $m$ で折り返した $P$ も $P'$ 自身で、$m$ の上にある。同じく頂点 $B$ の補題の等号から、$P$ は角 $B$ の二等分線の上にある。2 本の二等分線の交点は内心で、正三角形ではそれが中心である。
段 5（等号：$P$ が辺の上にあり頂点でないとき）。たとえば $P$ が辺 $BC$ の上にあり $B$、$C$ と異なるとき、$p_a=0$ で、$p_b>0$、$p_c>0$ である（$P$ は直線 $CA$ と $AB$ の上にない）。等号が成り立つとすると、段 4 と同じく $p_b$、$p_c$ の係数が $2$ なので $c=a$、$a=b$ で、三角形は正三角形である。さらに頂点 $B$、$C$ の補題の等号から、段 4 と同じく $P$ は角 $B$、角 $C$ の二等分線の上にあり、$P$ は中心になる。中心は辺の上にないので、矛盾である。よって等号は成り立たない。
段 6（等号：$P$ が頂点のとき）。$P=A$ なら $PA=0$、$PB=c$、$PC=b$、$p_a=h_a$（$A$ から直線 $BC$ までの距離）、$p_b=p_c=0$ なので、示す不等式は $b+c\ge2h_a$ である。$A$ から直線 $BC$ への垂線は、$A$ から直線 $BC$ の上の点までの線分の中で最も短いので、$c\ge h_a$、$b\ge h_a$ で、等号はそれぞれ $AB\perp BC$、$AC\perp BC$ のときに限る。2 つが同時に成り立つことはない（$B$ と $C$ で同じ直線 $BC$ に垂直な 2 直線 $AB$、$AC$ は平行になり、$A$ で交わらない）ので、$b+c>2h_a$ である。$P=B$、$P=C$ でも同じである。
段 7（等号が成り立つ場合）。逆に、高さ $h$ の正三角形の中心 $P$ では、$PA=PB=PC=\dfrac23h$（中心は中線を $2:1$ に内分する）、$p_a=p_b=p_c=\dfrac13h$ なので、両辺とも $2h$ で等号が成り立つ。$\square$

Vivianiの定理 により $p_a+p_b+p_c=h$ なので、thm-em-main の右辺は $2h$ である。等号の条件は thm-em-main のとおり中心のときに限る。$2h=2\cdot\dfrac{\sqrt3}2a=\sqrt3\,a$ である。$\square$

段 1。lem-em-key の右辺に相加平均と相乗平均の不等式 $x+y\ge2\sqrt{xy}$（$x,y\ge0$）を使うと $a\cdot PA\ge c\,p_b+b\,p_c\ge2\sqrt{bc\,p_b\,p_c}$ である。同じく $b\cdot PB\ge2\sqrt{ca\,p_c\,p_a}$、$c\cdot PC\ge2\sqrt{ab\,p_a\,p_b}$ である。
段 2。3 つの不等式の両辺はどれも $0$ 以上なので、辺々掛けてよい。
$$ abc\cdot PA\cdot PB\cdot PC\ge8\sqrt{a^2b^2c^2\,p_a^2\,p_b^2\,p_c^2}=8abc\,p_a\,p_b\,p_c $$
で、$abc>0$ で割ると結論を得る。$\square$