Steinerの内接楕円

方針：媒介変数を $\theta_0$ だけずらして、2 本のベクトルを垂直なものに取りかえる。垂直な 2 本なら、その向きに座標軸をとると 2次曲線の媒介変数表示 の楕円になる。

段 1（取りかえる）。角 $\theta_0$ に対して

$$\vec p\,'=\cos\theta_0\,\vec p+\sin\theta_0\,\vec q,\qquad\vec q\,'=-\sin\theta_0\,\vec p+\cos\theta_0\,\vec q$$

とおく。加法定理により、$\varphi=\theta-\theta_0$ として

$$\cos\varphi\,\vec p\,'+\sin\varphi\,\vec q\,'=(\cos\varphi\cos\theta_0-\sin\varphi\sin\theta_0)\vec p+(\cos\varphi\sin\theta_0+\sin\varphi\cos\theta_0)\vec q=\cos\theta\,\vec p+\sin\theta\,\vec q$$

である。したがって、曲線は $\vec c+\cos\varphi\,\vec p\,'+\sin\varphi\,\vec q\,'$ とも書ける。

段 2（垂直にする）。内積を計算し、2 倍角の公式を使うと

$$\vec p\,'\cdot\vec q\,'=\frac{\lvert\vec q\rvert^2-\lvert\vec p\rvert^2}2\sin2\theta_0+(\vec p\cdot\vec q)\cos2\theta_0$$

である。右辺は $2\theta_0$ の三角関数の合成で $K\sin(2\theta_0+\delta)$（$K\ge0$）の形に書けるので、$2\theta_0=-\delta$ ととれば $0$ になる。以下、この $\theta_0$ を使う。

段 3（楕円になる）。$\vec p\,'$ と $\vec q\,'$ は $\vec p$、$\vec q$ の組み合わせで、段 1 の式を逆に解くと $\vec p=\cos\theta_0\,\vec p\,'-\sin\theta_0\,\vec q\,'$ なども成り立つ。もし $\vec p\,'=\vec0$ なら $\vec p$ と $\vec q$ がどちらも $\vec q\,'$ の実数倍になり、平行でないことに反する。よって $\vec p\,'\ne\vec0$、同じく $\vec q\,'\ne\vec0$ である。$a=\lvert\vec p\,'\rvert$、$b=\lvert\vec q\,'\rvert$ とし、点 $\vec c$ を原点、$\vec p\,'$ の向きを $x$ 軸、$\vec q\,'$ の向きを $y$ 軸とする座標をとる（元の座標から回転と平行移動で移る）。ただし、$\vec q\,'$ が $\vec p\,'$ を時計回りに $90^\circ$ 回した向きのときは、$y$ 軸を $-\vec q\,'$ の向きにとる。この座標で曲線の点は $(a\cos\varphi,\ b\sin\varphi)$ または $(a\cos\varphi,\ -b\sin\varphi)$ なので、曲線は楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ である（2次曲線の媒介変数表示）。

段 4（面積）。楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}\le1$ の面積は $\pi ab$ である（1次変換と行列式：面積の拡大率 の「楕円の面積」）。$\vec p\,'\perp\vec q\,'$ なので、$ab=\lvert\vec p\,'\rvert\lvert\vec q\,'\rvert$ は 2 本が張る長方形の面積で、$\left\lvert\det(\vec p\,',\vec q\,')\right\rvert$ に等しい。一方、段 1 の式から

$$\det(\vec p\,',\vec q\,')=(\cos^2\theta_0+\sin^2\theta_0)\det(\vec p,\vec q)=\det(\vec p,\vec q)$$

である（$\det$ は各ベクトルについて 1 次で、$\det(\vec p,\vec p)=\det(\vec q,\vec q)=0$、$\det(\vec q,\vec p)=-\det(\vec p,\vec q)$ を使って展開した）。よって面積は $\pi\left\lvert\det(\vec p,\vec q)\right\rvert$ である。$\square$

(i) $\vec y=P\vec x+\vec v$ は $\vec x=P^{-1}(\vec y-\vec v)$ と同値で、$P^{-1}$ の行列式も $0$ でない。続けたものは $Q(P\vec x+\vec v)+\vec w=(QP)\vec x+(Q\vec v+\vec w)$ で、$\det(QP)=\det Q\det P\ne0$ である。

(ii) 直線 $\vec x_0+s\vec d$（$\vec d\ne\vec0$）の像は $(P\vec x_0+\vec v)+sP\vec d$ で、$P\vec d\ne\vec0$ なので直線である。

(iii) 中点は 中点連結定理 の「大学数学で見る」の補題（アフィン変換で保たれるもの）で示されている。重心も同じく $f\left(\dfrac{\vec a+\vec b+\vec c}3\right)=\dfrac{f(\vec a)+f(\vec b)+f(\vec c)}3$（$P$ の 1 次性と $\dfrac13+\dfrac13+\dfrac13=1$）から出る。

(iv) 楕円は lem-stin-param の形 $\vec c+\cos\theta\,\vec p+\sin\theta\,\vec q$ に書ける（楕円の定義の $(a\cos\theta,b\sin\theta)$ を回転・平行移動したもの）。像は $f(\vec c)+\cos\theta\,P\vec p+\sin\theta\,P\vec q$ で、$P\vec p$ と $P\vec q$ は平行でない（平行なら $P$ が平面をつぶし、行列式が $0$ になる）ので、lem-stin-param により中心 $f(\vec c)$ の楕円である。接することは「共有点がただ 1 つ」で決めたので、$f$ が 1 対 1 で直線を直線に移すことから保たれる。

(v) 三角形は 1次変換と行列式：面積の拡大率 の主定理（平行四辺形の半分）。楕円は、lem-stin-param の面積 $\pi\lvert\det(\vec p,\vec q)\rvert$ が $\pi\lvert\det(P\vec p,P\vec q)\rvert=\pi\lvert\det P\rvert\lvert\det(\vec p,\vec q)\rvert$ になることから出る。

(vi) 中点連結定理 の「大学数学で見る」の定理（1 つの三角形で確かめれば足りる）の 1 により、$O(0,0)$、$E_1(1,0)$、$E_2(0,1)$ を $A_i$、$B_i$、$C_i$ に移すアフィン変換 $f_i$ がある（$i=1,2$）。$f_2\circ f_1^{-1}$ が求めるものである（(i)）。$\square$

方針：楕円を 2 次式 $=0$ で表し、各辺の直線を代入した 2 次方程式が中点で重解をもつ、という条件から係数を決める。

段 1（楕円の式）。def-stin-ellipse により、楕円は $\dfrac{X^2}{a^2}+\dfrac{Y^2}{b^2}=1$ を角 $\varphi$ の回転と $(x_0,y_0)$ への平行移動で動かしたものである。点 $(x,y)$ が楕円の上にあることは、

$$X=\cos\varphi\,(x-x_0)+\sin\varphi\,(y-y_0),\qquad Y=-\sin\varphi\,(x-x_0)+\cos\varphi\,(y-y_0)$$

が $\dfrac{X^2}{a^2}+\dfrac{Y^2}{b^2}=1$ を満たすことと同じである。展開すると、楕円は

$$F(x,y)=c_1x^2+c_2xy+c_3y^2+c_4x+c_5y+c_6=0$$

の形の式で表される。2 次の部分 $c_1x^2+c_2xy+c_3y^2$ は $\dfrac{(\cos\varphi\,x+\sin\varphi\,y)^2}{a^2}+\dfrac{(-\sin\varphi\,x+\cos\varphi\,y)^2}{b^2}$ に等しい。2 つのかっこが同時に $0$ になるのは $x=y=0$ のときだけなので、$(x,y)\ne(0,0)$ ならこの値は正である。特に $c_1>0$、$c_3>0$、$c_1-c_2+c_3>0$（$(x,y)=(1,-1)$ を入れた値）である。

段 2（辺 $OE_1$）。辺 $OE_1$ を含む直線は $y=0$ である。$F(x,0)=c_1x^2+c_4x+c_6$ で、直線と楕円の共有点は 2 次方程式 $c_1x^2+c_4x+c_6=0$（$c_1>0$）の実数解に対応する。接するので共有点は $x=\dfrac12$ の 1 つだけで、この 2 次方程式は $x=\dfrac12$ を重解にもつ。よって

$$c_1x^2+c_4x+c_6=c_1\left(x-\frac12\right)^2=c_1x^2-c_1x+\frac{c_1}4$$

で、$c_4=-c_1$、$c_6=\dfrac{c_1}4$ である。

段 3（辺 $OE_2$）。直線 $x=0$ で同じく $c_3y^2+c_5y+c_6=c_3\left(y-\dfrac12\right)^2$ なので、$c_5=-c_3$、$c_6=\dfrac{c_3}4$ である。段 2 と合わせて $c_3=c_1$、$c_5=-c_1$ である。

段 4（辺 $E_1E_2$）。直線 $x+y=1$ の点は $(x,\ 1-x)$ と書ける。段 2・3 の結果を使って代入すると

$$F(x,1-x)=c_1x^2+c_2x(1-x)+c_1(1-x)^2-c_1x-c_1(1-x)+\frac{c_1}4=(2c_1-c_2)x^2-(2c_1-c_2)x+\frac{c_1}4$$

である。$x^2$ の係数 $2c_1-c_2$ は段 1 の $c_1-c_2+c_3>0$ に等しい。この 2 次方程式が $x=\dfrac12$ を重解にもつので

$$(2c_1-c_2)x^2-(2c_1-c_2)x+\frac{c_1}4=(2c_1-c_2)\left(x-\frac12\right)^2$$

で、定数項を比べて $\dfrac{c_1}4=\dfrac{2c_1-c_2}4$、つまり $c_2=c_1$ である（$x$ の係数は両辺とも $-(2c_1-c_2)$ で、新しい条件は出ない）。

段 5（まとめ）。$F(x,y)=c_1\left(x^2+xy+y^2-x-y+\dfrac14\right)=\dfrac{c_1}4(4x^2+4xy+4y^2-4x-4y+1)$ で、$c_1>0$ なので、$F=0$ は $4x^2+4xy+4y^2-4x-4y+1=0$ と同じ曲線を表す。$\square$

方針：この曲線が楕円で、3 辺を含む直線とそれぞれ中点だけを共有することを示す。そうすれば thm-stin-main の「ただ 1 つ」により、Steiner の内接楕円である。

段 1（重心を原点にする）。平行移動しても式の形は変わらないので、$G$ を原点とし、$A+B+C=\vec0$ とする。$\vec u=C$、$\vec v=B-A$ とおくと、$A+B=-\vec u$ と $B-A=\vec v$ から

$$A=-\frac{\vec u+\vec v}2,\qquad B=\frac{\vec v-\vec u}2$$

である。曲線は $\dfrac{\cos t}2\,\vec u+\dfrac{\sin t}{2\sqrt3}\,\vec v$ である。

段 2（楕円である）。$\vec u$ と $\vec v$ が平行なら、$C$ は $AB$ の中点 $-\dfrac{\vec u}2$ を通り $AB$ に平行な直線、つまり直線 $AB$ の上にあることになり、三角形にならない。よって $\vec u$、$\vec v$ は平行でなく、lem-stin-param により曲線は楕円である。以下、$\vec u$、$\vec v$ が平行でないので、$x\vec u+y\vec v=x'\vec u+y'\vec v$ なら $x=x'$、$y=y'$ である（係数を比べてよい）。

段 3（辺 $AB$）。辺 $AB$ を含む直線の点は、中点 $\dfrac{A+B}2=-\dfrac{\vec u}2$ から $\vec v$ の向きに進んだ $-\dfrac12\vec u+s\vec v$（$s$ は実数）である。曲線の点と等しいとすると、$\vec u$ の係数を比べて $\dfrac{\cos t}2=-\dfrac12$、つまり $\cos t=-1$ で、$t=180^\circ$ だけである。共有点は中点 $-\dfrac{\vec u}2$ の 1 つだけである。

段 4（辺 $BC$）。中点は $\dfrac{B+C}2=\dfrac{\vec u+\vec v}4$、向きは $C-B=\dfrac{3\vec u-\vec v}2$ なので、直線の点は $\left(\dfrac14+\dfrac{3s}2\right)\vec u+\left(\dfrac14-\dfrac s2\right)\vec v$ である。曲線の点と係数を比べると

$$\cos t=\frac12+3s,\qquad\sin t=\sqrt3\left(\frac12-s\right)$$

である。第 1 式から $s=\dfrac{2\cos t-1}6$ で、第 2 式に入れて整理すると

$$\sqrt3\sin t=\frac32-3s=\frac32-\frac{2\cos t-1}2=2-\cos t,\qquad\text{つまり}\qquad\sqrt3\sin t+\cos t=2$$

となる。三角関数の合成で $\sqrt3\sin t+\cos t=2\sin(t+30^\circ)$ なので、$\sin(t+30^\circ)=1$、$t+30^\circ=90^\circ$、$t=60^\circ$ だけである。このとき $s=0$ で、共有点は中点だけである。

段 5（辺 $CA$）。中点は $\dfrac{C+A}2=\dfrac{\vec u-\vec v}4$、向きは $A-C=-\dfrac{3\vec u+\vec v}2$ である。段 4 と同じ計算で $\sqrt3\sin t-\cos t=-2$、つまり $2\sin(t-30^\circ)=-2$ となり、$t=-60^\circ$ だけである。

段 6（まとめ）。曲線は楕円で、3 辺を含む直線にそれぞれの中点だけで接する。thm-stin-main の「ただ 1 つ」により、これが Steiner の内接楕円である。$\square$