ファイバー

前提知識: 写像, 逆像, スキーム, 剰余体, テンソル積

一つの値の上にあるもの

写像 $f:X\to S$ と $s\in S$ に対し、$s$ に写る元をすべて集めた集合 $f^{-1}(\{s\})$ を $s$ 上のファイバー（fibre, fiber）という。集合だけを扱う場合には、これが定義のすべてである。しかしスキームの射では、同じ点集合の上に異なる代数的構造が現れうる。そのためスキームのファイバーは、単なる点集合ではなく、剰余体への基底変換で作るスキームとして定義する。
例えば $x\mapsto x^2$ を代数幾何の射とみると、値 $0$ の上にある点は集合として一つである。それでも、その点のスキーム論的ファイバーには $x^2=0$ という方程式が残り、零でない冪零元を持つ。ファイバーの点の個数だけでは重複や退化を記録できない。本記事では集合論的な逆像から始め、スキームのファイバーを環で計算し、空・非被約・体の拡大で変化する例を比較する。一般の二つの射から作るファイバー積の定義全体は扱わず、その一点を基底にした特別な場合に焦点を当てる。

集合の写像のファイバー

$f:X\to S$ を集合の写像とする。$s\in S$ に対し
$$ f^{-1}(s)=\{x\in X\mid f(x)=s\} $$
と書く。厳密には左辺は $f^{-1}(\{s\})$ の略記である。$s$ が $f$ の像に入らなければ空集合になる。異なる値のファイバーは交わらず、すべてのファイバーを合併すると $X$ 全体になる。したがって写像は、定義域を「同じ値に写る」という同値関係の類に分ける。

この用語で、$f$ が全射であることはどの $s\in S$ のファイバーも空でないことと同値である。また $f$ が単射であることは、どのファイバーも高々一点からなることと同値である。全単射ならすべてのファイバーがちょうど一点である。これらは写像の性質を値ごとに読み替えたものだが、スキームの射でも点集合について同じ観察が使える。
合成では、$X\xrightarrow{f}S\xrightarrow{g}T$ と $t\in T$ に対して
$$ (g\circ f)^{-1}(t)=\bigcup_{s\in g^{-1}(t)}f^{-1}(s) $$
である。右辺は互いに交わらない集合の合併である。一方、スキームの射の合成に同様の集合論的な分解を使っても、各部分の構造層や冪零元は決まらない。集合の等式をスキームの同型へ機械的に置き換えないことが大切である。

スキームの射のファイバー

以下 $f:X\to S$ をスキームの射、$s\in S$ を点とする。$s$ における局所環 $\mathcal O_{S,s}$ の極大イデアルを $\mathfrak m_s$ とすると、剰余体は $\kappa(s)=\mathcal O_{S,s}/\mathfrak m_s$ である。点 $s$ は自然な射 $\operatorname{Spec}\kappa(s)\to S$ を定める。この射に沿って $X$ を引き戻す。

集合論的ファイバー $f^{-1}(\{s\})$ は $X$ の点の集合である。これに対し $X_s$ は構造層を持つスキームである。両者の台となる点集合は自然に対応し、$|X_s|\to|X|$ は $f^{-1}(\{s\})$ の部分空間位相への同相写像となる（StacksTop Lemma 26.18.5）。それでも構造層まで同じという意味ではない。「どの点があるか」と「その点の上にどのような局所環があるか」を分けて考える。
基底の点 $s$ が閉点である必要はない。例えば $S=\operatorname{Spec}\mathbb Z$ の生成点 $s=(0)$ では $\kappa(s)=\mathbb Q$ である。従って $\operatorname{Spec}\mathbb Z[x]\to\operatorname{Spec}\mathbb Z$ のその点上のファイバーは $\operatorname{Spec}\mathbb Q[x]$ となる。整数係数の式を「$0$ を代入した」と捉えるより、基底の点に応じて係数を剰余体へ移したと考える方が正確である。
この例で $s=(p)$ を素数 $p$ に対応する閉点へ替えると、$\kappa(s)=\mathbb F_p$ でファイバーは $\operatorname{Spec}\mathbb F_p[x]$ となる。生成点では有理数係数の直線、閉点では有限体係数の直線という違いが生じる。どちらも「直線のようなファイバー」だが、係数体と、その上で利用できる多項式が違う。点 $s$ の剰余体を明示することで、生成点上のファイバーと閉点上のファイバーを同じ式で扱える。
恒等射 $\mathrm{id}_S:S\to S$ の $s$ 上のファイバーは $\operatorname{Spec}\kappa(s)$ である。台集合は $s$ に対応する一点だが、$s$ の局所環 $\mathcal O_{S,s}$ と同じ環のスペクトルではない。局所環から極大イデアルを除いた剰余体に移っている。特に非閉点に対しても、ファイバーはその点の剰余体上のスキームとなる。

アフィンの場合の環計算

基底と定義域がアフィンならファイバーは具体的に計算できる。$S=\operatorname{Spec}A$、$X=\operatorname{Spec}B$ とし、射 $f$ は環準同型 $A\to B$ に対応するとする。$s$ を素イデアル $\mathfrak p\subset A$ に対応する点とすれば、$\kappa(s)=\kappa(\mathfrak p)$ は $A/\mathfrak p$ の分数体である。

$\mathfrak p$ が極大イデアルなら $\kappa(\mathfrak p)=A/\mathfrak p$ なのでファイバー環は $B/\mathfrak pB$ となる。一方、$\mathfrak p$ が非極大なら一般に局所化がさらに必要で、$B/\mathfrak pB$ だけではない。特に基底が整スキームで $s$ が生成点なら、ファイバーを計算する操作は基底の関数体への係数拡大になる。
アフィンでない $X$ でも、$s$ を含む $S$ のアフィン開近傍と、定義域のアフィン開被覆を取ってこの計算を局所的に行える。計算した各アフィンファイバーを重なりで貼り合わせれば $X_s$ が得られる。したがって式 $B\otimes_A\kappa(\mathfrak p)$ は、単なる特殊例でなく一般のファイバーの局所モデルである。
この式で最初に $B/\mathfrak pB$ を作る操作は、基底上の方程式を $s$ に特殊化することに当たる。その後 $A\setminus\mathfrak p$ の像を可逆にする操作が、剰余体 $\kappa(\mathfrak p)$ へ移る部分である。閉点だけを見る計算では前半だけで済むことが多いため、非閉点で後半の局所化を忘れやすい。ファイバーの点が条件 $\mathfrak q\cap A=\mathfrak p$ を満たすことも、両方の操作を行って初めて正確に表せる。

空のファイバーと非被約ファイバー

まず空になる例を考える。$k$ を体とし、
$$ X=\operatorname{Spec}k[t,x]/(tx-1),\qquad S=\operatorname{Spec}k[t] $$
を自然な射で結ぶ。$t=0$ の点 $s_0=(t)$ ではファイバー環が $k[x]/(-1)$、すなわち零環となり、ファイバーは空である。$a\in k^\times$ に対応する閉点 $s_a=(t-a)$ ではファイバー環は $k[x]/(ax-1)\cong k$ で、ファイバーは一点である。これは $tx=1$ が $t=0$ には解を持たず、$t\ne0$ には $x=1/t$ を持つという集合論的な図と一致する。
次に台集合だけでは見えない情報が現れる例を取る。$k$ を標数が $2$ でない代数閉体とし、
$$ X=\operatorname{Spec}k[t,x]/(x^2-t),\qquad S=\operatorname{Spec}k[t] $$
とする。$X$ 自身は $t=x^2$ を消去すれば $\operatorname{Spec}k[x]$ と同型で、被約なスキームである。それでも $s_0=(t)$ 上のファイバーには冪零元が残る。

全空間 $X$ が被約でも、ファイバーが被約とは限らないことに注意する。$s_0$ の集合論的ファイバーも一点だが、そこに被約な一点 $\operatorname{Spec}k$ を置くだけでは $x^2=0$ の情報を失う。ファイバーの長さ、重複度、滑らかさを調べる議論で、スキーム論的な定義が必要になる理由の一つである。
点数だけでなく次元も変わりうる。$X=\operatorname{Spec}k[t,x]/(tx)$ から $S=\operatorname{Spec}k[t]$ への射を考えると、$t=0$ 上では $tx=0$ が恒等的に成り立つため、ファイバーは $\operatorname{Spec}k[x]$ という一次元のアフィン直線になる。$a\in k^\times$ の上では $ax=0$ から $x=0$ が従い、ファイバーは $\operatorname{Spec}k$ という零次元の一点である。さらに生成点上では $t$ が $\kappa((0))=k(t)$ で可逆なので、ファイバーは $\operatorname{Spec}k(t)$ となる。この三つの計算はすべて同じテンソル積の式から得られ、特殊な値で成分が大きくなる様子を示す。
別の簡単な対照は、閉埋め込み $Z=\operatorname{Spec}(A/I)\hookrightarrow\operatorname{Spec}A$ である。$s$ に対応する素イデアル $\mathfrak p$ が $I$ を含めば、その上のファイバーは $\operatorname{Spec}\kappa(\mathfrak p)$、含まなければ空になる。実際、環は $(A/I)\otimes_A\kappa(\mathfrak p)=\kappa(\mathfrak p)/I\kappa(\mathfrak p)$ であり、体のイデアルは $0$ か全体だけだからである。すべてのファイバーが二重点になるわけではなく、射の種類と点によって構造が変わる。

剰余体の拡大と幾何学的ファイバー

$s\in S$ の剰余体 $\kappa(s)$ を体拡大 $K$ へ移した
$$ (X_s)_K=X_s\times_{\operatorname{Spec}\kappa(s)}\operatorname{Spec}K $$
も考えられる。$K$ を $\kappa(s)$ の代数閉包に取ったものを幾何学的ファイバーという。基底体を拡大すると、普通のファイバーでは一つだった点が複数の点に分かれることがある。従って「一つの点の上に何点あるか」という問いには、どの体の上で数えるかも指定しなければならない。

基底の体の拡大は、冪零元を消す操作とも違う。二重点 $\operatorname{Spec}k[x]/(x^2)$ を代数閉体 $k$ 上で考えても、体を拡大した環 $K[x]/(x^2)$ には依然として冪零元がある。点の分裂、被約性、ファイバーの空非空はそれぞれ別の現象であり、同じ「ファイバーが変わる」という言い方にまとめずに区別する。
普通のファイバーから幾何学的ファイバーへ進む理由は、点数の数え方を代数閉体の上で揃えることにある。ただし剰余体の代数閉包の選択に依存して同型を厳密に比較する場面では、どの代数閉包と埋め込みを選んだかを明示する。単なる集合論的逆像 $f^{-1}(\{s\})$ からは、体拡大後に一点が分裂するかどうかを判定できない。逆に、幾何学的ファイバーの点数だけでも、二重点のような冪零構造は捉えられない。

集合論的ファイバーと使い分け

スキームの射 $f:X\to S$ が全射であることと、すべての $s\in S$ で $X_s$ が空でないことは同値である。これは $|X_s|$ が集合論的逆像 $f^{-1}(\{s\})$ と同じ点を持つためである。しかし非空性だけを見れば二重点と普通の一点は区別できない。同様に「各点上のファイバーが集合として一点」という条件だけから、その射が同型だとは結論できない。ファイバー内の環と、ファイバー相互の貼り合わさり方も必要である。
研究で「$s$ 上のファイバー」と書くときは、まず文脈が点集合・位相空間・スキームのどれを要求しているか確かめる。点の数だけなら逆像集合を数える。方程式の特殊化、冪零元、滑らかさ、次元などを論じるなら $X_s=X\times_S\operatorname{Spec}\kappa(s)$ を使う。ファイバー積は任意の二本の射に対する構成であり、ここでのファイバーは基底側の一本を一点の剰余体から来る射にした場合である。

反例：ファイバーだけから言えないこと

ファイバーについて「成り立ちそうだが、条件を外すと成り立たない」主張を並べる。各行の反例は、表の右の列の主張を破る。

各行の確認は次のとおりである。

• ファイバーだけでは同型を判定できない：$X=\operatorname{Spec}k\sqcup U$、$U=\mathbb A^1_k\setminus\{0\}=\operatorname{Spec}k[t,t^{-1}]$ とし、$\operatorname{Spec}k$ を原点へ、$U$ を包含で送る。原点 $s_0$ 上のファイバーは、$\operatorname{Spec}k$ の側から $\operatorname{Spec}(k\otimes_{k[t]}k)=\operatorname{Spec}k$、$U$ の側から $k[t,t^{-1}]\otimes_{k[t]}k[t]/(t)=0$（$t$ が単元かつ零）で、合わせて $\operatorname{Spec}k=\operatorname{Spec}\kappa(s_0)$ である。$s_0$ 以外の点 $s$ では、$\operatorname{Spec}k$ の側は空、開埋め込み $U\hookrightarrow\mathbb A^1_k$ の側は $\operatorname{Spec}\kappa(s)$ である。こうしてすべてのファイバーが被約な一点 $\operatorname{Spec}\kappa(s)$ になるが、$X$ は連結でなく $\mathbb A^1_k$ は連結なので、この射は同型でない。ファイバーは点ごとの情報で、ファイバーどうしの貼り合わさり方を記録しない。
• 全空間が被約でもファイバーは被約とは限らない：prop-fiber-double のとおり、$X\cong\operatorname{Spec}k[x]$ は被約だが、$t=0$ 上のファイバーは $\operatorname{Spec}k[x]/(x^2)$ で冪零元 $x$ をもつ。
• 剰余体が代数閉でないと点数は体に依存する：ex-fiber-geometric のとおり、普通のファイバー $\operatorname{Spec}\mathbb C$ は一点だが、$\mathbb C$ へ拡大すると $\mathbb C\otimes_{\mathbb R}\mathbb C\cong\mathbb C\times\mathbb C$ で二点になる。
• 非極大な $\mathfrak p$ では局所化を省けない：$A=k[t]$、$B=k[t,x]/(tx-1)=k[t,t^{-1}]$、$\mathfrak p=(0)$ とすると $B/\mathfrak pB=B$ で、その閉点 $(t-a)$（$a\in k^\times$）は、$k$ が無限体なら無数にある。しかし $B\otimes_A k(t)=k(t)$ で、生成点上のファイバーは一点である。$B/\mathfrak pB$ の閉点 $(t-a)$ は $A$ の点 $(t-a)\ne\mathfrak p$ に写るので、$\mathfrak p$ 上のファイバーの点ではない。
• 平坦でなければファイバーの次元は跳ねうる：$t=0$ 上のファイバーは直線 $\operatorname{Spec}k[x]$、$t=a\ne0$ 上は一点である（本文の計算）。この射は平坦でない。実際 $B=k[t,x]/(tx)$ で $t\cdot x=0$、$x\ne0$ なので $t$ は $B$ の零因子であり、単項イデアル整域 $k[t]$ 上の加群として捻れをもつ（単項イデアル整域上の平坦加群は捻れをもたない）。平坦な場合については、体上有限型で $S$ が既約なら「$X$ の既約成分がすべて次元 $\dim S+n$」と「どのファイバーの既約成分も次元 $n$」が同値になる（Har77 III, Corollary 9.6）。この例では $X$ の二つの既約成分 $V(t)$、$V(x)$ はともに次元 $1=\dim S+0$ なのに、$t=0$ 上のファイバーが次元 $1$ になり、平坦でないことと整合する。

参照箇所

関連項目

• 前提: 写像, 逆像, スキーム, 剰余体
• 計算: アフィンスキーム, テンソル積, 局所化
• 続けて読む: ファイバー積, 被約スキーム, アフィン開集合