Borel測度

同義語：ボレル測度Borel measure

概要

前提知識: Borel集合, 測度, 位相空間

位相空間の上で長さ・面積・確率を測るとき、測る対象の集合は位相から決まる Borel集合にとるのが自然である。Borel 集合全体の上の測度を Borel 測度（Borel measure）という。Euclid 空間の Lebesgue 測度（を Borel 集合に制限したもの）、点に重さを置く Dirac 測度、実数値の確率変数の分布はどれも Borel 測度である。Borel 測度では開集合・閉集合・連続関数が測度と結びつく。距離空間の上の有限な Borel 測度は有界連続関数の積分の値で決まり、実数直線の上で有界区間に有限の値を与える Borel 測度は、$F(0)=0$ と正規化した右連続な単調非減少関数 $F$ とちょうど 1 対 1 に対応する。第 2 可算公理を満たす空間では、台（測度が載っている最小の閉集合）も定まる。局所コンパクト Hausdorff 空間の上で、コンパクト集合での有限性と、開集合・コンパクト集合による近似の条件（正則性）を Borel 測度に課したものが Radon測度である。

定義

位相空間 $X$ の Borel 集合全体を $\mathcal{B}(X)$ と書く（Borel集合の定義「Borel集合」）。

Borel測度

位相空間 $X$ について、可測空間 $(X,\mathcal{B}(X))$ 上の測度を $X$ 上の Borel 測度という。Borel 測度 $\mu$ が

有限であるとは $\mu(X) < \infty$、Borel 確率測度であるとは $\mu(X)=1$ であることをいう。
局所有限であるとは、各点 $x\in X$ に、$\mu(U) < \infty$ となる開近傍 $U$ があることをいう。

局所有限な Borel 測度は、Borel 集合であるすべてのコンパクト集合 $K$ に有限の値を与える（Hausdorff 空間ではコンパクト集合は閉集合なので、すべてのコンパクト集合が Borel 集合である）。$K$ の各点の有限測度の開近傍で $K$ を覆い、有限個を選べばよいからである。逆に $X$ が局所コンパクト（各点がコンパクトな近傍をもつ）Hausdorff 空間なら（コンパクト集合は閉集合なので Borel 集合である）、コンパクト集合で有限な Borel 測度は局所有限である。とくに $\mathbb{R}^n$ では、局所有限であることは、有界な Borel 集合に有限の値を与えることと同じである。
文献によっては、局所有限性（あるいはコンパクト集合で有限であること）を Borel 測度の定義に含める。Sal20 Definition 3.1 と Radon測度の記事は、局所コンパクト Hausdorff 空間の上で、コンパクト集合に有限の値を与える $\mathcal{B}(X)$ 上の測度を Borel 測度と呼ぶ。Tao11 は Borel σ-代数の上の可算加法的な測度を Borel 測度と呼び（Exercise 1.6.22 の中の括弧書き）、この記事もこちらに従う。

Borel測度の例

$\mathbb{R}^n$ の Lebesgue 測度 $\lambda_n$ を Borel 集合に制限したものは、局所有限な Borel 測度である（Carathéodoryの拡張定理の定理「Lebesgue–Stieltjes測度とLebesgue測度の存在と一意性」）。
点 $a\in X$ の Dirac 測度 $\delta_a$（$a\in E$ なら $\delta_a(E)=1$、そうでなければ $0$）は Borel 確率測度である。点 $a_1,a_2,\ldots$ と $c_k\ge0$ について $\sum_kc_k\delta_{a_k}$ も Borel 測度である（測度の例「Dirac測度と重み付きの点の和」）。
単調非減少で右連続な $F\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ の Lebesgue–Stieltjes 測度 $\mu_F$（$\mu_F((a,b])=F(b)-F(a)$）は局所有限な Borel 測度である（1 と同じ定理。局所有限であることは下の thm-bm-distribution の 2）。
確率空間 $(\Omega,\mathcal{F},P)$ 上の実数値の確率変数 $Y$ の分布 $P_Y(B):=P(Y\in B)$ は、$\mathbb{R}$ 上の Borel 確率測度である（測度の例「確率変数の分布」）。
$\mathbb{R}$ の Borel 集合の上の数え上げ測度 $\#$ は Borel 測度だが、空でない開集合に $\infty$ を与えるので局所有限でない。

像測度

Borel測度の像

$X,Y$ を位相空間、$f\colon X\to Y$ を Borel 可測な写像（たとえば連続写像）、$\mu$ を $X$ 上の Borel 測度とする。$f_*\mu(B):=\mu(f^{-1}(B))$（$B\in\mathcal{B}(Y)$）は $Y$ 上の Borel 測度であり、$f_*\mu(Y)=\mu(X)$ である。

$B\in\mathcal{B}(Y)$ なら $f^{-1}(B)\in\mathcal{B}(X)$ なので $f_*\mu$ は $\mathcal{B}(Y)$ の上で定まる。連続写像が Borel 可測であることは Borel集合の定理「連続写像とBorel集合」の 1 による。$f_*\mu$ が測度であることは、逆像が互いに交わらない集合を互いに交わらない集合に写し、和集合と交換することから従う（測度の命題「制限・和・像測度」の 3）。$f^{-1}(Y)=X$ である。$\square$

確率変数の分布は、この命題で $f=Y$ とした像測度である。像測度は全体の測度を保つので、有限性・確率測度であることは保たれるが、局所有限性は保たれない。定数写像 $c\colon\mathbb{R}\to\{p\}$ による Lebesgue 測度の像は、1 点 $p$ に $\infty$ を与える。

連続関数による一意性

距離空間では、有限な Borel 測度は閉集合や連続関数の積分の値で決まる。

有限なBorel測度の一意性

$(X,d)$ を距離空間、$\mu_1,\mu_2$ を $X$ 上の有限な Borel 測度とする。次は同値である。

$\mu_1=\mu_2$。
すべての閉集合 $F$ について $\mu_1(F)=\mu_2(F)$。
すべての開集合 $U$ について $\mu_1(U)=\mu_2(U)$。
すべての有界連続関数 $g\colon X\to\mathbb{R}$ について $\int g\,d\mu_1=\int g\,d\mu_2$。

1 ⇒ 4 は明らかである。2 ⇔ 3：$X$ は開集合かつ閉集合なので $\mu_1(X)=\mu_2(X)$ であり、値が有限なので、補集合をとって $\mu_i(X\setminus A)=\mu_i(X)-\mu_i(A)$ から移り合う。
4 ⇒ 2：空でない閉集合 $F$ について $g_k(x):=\max\bigl(0,\,1-k\,d(x,F)\bigr)$（$k\ge1$）とおく。$x\mapsto d(x,F)$ は連続（1-Lipschitz。Lipschitz連続の例「代表的なLipschitz写像」の 2）なので $g_k$ は連続で、$0\le g_k\le1$ である。$x\in F$ なら $g_k(x)=1$ であり、$x\notin F$ なら $F$ が閉集合なので $d(x,F)>0$ で、$k>1/d(x,F)$ のとき $g_k(x)=0$ である。よって $g_k\to1_F$ が各点で成り立ち、$\mu_i$ は有限なので定数関数 $1$ が可積分な優関数になる。Lebesgue積分の定理「優収束定理」により $\mu_1(F)=\lim_k\int g_k\,d\mu_1=\lim_k\int g_k\,d\mu_2=\mu_2(F)$ である。$F=\emptyset$ なら両辺は $0$ である。
2 ⇒ 1：2 つの閉集合の共通部分は閉集合なので、閉集合全体は π 系である。閉集合全体が生成する σ-代数は、補集合をとれば開集合全体を含むので $\mathcal{B}(X)$ に等しい。$\mu_1(X)=\mu_2(X) < \infty$ なので、Dynkinのπ-λ定理の定理「π系の上で一致する測度の一意性」の 1 により $\mu_1=\mu_2$ である。$\square$

4 は、確率論で Borel 確率測度の弱収束（すべての有界連続関数 $g$ について $\int g\,d\mu_k\to\int g\,d\mu$）を考えるときの土台になる。極限の測度は、有界連続関数の積分の値でただ 1 つに決まるからである。有限性は外せない（ex-bm-counterexamples の 2 行目）。

実数直線の局所有限な Borel 測度

$\mathbb{R}$ の上の局所有限な Borel 測度は、1 変数の単調関数で書き尽くせる。

分布関数との対応

$\mu$ を $\mathbb{R}$ 上の局所有限な Borel 測度とし、
$$ F_\mu(x):=\begin{cases}\mu((0,x])&(x\ge0)\\-\mu((x,0])&(x < 0)\end{cases} $$
とおく。$F_\mu$ は単調非減少で右連続、$F_\mu(0)=0$ であり、$a < b$ について $\mu((a,b])=F_\mu(b)-F_\mu(a)$ である。
単調非減少で右連続な $F\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ について、Lebesgue–Stieltjes 測度 $\mu_F$ は局所有限である。
$\mu\mapsto F_\mu$ は、$\mathbb{R}$ 上の局所有限な Borel 測度の全体から、単調非減少で右連続かつ $F(0)=0$ を満たす関数 $F\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ の全体への全単射であり、逆写像は $F\mapsto\mu_F$ である。
1 の $\mu$ と $a\in\mathbb{R}$ について $\mu(\{a\})=F_\mu(a)-F_\mu(a-)$ である。ここで $F_\mu(a-):=\lim_{t\uparrow a}F_\mu(t)$ である。

$\mathbb{R}$ は局所コンパクトなので、局所有限な $\mu$ は有界区間に有限の値を与え、$F_\mu$ は実数値である。
1：$0\le a < b$ なら $(0,b]$ は $(0,a]$ と $(a,b]$ の互いに交わらない和なので $\mu((a,b])=F_\mu(b)-F_\mu(a)$ である。$a < 0\le b$ なら $(a,b]=(a,0]\cup(0,b]$ から、$a < b < 0$ なら $(a,0]=(a,b]\cup(b,0]$ から、同じ式が得られる。$\mu((a,b])\ge0$ なので $F_\mu$ は単調非減少である。$x_n\downarrow x$ なら $(x,x_n]$ は減少して共通部分は空であり、測度は有限なので、測度の定理「測度の連続性」の 2 により $F_\mu(x_n)-F_\mu(x)=\mu((x,x_n])\to0$ である。$F_\mu$ は単調なので、これは右連続性を意味する。$F_\mu(0)=\mu(\emptyset)=0$ である。
2：$x\in\mathbb{R}$ の開近傍 $(x-1,x+1)$ は $(x-1,x+1]$ に含まれ、$\mu_F((x-1,x+1])=F(x+1)-F(x-1) < \infty$ である。
3：$F$ が単調非減少・右連続・$F(0)=0$ なら、$x\ge0$ について $F_{\mu_F}(x)=\mu_F((0,x])=F(x)-F(0)=F(x)$ であり、$x < 0$ でも同様に $F_{\mu_F}(x)=-(F(0)-F(x))=F(x)$ である。逆に $\mu$ が局所有限なら、1 により $\mu$ と $\mu_{F_\mu}$ はどちらも $(a,b]$ に $F_\mu(b)-F_\mu(a)$ を与える Borel 測度なので、Carathéodoryの拡張定理の定理「Lebesgue–Stieltjes測度とLebesgue測度の存在と一意性」の一意性により $\mu_{F_\mu}=\mu$ である。
4：$\{a\}=\bigcap_n(a-1/n,a]$ で、$(a-1,a]$ の測度は有限なので、測度の連続性により $\mu(\{a\})=\lim_n\bigl(F_\mu(a)-F_\mu(a-1/n)\bigr)=F_\mu(a)-F_\mu(a-)$ である。$\square$

$F$ に定数を足しても $\mu_F$ は変わらないので、3 では $F(0)=0$ と正規化した。$\mu$ が有限なら、$F(x):=\mu((-\infty,x])$ と正規化することもでき、確率測度の場合はこれが分布関数（累積分布関数）である。$\mathbb{R}$ 上の Borel 確率測度が分布関数で決まることは Dynkinのπ-λ定理の系「区間の長さで決まる測度」の 2 にもある。4 により、$\mu$ の原子（測度が正の 1 点集合）は $F_\mu$ の跳びの点であり、$F_\mu$ が連続であることと、すべての 1 点集合の測度が $0$ であることは同値である。

分布関数の例

$\lambda$（Lebesgue 測度）では $F_\lambda(x)=x$ である。
$\delta_0$ では $F_{\delta_0}=1_{[0,\infty)}-1$、すなわち $x < 0$ で $-1$、$x\ge0$ で $0$ であり、$0$ で高さ $1$ の跳びをもつ。
整数の点の数え上げ $\sum_{k\in\mathbb{Z}}\delta_k$ では $F(x)=\lfloor x\rfloor$（$x$ 以下の最大の整数）である。

1 は区間の長さから、2 は $x\ge0$ で $\delta_0((0,x])=0$、$x < 0$ で $\delta_0((x,0])=1$ から、3 は $(0,x]$ と $(x,0]$ に含まれる整数の個数を数えればわかる。

正則性

Borel 測度 $\mu$ が Borel 集合 $E$ で外部正則であるとは $\mu(E)=\inf\{\mu(U)\mid U\supset E\text{ は開集合}\}$、内部正則であるとは $\mu(E)=\sup\{\mu(K)\mid K\subset E\text{ は Borel 集合であるコンパクト集合}\}$ であることをいう（Hausdorff 空間ではすべてのコンパクト集合が Borel 集合である）。距離空間の上の有限な Borel 測度は、任意の Borel 集合を、閉集合と開集合で測度の差がいくらでも小さくなるように挟める（Radon測度の定理「距離空間上の有限Borel測度の正則性」）。さらに、局所コンパクトな距離空間で、コンパクト集合の増加列 $K_1\subset K_2\subset\cdots$ で各 $K_m$ が $K_{m+1}$ の内部に含まれ $\bigcup_mK_m=X$ となるものがあるとき（$\mathbb{R}^n$ や $\mathbb{R}^n$ の開集合など）、コンパクト集合に有限の値を与える Borel 測度は、すべての Borel 集合で外部正則かつ内部正則である（同じ記事の定理「Borel測度がRadon測度になる条件」）。どちらの定理でも、仮定の一部を外すと正則性は成り立たない（ex-bm-counterexamples の 1・3 行目）。また $\mathbb{R}^n$ の局所有限な Borel 測度は σ-有限である（σ-有限測度の例「σ-有限な測度の例」の 3）。

台

測度の台

$X$ を第2可算公理を満たす位相空間、$\mu$ を $X$ 上の Borel 測度とし、$\mu(U)=0$ となる開集合 $U$ 全体の和集合を $U_0$ とおく。

$\mu(U_0)=0$ である。
$\operatorname{supp}\mu:=X\setminus U_0$ は閉集合で、$x\in\operatorname{supp}\mu$ であることと、$x$ のすべての開近傍 $V$ で $\mu(V)>0$ であることは同値である。
$\operatorname{supp}\mu$ は、$\mu(X\setminus C)=0$ となる閉集合 $C$ のうち最小のものである。

1：$\mathcal{U}$ を可算な開基とする。$x\in U_0$ なら $x$ を含む測度 $0$ の開集合 $U$ があり、開基の元 $W$ で $x\in W\subset U$ となるものがある。$W\subset U$ なので $\mu(W)=0$ である。よって $U_0$ は、$\mathcal{U}$ の元のうち測度 $0$ のものの和集合であり、これは可算個の測度 $0$ の集合の和集合なので $\mu(U_0)=0$ である。
2：$U_0$ は開集合なので $\operatorname{supp}\mu$ は閉集合である。$x\notin\operatorname{supp}\mu$ なら $x\in U_0$ で、$x$ は測度 $0$ の開近傍をもつ。逆に $x$ が測度 $0$ の開近傍 $V$ をもてば $V\subset U_0$ である。
3：1 により $\mu(X\setminus\operatorname{supp}\mu)=\mu(U_0)=0$ である。$C$ が閉集合で $\mu(X\setminus C)=0$ なら、$X\setminus C$ は測度 $0$ の開集合なので $X\setminus C\subset U_0$、すなわち $\operatorname{supp}\mu\subset C$ である。$\square$

$\operatorname{supp}\mu$ を $\mu$ の台という。$\mathbb{R}^n$ は第 2 可算なので（有理数の座標を中心とし有理数の半径をもつ開球が開基になる）、$\mathbb{R}^n$ のすべての Borel 測度に台が定まる。

台の例

$\operatorname{supp}\lambda_n=\mathbb{R}^n$ である。空でない開集合は小さな立方体を含み、正の測度をもつからである。
$\operatorname{supp}\delta_a=\{a\}$ である（$\mathbb{R}^n$ の点 $a$）。
$q_1,q_2,\ldots$ を $\mathbb{Q}$ の元を並べたものとし、$\mu:=\sum_n2^{-n}\delta_{q_n}$ とおくと、$\mu$ は $\mathbb{R}$ 上の Borel 確率測度で、$\mu(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})=0$ だが $\operatorname{supp}\mu=\mathbb{R}$ である。空でない開集合はある $q_n$ を含み、測度が $2^{-n}$ 以上になるからである。

3 のように、台は「補集合の測度が $0$ となる集合のうち最小のもの」ではない。$\mu$ は可算集合 $\mathbb{Q}$ に載っているが、$\mathbb{Q}$ は閉集合でないので、thm-bm-support の 3 の比較の対象にならない。

完備性

$\mathbb{R}$ の Borel 集合の上の Lebesgue 測度は完備でない。すなわち、測度 $0$ の Borel 集合の部分集合で Borel 集合でないものがある。Cantor 集合は測度 $0$ の閉集合で、その部分集合で Borel 集合でないものがあるからである（Lebesgue測度の命題「Borel集合でないLebesgue可測集合」とその証明）。Borel 集合の上の Lebesgue 測度を完備化すると、Lebesgue 可測集合の上の Lebesgue 測度が得られる（Carathéodoryの拡張定理の注意「Lebesgue測度の記事との関係」）。Borel 測度で考える利点は、連続写像による逆像で可測性が保たれること（prop-bm-pushforward）にある。Lebesgue 可測集合の連続写像による逆像は Lebesgue 可測とは限らない（可測関数の例「反例の確かめ」の 4 行目）。

反例

測度	満たす性質	成り立たないこと
$\mathbb{R}$ 上の $\mu:=\sum_{n\ge1}\delta_{1/n}$	σ-有限な Borel 測度	局所有限性（$0$ の近く）。$\{0\}$ で外部正則でなく、$F_\mu$ が定まらない
$\mathbb{R}$ 上の数え上げ測度 $\#$ と $2\#$	すべての開集合で一致する Borel 測度	有限性を外すと、開集合の値では測度が決まらない
非可算集合 $X$（離散位相）の上の、可算集合に $0$・非可算集合に $\infty$ を与える $\mu$	局所有限な Borel 測度。$X$ は距離化可能で局所コンパクト	第 2 可算でなく、thm-bm-support の 1 が成り立たない。内部正則でない
$\mathbb{R}$ の Borel 集合の上の Lebesgue 測度	局所有限な Borel 測度	完備性

反例の確かめ

1 行目は局所有限性だけを、2 行目は thm-bm-uniqueness の有限性だけを、3 行目は thm-bm-support の第 2 可算性だけを外している。3 行目は、Radon測度の定理「Borel測度がRadon測度になる条件」のコンパクト集合の増加列の仮定だけを外した例にもなっている。

各行の確かめを開く

1 行目：$\mu$ は測度の和として Borel 測度である（測度の命題「制限・和・像測度」の 2）。$\mathbb{R}$ は $\{1/n\mid n\ge1\}$ の 1 点集合（測度 $1$）と測度 $0$ の集合 $\mathbb{R}\setminus\{1/n\mid n\ge1\}$ の可算個の和なので σ-有限である。$0$ の開近傍は $1/n$ を無限個含むので測度 $\infty$ であり、局所有限でない。$\mu(\{0\})=0$ だが $0$ を含む開集合の測度はすべて $\infty$ なので、$\{0\}$ で外部正則でない。$x>0$ では $\mu((0,x])=\infty$ なので、thm-bm-distribution の $F_\mu$ は実数値にならない。
2 行目：空でない開集合は無限集合なので、$\#$ でも $2\#$ でも測度は $\infty$ であり、空集合ではどちらも $0$ である。しかし $\#(\{0\})=1\ne2=2\#(\{0\})$ である。$\#$ と $2\#$ は有限でない。
3 行目：互いに交わらない $E_n$ の和集合が非可算であることと、ある $E_n$ が非可算であることは同値なので、$\mu$ は可算加法的である。離散位相では $\mathcal{B}(X)$ はすべての部分集合からなり、1 点集合 $\{x\}$ は測度 $0$ の開近傍なので、$\mu$ は局所有限である。$X$ は離散距離（異なる 2 点の距離を $1$）で距離化でき、各点は 1 点集合というコンパクトな近傍をもつ。開基はすべての 1 点集合を含まねばならないので、$X$ は第 2 可算でない。測度 $0$ の開集合の和集合 $U_0$ は $X$ 全体だが $\mu(X)=\infty$ である。コンパクト集合は有限集合なので測度 $0$ であり、$\mu(X)=\infty$ は内部正則性に反する。コンパクト集合の増加列で $X$ を尽くすことはできない（有限集合の可算個の和は可算集合）。この例は Sal20 Example 3.5 にある。
4 行目：上の節「完備性」のとおりである。

補足

Radon 測度：局所コンパクト Hausdorff 空間の上で、コンパクト集合に有限の値を与え、外部正則で、開集合で内部正則な Borel 測度を Radon測度という。Radon 測度は、コンパクトな台をもつ連続関数の空間の上の正値線形汎関数と 1 対 1 に対応する（Riesz–Markov–角谷の表現定理）。
Borel 測度の分解：$\mathbb{R}$ の上の σ-有限な Borel 測度は、Lebesgue 測度に絶対連続な部分・原子の部分・特異連続な部分に分けられる（Lebesgueの分解定理の定理「Borel 測度の 3 つの部分への分解」）。
符号付きの Borel 測度：Borel 集合の上の有限な符号付き測度は 2 つの有限な Borel 測度の差であり、コンパクト距離空間の上の連続関数の空間の双対空間を表す（Radon測度の定理「C(X)の双対空間」）。
Euclid 空間のほかの Borel 測度：$\mathbb{R}^n$ の Hausdorff 測度（Hausdorff測度と面積・余面積公式）や局所コンパクト群の Haar測度も Borel 集合の上の測度として扱われる。