留数

分離性の仮定のもとで、完備局所環 $\widehat{\mathcal{O}}_{X,P}$ は $k$ を含む係数体、すなわち標準射影 $\widehat{\mathcal{O}}_{X,P}\to k(P)$ の切断となる部分体 $k(P)\subset\widehat{\mathcal{O}}_{X,P}$ をただ 1 つもつ（Hensel局所環の記事の Hensel の補題により、$k(P)=k(\alpha)$ の生成元 $\alpha$ の最小多項式の根の持ち上げが一意に定まる）。したがって局所パラメータ $t$ を 1 つ固定すると、$k$ 代数の同型
$$ k(P)[\![t]\!]\xrightarrow{\ \sim\ }\widehat{\mathcal{O}}_{X,P},\qquad \sum_{n\ge0}a_nt^n\mapsto\sum_{n\ge0}a_nt^n $$
がただ 1 つ定まる（Cohen の構造定理、Mat89 §28–§29）。左辺は形式的冪級数環である。その分数体を $\widehat{K}_P:=k(P)((t))$ と書く。これは形式的 Laurent 級数 $\sum_{n\ge n_0}a_nt^n$（$n_0\in\mathbb{Z}$、$a_n\in k(P)$）の体で、$K\subset\widehat{K}_P$ である。

複素解析の入門では「関数 $f$ の $a$ における留数」という言い方をするが、それは 1 形式 $f(z)\,dz$ の留数のことである。関数 $f$ 自身の Laurent 展開の $t^{-1}$ の係数は局所パラメータに依存する。たとえば $\mathbb{A}^1_k$ の原点で $f=1/t$ の係数は $1$ だが、$c\in k$、$c\ne0,1$ をとると（$k\ne\mathbb{F}_2$ ならそのような $c$ がある）$t'=ct$ も局所パラメータで $f=c/t'$ の係数は $c\ne1$ である。一方、1 形式 $dt/t=dt'/t'$ の留数はどちらで計算しても $1$ である（ex-residue-of-differential-basic）。留数を微分形式に付随させる理由はここにある。

証明は Ser88 第 II 章（原著は 1959 年の Groupes algébriques et corps de classes）、Har77 III §7 の末尾の注意（III.7.14）、および任意の体上で通用する Tat68 にある。筋は次のとおりである。(i) $\mathbb{P}^1_k$ の場合：$k$ が代数閉なら thm-residue-of-differential-p1。一般の完全体 $k$ では、代数閉包 $\bar k$ に底変換すると閉点 $P$ は $[k(P):k]$ 個の $\bar k$ 有理点に分かれ、それらの留数は $\operatorname{res}_P\omega$ の共役で、その和が $\operatorname{Tr}_{k(P)/k}(\operatorname{res}_P\omega)$ になるので、$\bar k$ 上の結果から従う。(ii) 有限射への帰着：$k$ が完全体なので $K/k$ は分離生成であり、分離超越元 $x\in K$ をとると $K/k(x)$ は有限次分離拡大で、$x$ は有限射 $\pi\colon X\to\mathbb{P}^1_k$ を定める（Har77 II.6.8）。微分形式のトレース $\operatorname{Tr}_{K/k(x)}\colon\Omega_{K/k}\to\Omega_{k(x)/k}$、$f\,dx\mapsto\operatorname{Tr}_{K/k(x)}(f)\,dx$ について、留数のトレース公式
$$ \sum_{P\mapsto Q}\operatorname{Res}_P\omega=\operatorname{Res}_Q\bigl(\operatorname{Tr}_{K/k(x)}\omega\bigr)\qquad(Q\in\mathbb{P}^1_k\text{ 閉点}) $$
が成り立つ（Tat68 の主定理の一部、Ser88 第 II 章）。(iii) $Q$ について和をとれば、(ii) と (i) により $\sum_P\operatorname{Res}_P\omega=\sum_Q\operatorname{Res}_Q(\operatorname{Tr}\,\omega)=0$ である。Serre の原証明は Riemann–Roch の定理（Riemann–Rochの定理）を経由し、Tate の証明は rem-residue-of-differential-tate の作用素論的な留数の定義を用いてトレース公式を直接示す。剰余体が分離的でない閉点を含む一般の体 $k$ の場合も Tate の定義で定理が成り立つ。

証明は Ser88 第 II 章（répartitions による証明）と Har77 III §7（一般の射影スキームの双対定理の系として。III.7.14 の注意が留数との関係を述べる）、Tat68 にある。1 の同型を Čechコホモロジーで書くと、閉点 $P$ をとり $U_0=X\setminus\{P\}$、$U_1$ を $P$ を含むアフィン開集合とすれば、$X=U_0\cup U_1$ で、Čech 1 余輪体 $\omega\in\Omega(U_0\cap U_1)$ の類の像は（符号の規約を除いて）$\operatorname{Res}_P\omega$ である。$\omega$ が $U_1$ 上正則なら明らかに、$U_0$ 上正則なら留数定理により、この値は類にしか依らない。$k$ が代数閉で $X=\mathbb{P}^1$ の場合の 1 は Cousin複体 の記事の命題「射影直線の構造層と微分形式の層」で完全に証明されている。仮定 $H^0(X,\mathcal{O}_X)=k$ を外すと、$k':=H^0(X,\mathcal{O}_X)$ は $k$ の有限次分離拡大で $H^1(X,\Omega)\cong k'$ となり、$\operatorname{Res}$ は $\operatorname{Tr}_{k'/k}$ を経由する全射になるが $[k':k]>1$ なら同型でない（2 の完全対はトレース形式の非退化性により保たれる）。定理の仮定 $H^0(X,\mathcal{O}_X)=k$ のもとでは、系として、種数 $g=\dim_kH^0(X,\Omega)$ について $\dim_kH^1(X,\mathcal{O}_X)=g$、$\dim_kH^1(X,\Omega)=1$ が得られ、Riemann–Roch の定理（Riemann–Rochの定理）$\dim H^0(\mathcal{L})-\dim H^0(\Omega\otimes\mathcal{L}^{-1})=\deg\mathcal{L}+1-g$ の右辺の意味づけになる。

Tate Tat68 は留数を Laurent 展開を使わずに定義した。$V:=\widehat{K}_P$ を $k$ ベクトル空間とみなし、$A:=\widehat{\mathcal{O}}_{X,P}\subset V$ とする。$f,g\in\widehat{K}_P$ を $V$ 上の掛け算作用素とみなし、$\pi\colon V\to V$ を像が $A$ の射影（$\pi^2=\pi$、$\pi V=A$）とすると、交換子 $\theta=[\pi f,\pi g]=\pi f\pi g-\pi g\pi f$ は有限冪（finitepotent。ある $n$ について $\theta^nV$ が有限次元）であり、有限冪作用素には、$\theta$ が安定させる $\theta^nV$ を含む有限次元部分空間 $W$ 上のトレースとして $\operatorname{Tr}_V\theta$ が定まり、$W$ と $\pi$ の選び方によらない。Tate はこれを $\operatorname{res}^A(f\,dg)$ と定め、$A=k(P)[\![t]\!]$ のとき $\operatorname{res}^A(f\,dg)=\operatorname{Tr}_{k(P)/k}\bigl(\operatorname{res}_P(f\,dg)\bigr)=\operatorname{Res}_P(f\,dg)$ となることを示した。この定義は局所パラメータを使わないので座標不変性は自明であり、剰余体が $k$ 上分離的でない閉点でも $k$ 値の留数を与える。留数定理は $V$ を $X$ のアデール環にとった同種のトレースの計算から得られる。

$n$ 次元では、$0\in\mathbb{C}^n$ の近傍の正則関数 $f_1,\dots,f_n$ が $0$ だけを共通零点にもつとき、正則 $n$ 形式 $\omega=g\,dz_1\wedge\cdots\wedge dz_n$ に対して
$$ \operatorname{Res}_0\Bigl[\frac{\omega}{f_1\cdots f_n}\Bigr]:=\frac{1}{(2\pi i)^n}\int_{\Gamma}\frac{g\,dz_1\wedge\cdots\wedge dz_n}{f_1\cdots f_n},\qquad\Gamma=\{|f_1|=\cdots=|f_n|=\varepsilon\} $$
を Grothendieck 留数（Grothendieck留数）という。$n=1$ では通常の留数である。$g$ の類 $\bar g\in\mathcal{O}_0/(f_1,\dots,f_n)$ だけで決まり、対 $(\bar g,\bar h)\mapsto\operatorname{Res}_0[gh\,dz/(f_1\cdots f_n)]$ は有限次元代数 $\mathcal{O}_0/(f_1,\dots,f_n)$ 上の非退化な対称双線形形式である（局所双対性）。これらは GH78 第 5 章にある。代数的には、$n$ 次元正則局所環 $(A,\mathfrak{m})$ の局所コホモロジー $H^n_{\mathfrak{m}}(\Omega^n_{A/k})\to k$ として定式化され、Har66 III §9 の residue symbol と、Cousin複体による Grothendieck 双対性（Grothendieck双対性）のトレース写像の局所表示になる。

$k$ を標数 $0$ の体、$X$ を $k$ 上の滑らかな射影曲線で $H^0(X,\mathcal{O}_X)=k$ をみたすもの、$S$ を有限個の閉点の集合、$U=X\setminus S$ とすると、de Rhamコホモロジーについて完全列
$$ 0\to H^1_{dR}(X/k)\to H^1_{dR}(U/k)\xrightarrow{\ \operatorname{res}\ }\bigoplus_{s\in S}k(s)\xrightarrow{\ \sum\operatorname{Tr}\ }H^2_{dR}(X/k)\cong k\to0 $$
がある（$S\ne\emptyset$ のとき）。ここで $\operatorname{res}$ は $U$ 上の正則 1 形式を有理微分形式とみなして各 $s\in S$ で留数をとる写像である。この完全列から、有理 1 形式 $\varphi$ が第 2 種（second kind。極をもってもよいが $H^1_{dR}(X/k)$ の類から来る）であることと、すべての閉点で $\operatorname{res}_s\varphi=0$ であることが同値になり、$H^1_{dR}(X/k)$ は第 2 種の有理 1 形式を完全微分で割った空間に同型になる。ex-residue-of-differential-elliptic の $\eta=x\,dx/y$ はその例で、$\omega=dx/y$ とともに $H^1_{dR}(E/k)$ の基底をなす。標数 $p$ ではこの判定は破れる（ex-residue-of-differential-char-p の $t^{p-1}dt$ は留数がすべて $0$ だが完全微分でなく、$\mathbb{A}^1_k$ の $H^1_{dR}$ に $0$ でない類を与える）。これらの完全列と判定の証明、および Grothendieck Gro66 の原注に沿った解説は、本サイトの参考書『代数的 de Rham コホモロジー』の第 3 章第 1 節（第 2 種の微分形式と Leray スペクトル系列）の頁にある。ex-residue-of-differential-noncomplete の $dt/t$ が $\mathbb{G}_m$ 上で完全微分でないことも、上の完全列で $H^1_{dR}(\mathbb{G}_m/k)\to k(0)\oplus k(\infty)$ の像が $(1,-1)$ の張る直線であることの表れである。

$k=\mathbb{C}$ のとき、滑らかな曲線 $X$ の閉点 $P$ の局所パラメータ $t$ は対応する複素多様体 $X^{\mathrm{an}}$（GAGA）の $P$ における正則座標であり、収束冪級数環 $\mathbb{C}\{t\}$ は $\mathbb{C}[\![t]\!]$ の部分環だから、有理微分形式の解析的な Laurent 展開と形式的な Laurent 展開は同じ係数をもつ。したがって def-residue-of-differential-algebraic の留数は def-residue-of-differential-analytic の留数に一致し、thm-residue-of-differential-general はコンパクト Riemann 面上の留数定理（For81 §10。Stokes の定理（Stokesの定理）による）の代数的な対応物である。