Brown運動

時刻を並べ替えて $0=t_0< t_1<\cdots< t_r$ としてよい。増分 $\Delta_i:=X_{t_i}-X_{t_{i-1}}$ と値 $X_{t_i}=\Delta_1+\cdots+\Delta_i$ は互いに可逆な 1 次変換で移り合う。
1 ⇒ 2。 $\Delta_i$ は独立に $N(0,t_i-t_{i-1})$ に従う。独立な正規確率変数の 1 次結合は正規分布に従う（正規分布 の定理「独立な正規分布の和」と「1 次変換で正規分布は保たれる」）ので、$(\Delta_i)$ は多変量正規分布に従い、多変量正規分布 の定理「1 次変換で多変量正規分布は保たれる」により $(X_{t_i})$ もそうである。$s< t$ なら $E[X_sX_t]=E[X_s^2]+E[X_s(X_t-X_s)]=s+E[X_s]E[X_t-X_s]=s$ である。
2 ⇒ 1。 同じ定理により $(\Delta_i)$ は平均 $0$ の多変量正規分布に従う。$i< j$ なら $t_{i-1}< t_i\le t_{j-1}< t_j$ なので
$$ E[\Delta_i\Delta_j]=\min(t_i,t_j)-\min(t_i,t_{j-1})-\min(t_{i-1},t_j)+\min(t_{i-1},t_{j-1})=t_i-t_i-t_{i-1}+t_{i-1}=0 $$
であり、同様に $E[\Delta_i^2]=t_i-2t_{i-1}+t_{i-1}=t_i-t_{i-1}$ である。共分散行列が対角なので、多変量正規分布 の定理「無相関なら独立」により $\Delta_1,\dots,\Delta_r$ は独立である。任意の $s< t$ について $X_t-X_s$ は分散 $t-s$ の正規分布に従う。$\square$

$L^2([0,1])$ の内積 $\langle f,g\rangle=\int_0^1fg\,dx$ を使う。$(h_\gamma)_{\gamma\in I}$ は正規直交系である：$\int h_{n,k}^2=2^n\cdot2^{-n}=1$。同じ段 $n$ の関数は台が重ならない。段の違う $h_{n,k}$ と $h_{n',k'}$（$n< n'$）では、$h_{n',k'}$ の台が $h_{n,k}$ の定数になる半区間に入るか、台の外にあるので、積分は $\pm2^{n/2}\int h_{n',k'}=0$ である。$h_*$ との内積も $\int h_{n,k}=0$ である。
$I_N$ の $2^N$ 個の関数は、長さ $2^{-N}$ の 2 進区間の上で一定な階段関数の空間 $V_N$（次元 $2^N$）に入り、正規直交なので 1 次独立だから $V_N$ の基底である。$f_s:=1_{[0,s]}$ とおくと $\langle f_s,h_\gamma\rangle=S_\gamma(s)$ である。$V_N$ への直交射影を $P_N$ とすると $P_Nf_s=\sum_{\gamma\in I_N}S_\gamma(s)h_\gamma$ であり、$s_N:=2^{-N}\lfloor2^Ns\rfloor$ について $1_{[0,s_N]}\in V_N$ なので、射影の最小性から
$$ \int_0^1(f_s-P_Nf_s)^2dx\le\int_0^1(f_s-1_{[0,s_N]})^2dx=s-s_N\le2^{-N} $$
である。$\langle P_Nf_s,P_Nf_t\rangle=\sum_{\gamma\in I_N}S_\gamma(s)S_\gamma(t)$ と $\langle f_s,f_t\rangle$ の差は、Cauchy–Schwarz の不等式と $\int f_t^2=t$、$\int(P_Nf_s)^2\le s$ により $2^{-N/2}(\sqrt t+\sqrt s)$ 以下なので $0$ に近づき、$\langle f_s,f_t\rangle=\min(s,t)$ に収束する。絶対収束は、$\sum_\gamma S_\gamma(s)^2\le s$（Bessel の不等式）と Cauchy–Schwarz の不等式から従う。$\square$

一様収束。 段 $n$ の部分 $F_n(t):=\sum_k\xi_{n,k}S_{n,k}(t)$ は、各 $t$ で高々 $1$ つの項しか $0$ でないので、$\sup_t\lvert F_n(t)\rvert\le2^{-n/2-1}\max_k\lvert\xi_{n,k}\rvert$ である。$A_n:=\{\max_k\lvert\xi_{n,k}\rvert>2\sqrt n\}$ とおく。正規分布 の命題「裾の確率の評価」の $1-\Phi(x)\le e^{-x^2/2}$ から $P(\lvert\xi\rvert>x)\le2e^{-x^2/2}$ なので
$$ P(A_n)\le2^n\cdot2e^{-2n}=2\Bigl(\frac{2}{e^2}\Bigr)^n,\qquad\sum_{n\ge1}P(A_n)<\infty $$
である。$\Omega_0:=\{A_n$ が有限個の $n$ でしか起こらない$\}$ とおくと、$P(\Omega\setminus\Omega_0)\le\sum_{n\ge M}P(A_n)$（すべての $M$）なので $P(\Omega_0)=1$ である（Borel–Cantelliの補題）。$\omega\in\Omega_0$ なら、ある $n_0$ 以降 $\sup_t\lvert F_n\rvert\le2^{-n/2}\sqrt n$ で、$\sum_n2^{-n/2}\sqrt n<\infty$ である。よって $W^N=\xi_*t+\sum_{n< N}F_n$ は一様収束し、連続関数の一様極限 $W$ は連続である。各 $S_\gamma(0)=0$ なので $W_0=0$ である。
有限次元分布。 $t_1,\dots,t_r\in[0,1]$、$\theta\in\mathbb R^r$ を固定し、$c_\gamma:=\sum_j\theta_jS_\gamma(t_j)$ とおく。$\sum_j\theta_jW^N_{t_j}=\sum_{\gamma\in I_N}c_\gamma\xi_\gamma$ は独立な $N(0,1)$ の有限個の 1 次結合なので $N\bigl(0,\sum_{\gamma\in I_N}c_\gamma^2\bigr)$ に従い、正規分布 の定理「積率母関数と特性関数」により
$$ E\Bigl[\exp\Bigl(i\sum_j\theta_jW^N_{t_j}\Bigr)\Bigr]=\exp\Bigl(-\frac12\sum_{j,l}\theta_j\theta_l\sum_{\gamma\in I_N}S_\gamma(t_j)S_\gamma(t_l)\Bigr) $$
である。$N\to\infty$ とすると、左辺は $\Omega_0$ の上で被積分関数が収束し絶対値が $1$ なので 優収束定理 により $E[\exp(i\sum_j\theta_jW_{t_j})]$ に、右辺は lem-bm-schauder により $\exp(-\frac12\sum_{j,l}\theta_j\theta_l\min(t_j,t_l))$ に収束する。多変量正規分布 の定理「多変量正規分布の特性関数と存在」の 2 により、$(W_{t_1},\dots,W_{t_r})$ は平均 $0$、共分散 $\min(t_j,t_l)$ の多変量正規分布に従う。prop-bm-gauss により $W$ は def-bm-main の 2・3 を満たし、1・4 は上で示した。$\square$

要点：各 $t$ で和は有限で、共分散が $\min(s,t)$ になる。

どれも $X_0=0$ で道は連続であり、有限個の時刻での値は $(B_{t_j})$ の 1 次変換なので平均 $0$ の多変量正規分布に従う。共分散は、1 では $\min(s,t)$、2 では $c^{-1}\min(cs,ct)=\min(s,t)$、3 では $\min(a+s,a+t)-a-a+a=\min(s,t)$ である。prop-bm-gauss から結論を得る。$\square$

$\delta_i:=t_i-t_{i-1}$ とおく。$\Delta_i$ は独立に $N(0,\delta_i)$ に従うので、$Y_i:=\Delta_i^2-\delta_i$ は独立で平均 $0$ である。正規分布 の系「正規分布の積率」から $E[\Delta_i^4]=3\delta_i^2$ なので $E[Y_i^2]=3\delta_i^2-2\delta_i^2+\delta_i^2=2\delta_i^2$ である。$i\ne j$ では独立性から $E[Y_iY_j]=E[Y_i]E[Y_j]=0$ なので、$E[(Q_\Pi-t)^2]=E[(\sum_iY_i)^2]=\sum_iE[Y_i^2]=2\sum_i\delta_i^2$ である。$\sum_i\delta_i^2\le\lvert\Pi\rvert\sum_i\delta_i=\lvert\Pi\rvert t$ から不等式を得る。$\square$

$\Pi_n$ を $[0,t]$ の $2^n$ 等分とすると $E[(Q_{\Pi_n}-t)^2]=2t^2/2^n$ である。Chebyshev の不等式から $P(\lvert Q_{\Pi_n}-t\rvert>\varepsilon)\le2t^2/(2^n\varepsilon^2)$ で、これは $n$ について和が有限なので、Borel–Cantelli の補題により確率 $1$ で $\lvert Q_{\Pi_n}-t\rvert>\varepsilon$ は有限個の $n$ でしか起こらない。$\varepsilon=1/m$（$m=1,2,\dots$）について合わせると、確率 $1$ で $Q_{\Pi_n}\to t$ である。一方、道の $[0,t]$ での全変動 $V$ が有限なら $Q_{\Pi_n}\le\max_i\lvert\Delta_i\rvert\cdot V$ で、道は $[0,t]$ で一様連続なので $\max_i\lvert\Delta_i\rvert\to0$、したがって $Q_{\Pi_n}\to0$ となり $t>0$ に反する。$\square$

要点：ある点で微分できれば、その右の長さ $1/n$ の連続する 3 つの増分がどれも $O(1/n)$ になるが、そうなる確率は $n\cdot(n^{-1/2})^3\to0$ である。