狭義Hensel局所環

局所環 $(A,\mathfrak{m},k)$ について、次の 3 条件は同値である（Hensel局所環 の記事、および Stacks の「Henselian local rings」の節、Mil80 第 I 章 §4、Ray70）。

1. $A$ は Hensel 局所環である。
2. 任意の有限代数 $B$（$A$ 加群として有限生成な $A$ 代数）は、有限個の局所環の直積 $B\cong B_1\times\dots\times B_r$ に分解する。
3. 任意のエタール $A$ 代数 $B$（$\operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}A$ がエタール射）と、$\mathfrak{m}$ の上にある $B$ の素イデアル $\mathfrak{q}$ で剰余体の拡大 $k\to\kappa(\mathfrak{q})$ が同型であるものに対して、$A$ 代数の準同型 $s\colon B\to A$ で $s^{-1}(\mathfrak{m})=\mathfrak{q}$ となるものが存在する。
   以下ではこれらを Hensel 局所環の性質として引用し、再証明しない。

証明は Stacks の「Henselization and strict henselization」および「Henselization and strict henselization of local rings」の節、Mil80 第 I 章 §4、Ray70 に譲る。証明の筋は次のとおりである。1 の帰納極限が局所環であることは、各 $B_{\mathfrak{q}}$ が局所環で遷移射が局所準同型であることから従う。Hensel 性は、モニック多項式 $f$ と単根 $\alpha_0$ が与えられたとき、$f$ をある $B$ 上の多項式と見て $B'=B[x]_{f'}/(f)$（標準エタール代数）に移れば $x$ が根になることによる。剰余体が $k^{\mathrm{s}}$ に等しいことは、$k^{\mathrm{s}}$ の元 $\beta$ の $k$ 上の最小多項式 $\bar g$（分離的）を $B$ 上のモニック多項式 $g$ に持ち上げ、$B[x]_{g'}/(g)$ に移れば $\beta$ が剰余体に入ることによる。普遍性は、狭義 Hensel 局所環 $C$ への局所準同型 $B_{\mathfrak{q}}\to C$ が rem-strictly-henselian-henselian-facts の 3 を $C\otimes_AB$ に適用して一意に得られることによる。4 は、$A$ が Hensel のとき $B\mapsto B\otimes_Ak$ が有限エタール $A$ 代数の圏と有限エタール $k$ 代数の圏の圏同値を与えること（Stacks の「Henselian local rings」の節、Mil80 第 I 章 §4）から従う。

証明は Mil80 第 I 章 §4 と第 II 章 §2–§3、Stacks の「Stalks of the structure sheaf」の節、SGA4 Exposé VIII に譲る。筋は次のとおりである。エタール近傍 $(U,\bar u)$ をアフィンなもの（アフィンスキーム）に限ってよく、$U=\operatorname{Spec}B$ で $\bar u$ は $\mathfrak{m}$ の上の素イデアル $\mathfrak{q}$ と埋め込み $\kappa(\mathfrak{q})\to\Omega$ を与える。$\kappa(\mathfrak{q})$ は $\kappa(x)$ の有限分離拡大なので像は $\kappa(x)^{\mathrm{s}}$ に入り、$(U,\bar u)$ は thm-strictly-henselian-existence の 1 の組 $(B,\mathfrak{q})$ と対応する。$U$ を $\mathfrak{q}$ の周りの主開集合で置き換えて帰納極限をとると $\varinjlim\Gamma(U,\mathcal{O}_U)=\varinjlim B_{\mathfrak{q}}=\mathcal{O}_{X,x}^{\mathrm{sh}}$ となる。層の茎に関する等式は、$\operatorname{Spec}\mathcal{O}_{X,\bar x}^{\mathrm{sh}}$ がアフィンな遷移射をもつ準コンパクト・準分離スキームの射影極限 $\varprojlim U$ であり、そのようなスキームの上でエタール層の切断（およびコホモロジー）が帰納極限と交換することによる（Stacks Étale Cohomology の「Colimits」の節、Mil80 第 III 章 §1）。

rem-strictly-henselian-henselian-facts の 3 は、狭義 Hensel 局所環では次の形になる。任意のエタール $A$ 代数 $B$（有限とは限らない）と $\mathfrak{m}$ の上にある任意の素イデアル $\mathfrak{q}$ に対して、$A$ 代数の準同型 $s\colon B\to A$ で $s^{-1}(\mathfrak{m})=\mathfrak{q}$ となるものが存在する。実際 $\kappa(\mathfrak{q})$ は $k$ の有限分離拡大（エタール射）なので $k$ に等しく、3 が適用できる。幾何的に言えば、狭義 Hensel 局所環 $A$ の閉点の上のエタール射 $U\to\operatorname{Spec}A$ の閉ファイバーのすべての点は $\operatorname{Spec}A$ の切断に延びる。これは thm-strictly-henselian-stalk で「エタール近傍の極限」が $\operatorname{Spec}A^{\mathrm{sh}}$ で止まる理由でもある。

1 は Grothendieck Gro68 I (6.1)・(6.2)（Azumaya の定理のスキーム版）、Mil80 第 IV 章 §1 の定理であり、証明は Hensel の補題の幾何的な形（Hensel 局所環上の滑らかなスキームの閉点が切断に延びること）と忠実平坦降下を使う。証明はこれらの文献と Brauer群・Azumaya代数 の記事に譲る。3 は SGA4 Exposé VIII、Mil80 第 III 章 §1 にあり、thm-strictly-henselian-stalk の茎の記述から、$\operatorname{Spec}A$ 上の層の大域切断関手が茎をとる関手に等しく完全であることによる。
2 は 1 から次のように従う。$k$ を分離閉体とすると $\operatorname{Br}(k)=0$ である。実際、$k$ 上の中心単純環 $D$ は $k$ の有限分離拡大体 $L$ で分裂する（中心単純環、Ser79 第 X 章：中心単純環は有限 Galois 分裂体をもつ）が、$k$ の有限分離拡大は $k$ 自身に限るので $D\otimes_kk\cong M_r(k)$、すなわち $D\cong M_r(k)$ である。よって $\operatorname{Br}(A)\cong\operatorname{Br}(k)=0$。後半は、$A$ 上の Azumaya 代数 $\mathcal{A}$ に対して $\mathcal{A}\otimes_AA^{\mathrm{sh}}$ が狭義 Hensel 局所環 $A^{\mathrm{sh}}$ 上の Azumaya 代数だからである。

thm-strictly-henselian-existence の 3 により、正則・正規・被約などの性質は狭義 Hensel 化で保たれる。逆は成り立たない性質もある：ex-strictly-henselian-node の $A$ は整域だが $A^{\mathrm{sh}}$ は整域でない。整域性・一意分解整域であることは狭義 Hensel 化で保たれるとは限らず、たとえば「すべての点の狭義 Hensel 化が一意分解整域である」という条件は正則スキームではみたされる（正則局所環は一意分解整域で、その狭義 Hensel 化も正則）が、正規スキームでは一般にみたされず、これが Brauer群 とコホモロジー的 Brauer 群の比較（コホモロジー的Brauer群）や Brauer群の純性 で仮定として現れる。エタールコホモロジーのあらゆる局所的な計算（高次順像の茎、固有底変換定理、局所コホモロジーの茎）は $\operatorname{Spec}\mathcal{O}_{X,\bar x}^{\mathrm{sh}}$ の上の計算に帰着し、離散付値環の狭義 Hensel 化の分数体 $K$（剰余体 $k$ が分離閉な Hensel 離散付値体）は、$k$ の標数と異なる素数 $\ell$ について $\operatorname{cd}_\ell(K)\le1$ をみたす（$k$ が分離閉なので $K$ は不分岐拡大をもたず、$K$ の Galois 群は野性分岐群（pro-$p$ 群、$p=\operatorname{char}k$）を法として $\prod_{q\ne p}\mathbb{Z}_q$ になるため）。$k$ が代数閉なら $\ell=p$ についても $\operatorname{cd}_p(K)\le1$ が成り立ち（$\operatorname{char}K=p$ なら標数 $p$ の体一般の性質、$\operatorname{char}K=0$ なら $K$ が $C_1$ 体であるという Lang の定理、Ser79 第 X 章）、すべての素数について $\operatorname{cd}(K)\le1$ である。これがGaloisコホモロジーの次元が $1$ 以下の体（コホモロジー次元）の典型例である。$\operatorname{char}K=0$、$\operatorname{char}k=p>0$ で $k$ が分離閉だが完全でないときは、$\operatorname{cd}_p(K)\le1$ は成り立たない（Bloch–Kato による Hensel 離散付値体の $H^2(K,\mathbb{Z}/p(2))$ の計算で、その次数付き商に $\Omega^1_k\ne0$ が現れる）。