ロジスティック写像

$\eta(f(x))=a(ax^2+bx+e)+\frac b2$ と $\eta(x)^2+c=a^2x^2+abx+\frac{b^2}4+c$ を比べると、$c=ae+\frac b2-\frac{b^2}4$ で一致する。$L_\mu$ は $a=-\mu$、$b=\mu$、$e=0$ の場合で、$\eta=h_\mu$、$c=\frac\mu2-\frac{\mu^2}4$ である。$\square$

1：$J$ は閉なので $\ell\in J$ で、連続性から $g(\ell)=\lim g(g^n(x))=\lim g^{n+1}(x)=\ell$。2：$g(x)\ge x$ なら、$g$ が単調増加なので $g^2(x)\ge g(x)$、帰納法で $g^{n+1}(x)\ge g^n(x)$ となり、数列は単調増加で $J$ の中で有界だから収束する。$g(x)\le x$ の場合も同様。極限は 1 により不動点である。$\square$

$L=L_\mu$、$p=p_\mu$、$\hat p=\hat p_\mu$ と書く。
1：$0< x\le1$ では $\mu-1-\mu x<0$ なので $L(x)-x=x(\mu-1-\mu x)<0$、また $L(x)\ge0$ である。よって $L^n(x)$ は（$0$ に達するまで）単調減少で $[0,1]$ にとどまり、lem-lg-monotone の 1 により不動点に収束する。$[0,1]$ にある不動点は $0$ だけである（$p_\mu\le0$）。
2 の準備：$x\in(0,p)$ なら $L(x)-x=\mu x(p-x)>0$ である。$x\in(p,1)$ なら $\hat p< x$ のとき $L(x)-p=\mu(x-p)(\hat p-x)<0$ である。
2、$1<\mu\le2$ の場合：$0< p\le\frac12\le\hat p<1$ である。

• $x\in(0,p)$：$L$ は $[0,\frac12]$ で増加なので $x< L(x)< L(p)=p$。数列は $(0,p)$ の中で単調増加し、極限は $(0,p]$ にある不動点、つまり $p$ である。
• $x\in(p,\hat p]$：$L(x)-p=\mu(x-p)(\hat p-x)\ge0$ かつ $L(x)< x$ なので $L(x)\in[p,x)$。数列は $[p,x]$ の中で単調減少し、極限は $p$ である。
• $x\in(\hat p,1)$：$0< L(x)< p$ なので、1 回施すと 1 つ目の場合になる。
  2、$2<\mu\le3$ の場合：$\frac13\le\hat p<\frac12< p\le\frac23$ である。$D:=\bigl[L(\frac\mu4),\frac\mu4\bigr]$ とおく。
• $D$ について：$L\bigl(\frac\mu4\bigr)-\frac12=-\frac{(\mu-2)(\mu^2-2\mu-4)}{16}\ge0$（$\mu^2-2\mu-4<0$ は $\mu<1+\sqrt5$ で成り立つ）、また $\frac\mu4-p=\frac{(\mu-2)^2}{4\mu}\ge0$ で、$L$ は $[\frac12,1]$ で減少なので $L\bigl(\frac\mu4\bigr)\le L(p)=p$。よって $\frac12\le L(\frac\mu4)\le p\le\frac\mu4$ で、$D\subset[\frac12,1]$ である。$L$ は $D$ の上で減少し、$L(D)=\bigl[L(\frac\mu4),L(L(\frac\mu4))\bigr]\subset D$（$L\le\frac\mu4$ による）。
• $D$ の上の収束：$g:=L\circ L$ は減少写像 2 つの合成なので $D$ の上で単調増加で、$g(D)\subset D$ である。lem-lg-monotone の 2 により $y\in D$ の $g^n(y)$ は $g$ の不動点に収束する。$g(y)=y$ は
  $$ L^2(x)-x=-x(\mu x-\mu+1)\bigl(\mu^2x^2-\mu(\mu+1)x+\mu+1\bigr) $$
  の零点で、最後の 2 次式の判別式は $\mu^2(\mu+1)(\mu-3)\le0$ である。$\mu<3$ なら実数解はなく、$\mu=3$ なら重解 $\frac{\mu+1}{2\mu}=\frac23=p_3$ である。$0\notin D$ なので、$D$ の中の $g$ の不動点は $p$ だけで、$g^n(y)\to p$。さらに $L(y)\in D$ から $L^{2n+1}(y)=g^n(L(y))\to p$ なので、$L^n(y)\to p$ である。
• $D$ に入ること：$x\in(0,1)$ の軌道が有限回で $D$ に入ることを示せばよい。$x\in[\hat p,p]$ なら $L(x)-p=\mu(x-p)(\hat p-x)\ge0$ なので $L(x)\in[p,\frac\mu4]\subset D$。$x\in(p,1)$ なら $0< L(x)< p$。$x\in(0,\hat p)$ なら $x< L(x)< L(\hat p)=p$ で、軌道が $(0,\hat p)$ にとどまる限り単調増加である。ずっととどまれば lem-lg-monotone の 1 により $(0,\hat p]$ の不動点に収束するが、そのような不動点はない（$\hat p< p$）。よって軌道はいずれ $[\hat p,p)$ に入り、その次に $D$ に入る。$\square$

$L=L_\mu$ と書く。
1：$x\notin\Lambda$ なら、ある $n$ で $L^n(x)\notin[0,1]$ である。$L^n(x)<0$ ならそこから $-\infty$ へ発散し、$L^n(x)>1$ なら次に負になる。$L(\Lambda)\subset\Lambda$ は定義から明らか。逆に $y\in\Lambda$ なら $L(x)=y$ となる $x\in I_0$ があり、$x\in\Lambda$ である。
2：$L$ の $I_0$、$I_1$ への制限の逆写像を $g_0\colon[0,1]\to I_0$、$g_1\colon[0,1]\to I_1$ とする。$u,v$ が同じ $I_i$ にあれば、平均値の定理により $\lvert L(u)-L(v)\rvert\ge\lambda\lvert u-v\rvert$ なので、$\lvert g_i(y)-g_i(y')\rvert\le\lambda^{-1}\lvert y-y'\rvert$ である。有限列 $(s_0,\dots,s_{n-1})$ について閉区間を
$$ J_\emptyset:=[0,1],\qquad J_{s_0s_1\cdots s_{n-1}}:=g_{s_0}\bigl(J_{s_1\cdots s_{n-1}}\bigr) $$
で定めると、帰納法により $J_{s_0\cdots s_{n-1}}=\{x\mid0\le j< n\text{ で }L^j(x)\in I_{s_j}\}$ で、長さは $\lambda^{-n}$ 以下である。$I_0\cap I_1=\emptyset$（$a<\frac12$）なので $S$ は矛盾なく定まり、$S(L(x))=\sigma(S(x))$ は定義から分かる。
$s\in\Sigma_2$ について $J_{s_0}\supset J_{s_0s_1}\supset\cdots$ は空でない閉区間の減少列で、長さが $0$ に近づくので、共通部分はただ 1 点 $x_s$ からなる。$x_s\in\Lambda$ で $S(x_s)=s$ であり、$S(x)=s$ となる $x$ はすべての $J_{s_0\cdots s_{n-1}}$ に入るので $x=x_s$ である。よって $S$ は全単射で、逆写像は $s\mapsto x_s$ である。$s,t$ の最初の $n$ 項が一致すれば $x_s,x_t\in J_{s_0\cdots s_{n-1}}$ なので $\lvert x_s-x_t\rvert\le\lambda^{-n}$ であり、$S^{-1}$ は連続である。$S^{-1}$ はコンパクト空間 $\Sigma_2$ から Hausdorff 空間 $\Lambda$ への連続な全単射なので同相写像であり（同相写像 の定理「コンパクト空間からHausdorff空間への連続全単射は同相」）、$S$ も同相写像で、$\Lambda=S^{-1}(\Sigma_2)$ はコンパクトである。完全不連結で孤立点をもたないことは $\Sigma_2$ から移る（完全不連結空間）。
3：$\sigma^n(s)=s$ は $s$ が周期 $n$ で繰り返す列であることと同値で、そのような $s$ は $2^n$ 個ある。$s$ の最初の $n$ 項を周期的に繰り返した列は $s$ に $2^{-n+1}$ 以内で近いので、周期点は稠密である。長さ $1,2,3,\dots$ のすべての 0-1 列を順に並べた列 $s^*$ では、どの有限列も $s^*$ のどこかに現れるので、$\{\sigma^k(s^*)\}$ は稠密である。$\Sigma_2$ は孤立点をもたないので、空でない開集合から有限個の点を除いても空でない開集合が残り、稠密な軌道はどの空でない開集合にも無限回入る。よって空でない開集合 $U,V$ について $\sigma^k(s^*)\in U$、$\sigma^l(s^*)\in V$（$l>k$）となる $k,l$ がとれて $\sigma^{l-k}(U)\cap V\ne\emptyset$ となる。$\Sigma_2$ は無限集合なので、$\sigma$ はカオス的である（Tes12 Lemma 11.8・11.9, p. 303）。力学系 の命題「位相共役で保たれる性質」により、$L|_\Lambda$ もカオス的で、$\Lambda$ の中に $L^n$ の不動点がちょうど $2^n$ 個ある。$L^n(x)=x$ となる実数 $x$ の軌道は有界なので 1 により $x\in\Lambda$ である。$\square$