Calabi予想

前提知識: Kähler多様体, Kähler形式, 第1Chern類, ∂∂̄-補題

Ricci 曲率はどこまで指定できるか

Calabi 予想（Calabi conjecture）とは、コンパクト Kähler多様体 の Ricci 曲率にかかる制約は第 1 Chern 類という位相的な制約だけである、という主張である。Chern は Kähler 計量の Ricci 形式を $2\pi$ で割ったものが第 1 Chern 類を代表することを示した。Calabi は、これが唯一の障害ではないかと問うた（Yau77 p. 1798）。
Calabi は 1954 年にこれを予想し、計量の一意性を自ら証明した。存在は S.-T. Yau が 1976 年の末に複素 Monge–Ampère 方程式を解いて証明した（Bou79 pp. 2–3）。したがって今では定理であり、Calabi–Yau の定理とも呼ばれる。「予想」の名は歴史的なものである。
この定理により、第 1 Chern 類が実係数で消えるコンパクト Kähler 多様体は Ricci 平坦な Kähler 計量をもつ。こうして Calabi–Yau多様体 の計量が得られる。この記事では、主張を正確に述べ、Monge–Ampère 方程式への帰着、一意性、複素次元 $1$ の場合を完全に証明する。一般の存在の証明は筋だけを述べる。

Ricci 形式

$X$ を複素次元 $n$ の連結なコンパクト複素多様体とする。Kähler 形式を、Kähler多様体 の記事と同じく、局所正則座標で
$$ \omega=\frac i2\sum_{j,k}g_{j\bar k}\,dz_j\wedge d\bar z_k $$
と書く。$(g_{j\bar k})$ は正定値 Hermite 行列である。このとき $\omega^n=n!\,\det(g_{j\bar k})\prod_j\bigl(\frac i2dz_j\wedge d\bar z_j\bigr)$ である。

正則な座標変換で $\det(g_{j\bar k})$ は $|\det J|^2$ 倍される（$J$ は Jacobi 行列）。$\log|\det J|^2$ は局所的に正則関数と反正則関数の和なので、$\partial\bar\partial$ で消える。よって $\rho(\omega)$ は大域的な閉じた実 $(1,1)$ 形式である。Ricciテンソル $\mathrm{Ric}$ とは、$\omega(u,v)=g(Ju,v)$ と同じ規則で $\rho(u,v)=\mathrm{Ric}(Ju,v)$ の関係にある（Bou79 p. 1、Kob87 (1.7.15)、p. 25）。とくに $\rho$ が正の $(1,1)$ 形式であることと、$\mathrm{Ric}$ が正定値であることは同値である。文献によって $\omega$ の因子 $\frac i2$ の有無や $\rho$ の定数倍が違うので、公式を比べるときは注意する。
2 つの Kähler 形式 $\omega,\omega'$ について、$\omega'^n/\omega^n=\det(g'_{j\bar k})/\det(g_{j\bar k})$ は大域的な正の関数であり、
$$ \rho(\omega')-\rho(\omega)=-i\partial\bar\partial\log\frac{\omega'^n}{\omega^n}\qquad(1) $$
が成り立つ。

定理の主張

固定するのは Kähler 類であり、その中で Ricci 形式を自由に指定できる。prop-calabi-chern により、$[\rho']=2\pi c_1(X)$ は必要条件である。定理はそれが十分でもあることを述べる。
$\rho'=0$ が許される場合がもっとも有名である。

Monge–Ampère 方程式への帰着

Kähler 類を固定すると、Kähler 形式は実数値関数で書ける。$\omega_\varphi:=\omega+i\partial\bar\partial\varphi$ とおくと、類 $[\omega]$ の Kähler 形式はすべて $\omega_\varphi$ の形で、$\varphi$ は定数を除いて一意である（∂∂̄-補題 の系「同じ類の Kähler 形式」）。

局所座標では (3) は $\det\bigl(g_{j\bar k}+2\,\partial_j\partial_{\bar k}\varphi\bigr)=e^F\det(g_{j\bar k})$ であり、未知関数の複素 Hessian の行列式を含む完全非線形の楕円型方程式である。条件 (2) は (3) から Stokes の定理で出るので、必要条件である。

$\rho(\omega_\varphi)=\rho'$ は $\varphi$ について 4 階の方程式に見えるが、両辺が $i\partial\bar\partial$ の形なので、これを外すと 2 階の方程式 (3) になる。Ricci 形式を指定することは、体積形式を指定することにほかならない。これが帰着の要点である。

一意性

一意性の証明は積分と部分積分だけで済む。

この一意性は非線形方程式 (3) に対して、線形化を経ずに成り立つ。$n=1$ では (4) は $\int_Xi\partial u\wedge\bar\partial u=0$ そのものである。

複素次元 1 の場合

$n=1$ では、方程式 (3) は線形である。このときだけ定理を完全に証明できる。

$n=1$ の幾何的な意味を見る。Riemann 計量の Gauss 曲率を $K$ とすると $\rho(\omega)=K\omega$ である（Ricciテンソル は $\mathrm{Ric}=Kg$ なので、$\rho(u,v)=Kg(Ju,v)$）。$\deg T^{1,0}X=2-2g_X$（$g_X$ は種数）なので、$[\rho]=2\pi c_1(X)$ は $\int_XK\omega=2\pi(2-2g_X)$、すなわち Gauss–Bonnetの定理 である。prop-calabi-curve は、積分の値が合う $2$ 形式はどれも、与えられた面積をもつ計量の曲率形式 $K\omega'$ になることを述べる。
注意すべき点は、指定できるのが関数 $K$ ではなく $2$ 形式 $K\omega'$ だということである。曲率が $0$ でない定数 $\lambda$ の計量を求めることは $\rho(\omega')=\lambda\omega'$ を解くことで、右辺に未知の $\omega'$ が入る。これは $n=1$ でも非線形で、prop-calabi-curve からは出ない。この違いは節「Kähler–Einstein 計量との違い」でふたたび現れる。

存在の証明の筋

一般の $n$ の thm-calabi-ma は連続法で証明される（PSS12 §2.2、Bou79 §4 b)、pp. 10–11）。以下は筋であり、この記事では証明しない。詳細は Yau78 にある。
$0\le t\le1$ について
$$ \omega_{\varphi_t}^n=c_te^{tF}\omega^n,\qquad c_t:=\frac{\int_X\omega^n}{\int_Xe^{tF}\omega^n}\qquad(\ast_t) $$
を考える。$t=0$ では $\varphi_0=0$ が解である。解をもつ $t$ の集合 $S\subset[0,1]$ を、ある Hölder 空間 $C^{k+2,\alpha}$ の中で考え、$S$ が開かつ閉であることを示す。thm-calabi-ma は $t=1$ の場合であり、解の滑らかさは楕円型方程式の正則性による。
開であること． $\Phi(\varphi):=\log(\omega_\varphi^n/\omega^n)$ とおく。$\omega_\varphi$ の係数行列を $g_\varphi:=g+2\partial\bar\partial\varphi$ と書き、$\log\det(g_\varphi+2s\,\partial\bar\partial\psi)$ を $s=0$ で微分すると、
$$ d\Phi_\varphi(\psi)=\sum_{j,k}2\,g_\varphi^{\bar kj}\,\partial_j\partial_{\bar k}\psi=\frac12\Delta_{\omega_\varphi}\psi $$
となる。$g_\varphi^{\bar kj}$ は $\omega_\varphi$ の係数行列の逆行列の成分で、$\Delta_{\omega_\varphi}$ は計量 $\omega_\varphi$ の Laplace作用素 である。Stokes の定理により $\int_Xe^{\Phi(\varphi)}\omega^n=\int_X\omega^n$ なので、$\Phi$ の値は超曲面 $\mathcal{H}:=\{G\mid\int_Xe^G\omega^n=\int_X\omega^n\}$ に入り、$\Phi(\varphi)$ での $\mathcal{H}$ の接空間は $\int_Xv\,\omega_\varphi^n=0$ をみたす関数 $v$ の全体である。$c_t$ は $(\ast_t)$ の右辺の対数 $tF+\log c_t$ をこの $\mathcal{H}$ に入れるための定数である。Laplace 作用素は、定数を除いた $C^{k+2,\alpha}$ から、$\omega_\varphi^n$ に関して平均が $0$ の $C^{k,\alpha}$ の関数の空間への同型を与える。陰関数定理により $S$ は開である。ここで線形化が $\omega_\varphi$ の Laplace 作用素になり、$\omega_\varphi$ の正値性が楕円性を保証していることが要点である。
閉であること． $\varphi_t$ を平均が $0$ になるように正規化し、$t$ によらない一様評価を示す。評価が揃えば、Arzelà–Ascoli の定理により解の極限をとれる。

$C^2$ 評価の意味は次のとおりである。$\omega$ に関する $\omega_{\varphi_t}$ の固有値の和が上から押さえられ、積は $c_te^{tF}$ で正の定数から下に押さえられる。よって各固有値が正の定数から下に押さえられ、方程式は $t$ によらず一様に楕円型になる。
このうちもっとも難しいのは $C^0$ 評価、とくに $\inf\varphi$ の評価である（Bou79 p. 14）。

Ricci 曲率の符号と位相

Yau の定理は、計量の符号の仮定を $c_1$ の符号の仮定に置き換える。

Ricci テンソルが正定値という仮定で単連結性を示したのは小林昭七（Shoshichi Kobayashi）であり、Yau の定理によってこの仮定を $c_1(X)$ の正値性に置き換えられる（Kob87 p. 56）。
$c_1(X)=0$ の側では、cor-calabi-flat により次のことが出る。引いた定理はこの記事では証明しない。

• Ricci 平坦な Kähler 計量の上では、正則 $p$ 形式はすべて平行である（Kob87 Theorem 3.1.34、p. 55）。したがって正則形式の空間の次元は、計量の ホロノミー の不変量で測られる。
• $n\ge2$ のとき、$\mathbb{P}^{n+1}$ の非特異な $n+2$ 次超曲面は単連結で $c_1=0$ であり、Ricci 曲率が $0$ で曲率テンソルが恒等的には $0$ でないコンパクトな単連結 Kähler 多様体を与える（Yau77 Theorem 2、p. 1798）。5 次超曲面の場合などは Calabi–Yau多様体 で扱う。

Kähler–Einstein 計量との違い

Kähler 計量が Kähler–Einstein 計量であるとは、定数 $\lambda$ について $\rho(\omega)=\lambda\omega$ となることをいう。thm-calabi-main は $\rho(\omega')$ を固定された形式に等しくする定理であり、$\lambda\ne0$ の Kähler–Einstein 方程式 $\rho(\omega')=\lambda\omega'$ は右辺に未知の形式を含む。$\lambda\ne0$ なら $[\omega']$ は $2\pi c_1(X)/\lambda$ に定まる。次の表と続く 2 段落で所在を挙げた事実は、この記事では証明しない（$c_1(X)$ が $0$ の行は cor-calabi-flat による）。

$c_1(X)$ が正のとき、Bou79 は $\mathbb{P}^2$ の 1 点または 2 点の爆発には Kähler–Einstein 計量がないことを述べている。存在の十分条件としては、CDS12 Theorem 1 により、K 安定な Fano 多様体は Kähler–Einstein 計量をもつ。
負の場合の Kähler–Einstein 計量は、宮岡–Yau不等式 に使われる。Yau は標準束が豊富な Kähler 曲面について、この計量の曲率の積分から $3c_2\ge c_1^2$ と等号の場合の決定を導いた（Yau77 Theorem 4）。
負の場合の一意性は最大値原理で簡単に示せる。

反例：条件を外すと

関連項目

• 前提: Kähler多様体, Kähler形式, 第1Chern類, ∂∂̄-補題, Ricciテンソル
• 比較: Fubini–Study計量, Gauss–Bonnetの定理, Ricci流
• 直後に読む: Calabi–Yau多様体, K3曲面
• 発展: ホロノミー, 宮岡–Yau不等式, 楕円型偏微分方程式