Wallis積分とガンマ関数

1. $(te^{-t})$ の積分：$\bigl(-te^{-t}-e^{-t}\bigr)'=-e^{-t}+te^{-t}+e^{-t}=te^{-t}$ なので
   $$ \int_0^Rte^{-t}\,dt=\bigl[-te^{-t}-e^{-t}\bigr]_0^R=1-(R+1)e^{-R} $$
   である。$R\to\infty$ で $(R+1)e^{-R}\to0$ なので、極限は $1=1!$ である。
2. $(t^2e^{-t})$ の積分：部分積分で $\int_0^Rt^2e^{-t}dt=\bigl[-t^2e^{-t}\bigr]_0^R+2\int_0^Rte^{-t}dt$ であり、$R\to\infty$ で $0+2\cdot1=2=2!$ に近づく（境界の項は $-R^2e^{-R}$ で、$R\to\infty$ で $R^2e^{-R}\to0$ である）。
   同じ計算をくり返すと、$\int_0^\infty t^ne^{-t}dt=n!$ となりそうである。

1. $\Gamma(1)=\int_0^\infty e^{-t}dt=\lim_{R\to\infty}\bigl[-e^{-t}\bigr]_0^R=\lim_{R\to\infty}(1-e^{-R})=1$ である。
2. $\Gamma(2)=\int_0^\infty te^{-t}dt=1$ である（ex-wg-factorial-integrals の 1）。

prop-wg-gamma の 1 と 3 から、
$$ \Gamma\Bigl(\frac32\Bigr)=\frac12\Gamma\Bigl(\frac12\Bigr)=\frac{\sqrt\pi}2=0.8862\ldots,\qquad \Gamma\Bigl(\frac52\Bigr)=\frac32\Gamma\Bigl(\frac32\Bigr)=\frac{3\sqrt\pi}4=1.3293\ldots,\qquad \Gamma\Bigl(\frac72\Bigr)=\frac52\cdot\frac{3\sqrt\pi}4=\frac{15\sqrt\pi}8 $$
である。整数では $\Gamma(3)=2$、$\Gamma(4)=6$、$\Gamma(5)=24$ である（図 1）。整数点では階乗、半整数点では $\sqrt\pi$ の有理数倍が現れる。

$s=0$ のときの積分 $\int_0^1t^{-1}e^{-t}dt$ を考える。$0< t\le1$ では $e^{-t}\ge e^{-1}$ なので、$0<\varepsilon<1$ について
$$ \int_\varepsilon^1\frac{e^{-t}}t\,dt\ge e^{-1}\int_\varepsilon^1\frac{dt}t=e^{-1}\log\frac1\varepsilon $$
であり、右辺は $\varepsilon\to+0$ で限りなく大きくなる（$\varepsilon=0.1,\ 0.01,\ 0.001$ で $0.84\ldots,\ 1.69\ldots,\ 2.54\ldots$。左辺の数値は $1.60\ldots,\ 3.81\ldots,\ 6.11\ldots$）。よって $\Gamma(0)$ は定まらない。定義の条件 $s>0$ を外すと積分が収束せず、$\Gamma(1)=0\cdot\Gamma(0)$ のように prop-wg-gamma の 1 を $s=0$ に使うこともできない。

1. $I_4=\frac{\sqrt\pi}2\cdot\frac{\Gamma(\frac52)}{\Gamma(3)}=\frac{\sqrt\pi}2\cdot\frac{3\sqrt\pi/4}{2}=\frac{3\pi}{16}$ である。
2. $I_5=\frac{\sqrt\pi}2\cdot\frac{\Gamma(3)}{\Gamma(\frac72)}=\frac{\sqrt\pi}2\cdot\frac{2}{15\sqrt\pi/8}=\frac{8}{15}$ である。
   どちらも、漸化式で計算した値（Wallis積分（高校数学））と一致する。

1. 漸化式：prf-prop-wg-wallis-gamma の段 2 のとおり、$I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}$ は、関数等式 $\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$ を $s=\frac{n-1}2$ と $s=\frac n2$ に使ったものである。
2. 偶奇の違い：$n$ が偶数なら $\frac{n+1}2$ は半整数、$\frac n2+1$ は整数なので、$I_n$ には $\Gamma(\frac12)=\sqrt\pi$ が 1 つ残り、前の $\frac{\sqrt\pi}2$ と合わせて $\pi$ が現れる。$n$ が奇数なら逆に分母が半整数になり、$\sqrt\pi$ が約分されて有理数になる。
3. 積の保存：$I_n$ と $I_{n-1}$ の式を掛けると、$I_{n-1}$ の分母の $\Gamma(\frac{n-1}2+1)=\Gamma(\frac{n+1}2)$ と $I_n$ の分子が約分されて
   $$ I_nI_{n-1}=\frac\pi4\cdot\frac{\Gamma(\frac n2)}{\Gamma(\frac n2+1)}=\frac\pi4\cdot\frac{\Gamma(\frac n2)}{\frac n2\Gamma(\frac n2)}=\frac{\pi}{2n} $$
   となる。これは $nI_nI_{n-1}=\frac\pi2$ にほかならない。$n=4$ では $\frac\pi4\cdot\frac{\Gamma(2)}{\Gamma(3)}=\frac\pi4\cdot\frac12=\frac\pi8=\frac{\pi}{2\cdot4}$ である。

$0< x<\frac\pi2$ で $t=\sin^2x$ とおくと $dt=2\sin x\cos x\,dx$、$\cos x=\sqrt{1-t}$ なので、$dx=\frac{dt}{2\sqrt t\sqrt{1-t}}$ である。よって
$$ I_n=\int_0^1t^{n/2}\cdot\frac{dt}{2\sqrt t\sqrt{1-t}}=\frac12\int_0^1t^{\frac{n-1}2}(1-t)^{-\frac12}\,dt $$
である（$t=1$ の近くでは広義積分。$n=0$ では $t=0$ の近くも）。右辺の積分はベータ関数 $B(p,q):=\int_0^1t^{p-1}(1-t)^{q-1}dt$（$p,q>0$）の $p=\frac{n+1}2$、$q=\frac12$ での値なので、$I_n=\frac12B(\frac{n+1}2,\frac12)$ である。$n=4$ では $\frac12B(\frac52,\frac12)=0.58904\ldots=\frac{3\pi}{16}$ である（数値計算）。