Runge領域

定義の各不等式は閉条件で、座標多項式 $z_j$ を試せば $|z_j|\le\max_K|z_j|$ となる。したがって凸包は閉かつ有界で、コンパクトである。包含と単調性は不等式の定義による。任意の多項式について $\sup_{\widehat K_{\mathrm{pol}}}|P|=\sup_K|P|$ なので、二度凸包をとっても不等式は変わらない。
全空間正則凸包が多項式凸包に含まれるのは、多項式が整関数だからである。逆に $z\in\widehat K_{\mathrm{pol}}$ と整関数 $F$ をとる。$K\cup\{z\}$ を含む十分大きい中心原点の多重円板では、$F$ の Taylor 多項式が一様に $F$ に収束する（多重円板 の定理「冪級数展開」）。$|P_j(z)|\le\sup_K|P_j|$ に極限を通せば $|F(z)|\le\sup_K|F|$ となり、逆包含を得る。$\square$

条件 2 から Runge 性へ．$K\subset U$ をコンパクトとする。$\widehat K_U\subset\widehat K_{\mathrm{pol}}\subset U$ であり、右辺は $U$ 内のコンパクト集合、左辺は $U$ 内の閉集合なので、$\widehat K_U$ はコンパクトである。Cartan–Thullen の定理により $U$ は正則領域である。
$f\in\mathcal O(U)$ に対し、多項式凸集合 $H=\widehat K_{\mathrm{pol}}$ は $U$ に含まれる。したがって $f$ は $H$ の近傍で正則であり、thm-rd-oka-weil により $H$ 上、したがって $K$ 上で多項式近似できる。一つの多項式列にまとめるには、$U$ のコンパクトな尽くし $L_j$ をとり、それぞれで誤差 $1/j$ 未満の多項式 $P_j$ を選べばよい。任意の固定コンパクト集合がある $L_J$ に入り、$j\ge J$ で同じ誤差評価を使えるため、局所一様収束が得られる。
条件 1 から条件 4 へ．$z\in\widehat K_{\mathrm{pol}}\cap U$、$f\in\mathcal O(U)$ とする。Runge 近似を $K\cup\{z\}$ 上で使い、$P_j\to f$ を一様にとる。$|P_j(z)|\le\sup_K|P_j|$ に極限を通せば $|f(z)|\le\sup_K|f|$ であり、$z\in\widehat K_U$ である。逆包含は定義から従う。ここでは $U$ の外の点で近似できると仮定していない。
条件 4 から条件 5 へ．正則領域の正則凸包はコンパクトであるという Cartan–Thullen の定理を使えばよい。
条件 5 から条件 3 へ．$H=\widehat K_{\mathrm{pol}}$、$K_1=H\cap U$、$K_2=H\setminus U$ とする。$K_1$ は $U$ 内で閉かつ相対コンパクトなので、全空間でもコンパクトである。$K_2$ も $H$ 内の閉集合としてコンパクトである。これらは互いに素なので、互いに交わらない開近傍をとり、一方で $0$、他方で $1$ となる正則関数 $f$ をその和集合上で定める。多項式凸な $H$ 上で thm-rd-oka-weil を使うと、$\sup_H|P-f|<1/4$ となる多項式 $P$ がある。$K\subset K_1$ なので $\sup_K|P|<1/4$ だが、もし $z\in K_2$ なら $|P(z)|>3/4$ であり、$z\in\widehat K_{\mathrm{pol}}$ に反する。ゆえに $K_2=\emptyset$、すなわち $H\subset U$ である。
次に任意の $f\in\mathcal O(U)$ を $H$ 上で多項式近似して、凸包不等式を極限へ通せば $H\subset\widehat K_U$ となる。逆包含と合わせて条件 3 を得る。条件 3 は条件 2 を含むから、これですべての同値が閉じる。空の $K$ と空の $U$ は規約から自明である。$\square$

要点：thm-rd-criterion の証明の多項式を $U_2$ 上の正則関数に、thm-rd-oka-weil を Stein 多様体の上の近似定理に替える。

$K\subset U$ を空でないコンパクト集合とする。始域の Runge 性と thm-rd-criterion から $H:=\widehat K_{\mathrm{pol}}\subset\Omega$ である。標的上の任意の多項式 $Q$ について、合成 $Q\circ u$ は $\Omega$ 上で正則である。$\Omega$ の Runge 性により、$H$ 上で $Q\circ u$ を多項式で一様近似できる。したがってすべての $z\in H$ について
$$ |Q(u(z))|\le\sup_K|Q\circ u|=\sup_{u(K)}|Q| $$
となる。これは $u(H)\subset\widehat{u(K)}_{\mathrm{pol}}$ を意味する。$u(K)$ は $\Omega'$ 内のコンパクト集合なので、標的の Runge 性から $\widehat{u(K)}_{\mathrm{pol}}\subset\Omega'$ である。ゆえに $H\subset u^{-1}(\Omega')=U$ となり、判定定理から $U$ は Runge である。$K=\emptyset$ の場合も空凸包の規約から成り立つ。$\square$

空でないコンパクト集合 $K$ の実凸包 $C$ はコンパクトである。実次元 $d=2n$ では、任意の凸結合を高々 $d+1$ 点の凸結合にできる。実際、点数がそれより多ければ拡大ベクトル $(1,x_j)$ が線形従属となり、係数の和と重心を変えずに、非負性を保って少なくとも一つの係数を零にできる。反復すればよい。よって $C$ は $K^{d+1}$ と閉単体の直積の連続像であり、コンパクトである。
$z\notin C$ なら $z$ に最も近い点 $y\in C$ をとる。$x\in C$ に対して $y+t(x-y)\in C$（$0\le t\le1$）なので、距離の二乗を $t=0$ で右微分すれば $(z-y)\cdot(x-y)\le0$ となる。したがって実線形関数 $\ell(w)=(z-y)\cdot w$ は $\ell(z)>\sup_C\ell$ を満たす。$L(w)=\ell(w)-i\ell(iw)$ は複素線形で、$\operatorname{Re}L=\ell$ である。整関数 $e^L$ は $|e^{L(z)}|>\sup_K|e^L|$ を満たすので、prop-rd-hull-basic により $z\notin\widehat K_{\mathrm{pol}}$ である。これで $\widehat K_{\mathrm{pol}}\subset C$ を得る。
凸開集合 $U$ のコンパクト部分集合 $K$ なら、その実凸包 $C$ は $U$ 内にある。したがって $\widehat K_{\mathrm{pol}}\subset U$ であり、thm-rd-criterion を使えばよい。空集合と全空間も含む。$\square$

空でないコンパクト集合 $K\subset U$ に対し、$\delta>0$ を十分小さくとると、$K_\delta:=K+\overline B(0,\delta)$ は $U$ 内のコンパクト集合である。平行移動 $h$ について、多項式 $P(\cdot+h)$ も多項式だから
$$ \widehat K_{\mathrm{pol}}+h=\widehat{(K+h)}_{\mathrm{pol}}. $$
ゆえに $|h|\le\delta$ なら $\widehat K_{\mathrm{pol}}+h\subset\widehat{K_\delta}_{\mathrm{pol}}\subset U_\alpha$ が全 $\alpha$ について成り立つ。したがって $\widehat K_{\mathrm{pol}}$ の各点の $\delta$ 近傍は交わりに入り、$\widehat K_{\mathrm{pol}}\subset U$ となる。判定定理を使えばよい。空の交わりは全空間とし、$U=\emptyset$ の場合も含む。$\square$

$K\subset U$ がコンパクトなら、$H=\widehat K_{\mathrm{pol}}\subset\Omega$ である。各 $f_j$ を $H$ 上で多項式近似して凸包不等式に極限を通せば、すべての $z\in H$ について $|f_j(z)|\le\sup_K|f_j|<1$ となる。したがって $H\subset U$ であり、判定定理が使える。有限個の不等式だから $U$ は開集合である。$\square$